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概率 1-5



第一章 概率论的基本知识
第五讲
一、全概率公式

二、贝叶斯公式

三、全概率公式与贝叶斯公式 1、全概率公式

定义:设S是试验E的样本空间,B1 , B2 ,? , Bn 是E的一组事件。若 (1) Bi B j ? ?, i ? j , i , j ? 1, 2,? , n; (2) B1

? B2 ??? Bn ? S , 则称B1 , B2 ,? , Bn为样本空间S的一个划分。

B1 B4

B2

B3

S

如掷一枚骰子观察出现的点数,S={1,2,3,4,5,6}。 事件B1={1,2,3}, B2={4,5}, B3={6}就是S的一个 划分。

定理:设试验E的样本空间是S,A是E的一个事 件,B1 , B2 ,? , Bn是S的一个划分,且P ( Bi ) ? 0 ( i ? 1, 2,? , n),则
P ( A) ? P ( A B1 ) P ( B1 ) ? P ( A B2 ) P ( B2 ) ? ? ? P ( A Bn ) P ( Bn )
全概率公式

全概率公式的直观意义

事件A的发生有各种可能的原因B1 , B2 ,? , Bn, 如果A是由原因Bi引起的,则A发生的概率为 P ( ABi ) ( i ? 1, 2,? , n)。每一个Bi 发生都可能 导致A发生,相应的概率为P ( A Bi ),故A发 生的概率为

P( A) ? P( AB1 ) ? P( AB2 ) ? ? ? P( ABn )
? P ( A B1 ) P ( B1 ) ? P ( A B2 ) P ( B2 ) ? ? ? P ( A Bn ) P ( Bn )

例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元 件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂 1 次品率 0.02 提供元件的份额 0.15

2
3

0.01
0.03

0.80
0.05

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的 ,且无区别的标志。在仓库中随机的取一只 元件,求它是次品的概率。

解 : 设 A 表示“取到的一只是次品”, Bi ( i= 1,2,3)表示“取到的产品是由第 i 家工厂 提供的” 易知B1, B2 , B3是样本空间的一个划分,且
P( B1 ) ? 0.15,P( B2 ) ? 0.8,P( B3 ) ? 0.05

P( A B1 ) ? 0.02,P( A B2 ) ? 0.01,P( A B3 ) ? 0.03

由全概率公式
P( A) ? P( A B1 )P( B1 ) ? P( A B2 )P(B2 ) ? P( A B3 )P(B3 )
? 0.02 ? 0.15 ? 0.01 ? 0.8 ? 0.03 ? 0.05 ? 0.0125

例2 某小组有20名射手,其中1、2、3、4级射 手分别为2、6、9、3名.又若选1、2、3、4级 射手参加比赛,则在比赛中射中目标的概率分 别为0.85、0.64、0.45、0.32,今随机选一人参 加比赛,试求该小组在比赛中射中目标的概率.
解: 设 A ? {该小组在比赛中射中目标}
Bi ? {选i级射手参加比赛} (i =1,2,3,4)

由全概率公式 P ( A) ? ? P ( A Bi ) P ( Bi )
i ?1

4

2 6 9 3 ? ? 0.85 ? ? 0.64 ? ? 0.45 ? ? 0.32 20 20 20 20 ? 0.5275

2、贝叶斯公式
定理:设试验E的样本空间是S,A是E的一个事 件,B1 , B2 , ? , Bn是S的一个划分,且P ( A) ? 0, P ( Bi ) ? 0 ( i ? 1, 2, ? , n), 则
P ( A Bi ) P ( Bi ) P ( Bi A) P ( Bi A) ? ? n P ( A) ? P ( A Bi ) P ( Bi )
i ?1

(i ? 1, 2,?, n)

贝叶斯公式

贝叶斯公式是在观察到事件A 已经发生的条 件下,寻找导致A发生的每一个原因Bi的概 率。

P ( Bi )和P ( Bi A)分别称为原因Bi的验前 概率和验后概率
贝叶斯公式可以帮助人们确定引起事件A发生 的最可能的原因

例3 某一地区患有Z类病的人占0.02,患者对一种 试验反应阳性的概率为0.95,正常人对这种试验 反应阳性的概率为0.03,现抽查了1人,试验反应 为阳性,问此人是患者的概率有多大? 解:设A ? {试验结果为阳性}
B ? {抽查的人患有Z 类病}

B ? {抽查的人不患有Z类病}
P ( B ) ? 0.02, P ( B ) ? 0.98, P ( A B ) ? 0.95, P ( A B ) ? 0.03,

由贝叶斯公式
P( A B)P( B) 0.95 ? 0.02 P( B A) ? ? ? 0.393 0.95 P ( B ) ? 0.03 B ) P ( P ( A B )? 0.02? P ( A ? 0.98B )

分析一下计算结果的意义。从题设条 件看,这种试验对于诊断一个人是否患有 该类病是有意义的,因为患者的阳性反应 为0.95。如果不作试验抽查一人,他是患 者的可能性只有 0.02,试验后得阳性反 应,由试验得来的信息,此人是患者的概 率由0.02提高到0.393,将近增加了20倍!

例 4 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元 件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂 1 2 次品率 0.02 0.01 提供元件的份额 0.15 0.80

3 0.03 0.05 在仓库中随机的取一只元件,若已知取到的是 次品,试分析此次品出自那家工厂的可能性最 大。 解 : 设 A =“取到的一只是次品”

Bi=“取到的产品是第 i家厂提供的” ( i= 1,2,3) 易知B1, B2 , B3是样本空间的一个划分,且
P( B1 ) ? 0.15,P( B2 ) ? 0.8,P( B3 ) ? 0.05

P( A B1 ) ? 0.02,P( A B2 ) ? 0.01,P( A B3 ) ? 0.03
由全概率公式知 P( A) ? 0.0125

由贝叶斯公式
P ( A | B1 ) P ( B1 ) 0.02 ? 0.15 P ( B1 | A) ? ? ? 0.24 P ( A) 0.0125

P( B2 | A) ? 0.64

P( B3 | A) ? 0.12

可见该件次品出自第2家工厂的可能性最大

例 5 对以往的数据分析结果表明当机器调整 得良好时,产品的合格率为90% , 而当机器 发生某一故障时,其合格率为30% 。每天早 上机器开动时,机器调整良好的概率为75%。 已知某天早上第一件产品是合格品,试求机器 调整得良好的概率是多少? 解:记A=“产品合格”,B=“机器调整得良好 ” P( A | B) ? 90% P( A | B) ? 30%
P( A | B) P ( B) P ( B | A) ? P( A | B) P ( B) ? P ( A | B) P ( B)

0.9 ? 0.75 ? ? 0.9 0.9 ? 0.75 ? 0.3 ? 0.25

小 结:
1、全概率公式 P ( A) ? P ( A B1 ) P ( B1 ) ? P ( A B2 ) P ( B2 ) ? ? ? P ( A Bn ) P ( Bn )

是计算事件A的概率的有效方法
2、贝叶斯公式 P ( A Bi ) P ( Bi ) P ( Bi A) P ( Bi A) ? ? n P ( A) ? P ( A Bi ) P ( Bi )
i ?1

贝叶斯公式是计算验后概率的,可以帮助人 们确定引起事件A发生的最可能的原因



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