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2016年高二下学期期末考试数学(理科)试题



2016 年高二数学期末模拟试题(理科) 第I卷(选择题共 50 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、已知随机变量 X~B(6,0.4),则当 η =-2X+1 时,D(η )=( A.-1.88 B.-2.88 C.5.76 D.6.76 ).

2、已知一次考试共有 60 名同学参加,考生成绩 X~N(110,52),据此估 计,大约有 57 人的分数所在的区间为( A.(90,100] 1 A.y= x+1 2 D.y=2x-1
4、 某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系, 随机抽取了部分工人,

). C.(100,120] ) C . y = 2x + 1 D.(105,115]

B.(95,125]

3、曲线 f(x)=e2x 在点(0,1)处的切线方程为( B . y = - 2x + 1

得到如下列表: 文化程度与月收入列表
月收入 2000 元以下 高中文化以上 高中文化及以下 总计 10 20 30

(单位:人)
月收入 2000 元及以上 45 30 75 总计 55 50 105
2

由上表中数据计算得 K =
2

105 ? ?10 ? 30 ? 20 ? 45 ? 55 ? 50 ? 30 ? 75

? 6.109,请根据下表,估

计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系” (
P(K >k) k
2


0.005 7.879 0.001 10.83

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

-1-

A.1%
6

B.99%
4

C.2.5%

D.97.5%

5、 ?1 ? x ? ?1 ? x ? 的展开式中 x 的系数是( A.-4 B.-3 C.3 )

) D.4

6、下列命题中,正确的命题个数 ( 量有较强的相关性;

①用相关系数 r 来判断两个变量的相关性时,r 越接近 0,说明两个变 ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变; ③设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P(ξ >1)=p, 1 则 P( - 1 < ξ ≤0)= - p ;④回归直线一定过样本点的中心 ( x , 2 y ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D .4 个

7、某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该 年级的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为( A.60 1+3 A. 2 1+310 2 9、一个电路如图所示, C、D、E、F 为 6 个开关, 1 其闭合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概 2 率是( A.
9 16
10



B.90 1-3 B. 2
10

C.120 3 -1 C. 2
10

D.180 ) D . -

8、二项展开式(2x-1)10 中 x 的奇次幂项的系数之和为(

) B.
7 16

C.

13 16

D.

3 16

-2-

10、 函数 f ( x) 是定义域为 R 的函数, 对任意实数 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) 成 立 . 若 当 x ? 1 时 , 不 等 式 ( x ? 1) ? f ?( x) ? 0 成 立 , 设 a ? f (0.5) , 4 b ? f ( ) , c ? f (3) ,则 a , b , c 的大小关系是 ( ) 3 A. b ? a ? c B. a ? b ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填写 在试题的横线上。 )
lim 11 y ? f ( x)在x ? x0处可导,且 ? x ?0 f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) ? 1, 则f ?( x0 ) ? ___ ?x

1 n-2 -1 12、若 n 为正偶数,则 7n+Cn ·7n-1+C2 +?+Cn n·7 n ·7 被 9 除所得

的余数是________. 13、四个不同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则恰有一个空 盒的放法共有________种(用数字作答). 14、从编号为 1,2,??10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,已知选 出 4 号球的条件下,选出球的最大号码为 6 的概率为________. 15、已知函数 f(x)=x3+2x2-ax+1 在区间(-1,1)上恰有一个极值 点,则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤。

1 ? ?3 x ? ? ? 16、 (本小题满分 12 分)已知在 2 3 x ? 的展开式中,第 6 项为 ?
常数项.(1) 求 n;
(2) 求含 x 项的系数; (3) 求展开式中所有的有理项.
2

n

17.(本小题满分 12 分)用数学归纳法证明: 1 1 1 1 n+1 当 n≥2,n∈N+时,(1- )(1- )(1- )?(1- 2)= . 4 9 16 n 2n
-3-

18. (本小题满分 12 分)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同 学. 在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物 理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)
(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列

和数学期望. 19.(本小题满分 12 分)甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题 被甲独立解出的概率为 0.6 ,被甲或乙解出的概率为 0.92 . (1)求该题被乙独立解出的概率; (2)求解出该题的人数 ? 的数学期望和方差. 20.(本小题满分 13 分) 已知函数
f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? 9 x ? 2, 若x ? 1 是f ( x) 2 的

一个极值点, 且 f ( x) 的图像在 x ? 1处的切线与直线
(1)求 f ( x) 的解析式及单调区间
?1 ? x ? ? ,2? ?4 ? 都 有 (2) 若 对 任 意 的

3x ? y ? 1 ? 0 平行,

.

f ( x)? 2 t ? 2 t? 成 1 立,求函数

g ( t )? 2 t ? t? 的最值 2 .
21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x3+ax2-3x(a∈R). (1)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x= 是函数 f(x)的极值点,求函数 f(x)在[-a,1]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函 数 f(x)的图象恰有 3 个交点?若存在,请求出 b 的取值范围;若不存
-4-

在,请说明理由.

2016 年高二数学期末模拟试题(理科)答案

一、选择题: 1、答案:C 解析:由已知 D(X)=6×0.4×0.6=1.44,则 D(η )=4D(X)=4×1.44=5.76. 2、答案:C 解析:∵X~N(110,5 ), ∴μ =110,σ =5.=0.95≈P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=P(100<X≤120).∴X∈(100,120] 3、 3、【解析】 y′=e ·(2x)′=2e .∴k=2,∴切线方程为 y-1=2(x-0),即 y=2x+1. 故选 C.【答案】 C 4、答案:D 5、答案:B 6、【解析】 ①错误,r 越接近 0,说明两个变量有较弱的相关性;②正确,据公式易知, 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变,一般地, E(aξ +b)=aEξ +b, D(aξ + b) = a Dξ (a , b 为常数 ) ;③正确,据正态分布的对称性易得 P( - 1 < ξ ≤0)= 1-2P?ξ >1? 1 = -p;④正确,回归直线一定过样本点的中心( x , y ) ,这个作为一个 2 2 性质考生应理解并熟记它.综上可知共有 3 个正确命题,故选 C.【答案】 C 7、解析:把新转来的 4 名学生平均分两组,每组 2 人,分法有
C42 1 2 ? C4 种,把这两组人安排 A22 2
2 2x 2x 2

1 2 到 6 个班中的某 2 个中去,有 A62 种方法,故不同的安排种数为 A62C4 ,故选答案B. 2 10 2 10 8、解析:选 B.设(2x-1) =a0+a1x+a2x +?+a10x ,令 x=1,得 1=a0+a1+a2+?+a10,

1-3 10 再令 x=-1,得 3 =a0-a1+a2-a3+?-a9+a10,两式相减可得 a1+a3+?+a9= ,故 2 选 B. 9、解析:选 C. 10、【答案】:A【解析】因为对任意实数 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) 成立,所以函数的图象关于

10

x ? 1 对称,又由于若当 x ? 1 时,不等式 ( x ? 1) ? f ?( x) ? 0 成立,所以函数在 ?1, ?? ? 上单调

4 b? f( ) 3? 3 ? a ? f ? 0.5? ? f ? 递减,所以 ? ? ? f ? 3? ?2?
-5-

二、填空题: 11、答案: -

1 3
原式= (7 + 1) - C n = 8 - 1 = (9 - 1) - 1 = 9 - C n ·9
n n n n n n n
1

12 、【解析】 C
n-1 n

n-1

+ C n ·9

2

n-2

-?+

·9(-1)

n-1

+(-1) -1,又 n 为正偶数,(-1) -1=-2=-9+7,故余数为 0

【答案】 0 13、答案:42 14、【解析】 令事件 A={选出的 4 个球中含 4 号球},

B={选出的 4 个球中最大号码为 6}.
依题意知 n(A)=C9=84,n(AB)=C4=6,∴P(B|A)=
2 3 2

n?AB? 6 1 1 = = .【答案】 n?A? 84 14 14

15、 -1<a<7 [解析] 易知 f′(x)=3x +4x-a.因为函数在区间(-1, 1)上恰有一个极值点, 所以 g(x)=3x +4x-a=0 在区间(-1, 1)上只有一个解, 故有 g(-1)·g(1)<0? (-1-a)(7 -a)<0? -1<a<7. 三、解答题:
? 2 3
n?2r
2

16、解 (1)通项公式为 Tr+1=Cnx ∴r=5 时,有 (2)令

r

n-r? 1?r

?- ? 3 ? 2?

x

1?r x 3 r? =Cn?- ? ? 2?

,∵第 6 项为常数项,

n-2r
3

=0,即 n=10.

n-2r
3

1?2 45 1 2 ? =2,得 r= (n-6)=2,∴所求的系数为 C10?- ? = . 2 ? 2? 4

10-2r ? ? 3 ∈Z, (3)根据通项公式,由题意得? 0≤r≤10, ? ?r∈N, 令 10-2r 3 =k (k∈Z),则 10-2r=3k,即 r=5- k. 3 2

∵r∈N,∴k 应为偶数.∴k 可取 2,0,-2,即 r 可取 2,5,8. ∴第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 1?2 2 5 ? 1?5 8 ? 1?8 -2 2 ? C10?- ? x ,C10?- ? ,C10?- ? x . ? 2? ? 2? ? 2? 17、略 18.(1)49/60 x P 0 1/6 (2) 1 1/2 2 3/10 3 1/30

-6-

19、解: (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A, B 设甲独立解出此题的概率为 P1 ,乙为 P2 则 P( A) ? P 1 ? 0.6, P( B) ? P 2

P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? (1 ? P 1 )(1 ? P 2) ? P 1?P 2 ?P 1P 2 ? 0.92 ? 0.6 ? P2 ? 0.6 P2 ? 0.92 则0.4 P2 ? 0.32即P2 ? 0.8 (2) P (? ? 0) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 P (? ? 1) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) ? 0.6 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.8 ? 0.44 P (? ? 2) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.6 ? 0.8 ? 0.48

?的概率分布为 :
?
0

1
0.44

2
0.48

P

0.08

E? ? 0 ? 0.08 ? 1 ? 0.44 ? 2 ? 0.48 ? 0.44 ? 0.96 ? 1.4 D? ? (0 ? 1.4) 2 ? 0.08 ? (1 ? 1.4) 2 ? 0.44 ? (2 ? 1.4) 2 ? 0.48 ? 0.1568? 0.0704? 0.1728? 0.4 或利用D? ? E (? 2 ) ? ( E? ) 2 ? 2.36 ? 1.96 ? 0.4
20. (1)增区间(-∞,1/2) (3/2,+∞) 减区间(1/2,3/2) (2)g(t)max=10 值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞). g(t)min=-9/4

21.(1)a≥0.(2)f(x)在[-a,1]上的最大值是 f(-3)=18.(3)满足条件的 b 存在,其取

-7-



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