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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:1.3.1 二项式定理]



选修 2-3

第一章

1.3

1.3.1

一、选择题 1 1.(2013· 景德镇市高二期末)在(x- )10 的二项展开式中,x4 的系数为( 2x A.-120 C.-15 [答案] C 1 1 10-r 10-2r [解析] Tr+1=Cr (- )r=(- )r· Cr 10x 10x

2x 2 令 10-2r=4,则 r=3. 1 ∴x4 的系数为(- )3C3 =-15. 2 10 2.(2013· 福州文博中学高二期末)在( 15 A.- 4 3 C.- 8 [答案] C [解析] ∵Tr+1=Cr 6(
- -

)

B.120 D.15

x 2 6 - ) 的二项展开式中,x2 的系数为( 2 x 15 B. 4 3 D. 8

)

x 6-r 2 ) · (- )r 2 x

r 2r 6 3 r =Cr x (r=0,1,2,…,6), 6(-1) 2

令 3-r=2 得 r=1. 3 1 -4 ∴x2 的系数为 C1 2 =- ,故选 C. 6(-1) · 8 3.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),若 a0+a1+… +an=30,则 n 等于( A.5 C.4 [答案] C [解析] 令 x=1 得 a0+a1+…+an=2+22+…+2n=30 得 n=4. 1 4.(2014· 湖南理,4)( x-2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是( 2 A.-20 C.5 B.-5 D.20 ) ) B.3 D.7

[答案] A 1 5-r 1 - 5-r r [解析] 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr · (-2y)r=( )5 r· (-2)rCr y. 5( x) 5x 2 2 1 2 3 2 3 当 r=3 时为 T4=( )2(-2)3C3 5x y =-20x y ,故选 A. 2 5.(2013· 辽宁理,7)使(3x+ A.4 C.6 [答案] B
n r n [解析] 由二项式的通项公式得 Tr+1=Cr x n3
- -

1 x x

)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( B.5 D.7

)

5 r 2 ,若展开式中含有常数项,则

5 n- r= 2

5 0,即 n= r,所以 n 最小值为 5.选 B. 2 6.在(1-x3)(1+x)10 的展开式中 x5 的系数是( A.-297 C.297 [答案] D [解析] x5 应是(1+x)10 中含 x5 项与含 x2 项.
2 ∴其系数为 C5 10+C10(-1)=207.

)

B.-252 D.207

二、填空题 2 7.x(x- )7 的展开式中,x4 的系数是________.(用数字作答) x [答案] 84 2 [解析] x4 的系数,即(x- )7 展开式中 x3 的系数, x 2 - - Tr+1=Cr x7 r· (- )r=(-2)r· Cr x7 2r, 7· 7· x 令 7-2r=3 得,r=2, ∴所求系数为(-2)2C2 7=84. 8.(2013· 景德镇市高二质检)设 a=?πsinxdx,则二项式(a x-

?0

1 6 ) 的展开式中的常数项 x

等于________. [答案] -160 1 6 [解析] a=?πsinxdx=(-cosx)|π 二项式(2 x- )6 展开式的通项为 Tr+1=Cr 0=2, 6(2 x) x ?0
-r

· (-

1 r - 3-r ) =(-1)r· 26 r· Cr ,令 3-r=0 得,r=3,∴常数项为(-1)3· 23· C3 6x 6=-160. x

9.若(1+ 2)5=a+b 2(a、b 为有理数),则 a+b 等于__________________. [答案] 70 [解析] ∵(1+ 2)5=1+5 2+20+20 2+20+4 2=41+29 2=a+b 2,又 a、b 为 有理数,
? ?a=41, ∴? ∴a+b=41+29=70. ?b=29. ?

三、解答题 10.求二项式(a+2b)4 的展开式. [解析] 根据二项式定理
n 1 n 1 n k k n (a+b)n=C0 b+…+Ck b +…+Cn na +Cna na nbn得
- -

4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 3 2 2 3 (a+2b)4=C0 4 a + C4 a (2b)+C4 a (2b) + C4 a(2b) + C4 (2b) = a + 8a b+ 24a b + 32ab +

16b4.

一、选择题 2 11.若二项式( x- )n 的展开式中第 5 项是常数项,则自然数 n 的值可能为( x A.6 C.12 [答案] C n-12 n-12 2 n-4 [解析] ∵T5=C4 · (- )4=24· C4 是常数项,∴ =0,∴n=12. n( x) nx x 2 2 1?n 2 12.在? ?x -x? 的展开式中,常数项为 15,则 n 的一个值可以是( A.3 C.5 [答案] D 1 2 n-r 2n-3r [解析] 通项 Tr+1=Cr (- )r=(-1)rCr ,常数项是 15,则 2n=3r,且 Cr 10(x ) nx n= x 15,验证 n=6 时,r=4 合题意,故选 D. 13.若(1+2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项,则 x 的取值范围是( 1 1 A. <x< 12 5 1 2 C. <x< 12 3 [答案] A 1 1 B. <x< 6 5 1 2 D. <x< 6 5 ) B.4 D.6 ) B.10 D.15 )

[解析] ∴

1 ? ? ?T2>T1, ?C62x>1, 由? 得? 1 2 2 ? ?T2>T3, ?C62x>C6?2x? . ?

1 1 <x< . 12 5

二、填空题 14.设二项式(x- 值是________. [答案] 2
6 r [解析] Tr+1=Cr (- 6x


a 6 ) (a>0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a 的 x

a r 3 3 2, ) =(-a)rCr 6x6- r,所以 6- r=3 时,r=2,所以 A=15a 6 2 2 x

3 - r=0 时,r=4,所以 B=15a4,所以 15a4=4×15a2,所以 a2=4,又 a>0,得 a=2. 2 x 1 15.若 x>0,设( + )5 的展开式中的第三项为 M,第四项为 N,则 M+N 的最小值为 2 x ________. [答案] 5 2 2

5 2 x 3 1 2 [解析] T3=C5 · ( ) ( ) = x, 2 x 4 x 13 5 T4=C3 ( )2· ( )= , 5· 2 x 2x 5x 5 ∴M+N= + ≥2 4 2x 三、解答题 16.m、n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n 展开式中 x 的系数为 19,求 x2 的系数的最小值 及此时展开式中 x7 的系数. [解析] 由题设 m+n=19,∵m,n∈N*.
? ?m=1 , ∴? ?n=18, ? ? ? ?m=2, ?m=18, ? …,? ?n=17, ?n=1. ? ?

25 5 2 = . 8 2

1 2 1 2 2 2 x2 的系数 C2 m+Cn= (m -m)+ (n -n)=m -19m+171. 2 2
7 ∴当 m=9 或 10 时,x2 的系数取最小值 81,此时 x7 的系数为 C7 9+C10=156.

1 n 3 17.(2013· 山东嘉祥一中高二期中,大庆实验中学期中)在二项式 ( x- ) 的展开式 3 2 x 中,前三项系数的绝对值成等差数列. (1)求 n 的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项;

(3)求展开式中系数最大的项. 1 2 1 1 2 [解析] (1)C0 n+ Cn=2·Cn,∴n -9n+8=0;∵n≥2,∴n=8. 4 2 3 4 (2)∵n=8,∴展开式共有 9 项,故二项式系数最大的项为第 5 项,即 T5=C4 (- 8( x) · 1 3 2 x )4= 35 . 8 1
r+1 1 r+1 , 8 ? ?

?C ?2? ≥C (3)研究系数绝对值即可,? 1 ?C ?2? ≥C
r 8 r 8 r r

2 2

r-1 1 r-1 , 8 ? ?

解得 2≤r≤3, ∵r∈N,∴r=2 或 3. ∵r=3 时,系数为负.
4

∴系数最大的项为 T3=7x3 .



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