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中学数学教学与研究 习题汇编



中学数学教学与研究
(习题汇编)

山东理工大学理学院数学系 编

2014.02

1

《总论》部分

一、填空题 1. 当代伟大的数学教育家费赖登塔尔(荷兰)的数学教育理论可归纳为三句话:数学现 实原则;数学化原则;数学再创造原则 “数学现实”原则又可归纳为三句话

: 2.现代著名数学家和数学教育家波利亚(美国)的三大数学教育名著是 ? 的发现 循序渐进 3.一般说来数学的定义(恩格斯) : 数学的发展史分为五个阶段 具有三大特点是: ; ? 数学的归纳与猜想 ;他提倡的教学原则是 主动学习 ;?数学 最佳动机

萌芽数学 、常量数学 、变量数学 、近代数学 、现代数学

4. 我国著名数学家华罗庚教授对数学应用性的论述: 5.费尔登塔尔、布鲁纳 提倡“再创造” 、 “发现法”的数学教学过程,他们认为数学教学 是 创造 , 教一个活动的最好方法是 , 学习数学唯一正确的方法是 “实行 再

有学生本人将把要学习的东西自己去发现或创造出来,教师引导和帮助学生去

进行再创造的工作而不是把 6. 有效的数学学习活动(新的学习观)不能单纯地依赖模仿与记忆,而是 美国教育心理学家布鲁纳认为 “发现”不限于人类尚未知晓的事物确切的说包括用自己的 头脑 都是发现,幼儿园的小朋友做游戏与科学家在做实验是同样的智力活动。

7.数学概念教学的根本任务 8. 美国心理学家梅拉别恩提倡重视课堂教学中的非语言艺术 , 他认为课堂上教学信息的总 效果= 7%的文字+38% 音调+

9.新课改提倡课堂教学环节应从“复习——引入——讲授——巩固——小结—— 作业”转变 为 “情境——问题——探究 —— 评价与反思 课程改革是一切教育改革的 落实培养目标的 蓝图 核心 课程集中体现了一个国家的教育 思想 依据 。 课程是

课程是实施教学的

10.教师的基本技能包括 表达; 板书;组织;关注与倾听; 反思与调整 ;科研与技术 11.现代数学家瓦尔登说 每个大学生、学者特别是每个教师都应该读波利亚的名著: 该书被公认为是“指导学生在题海游泳”的行动纲领. 12. 数学教师的日常工作包括 备课、上课、批改作业、成绩考核、辅导、教学研究

2

13.教学方法包括教师的教学方式和学生的学习方式以及 14.中学数学传统的教学方法 15.选择教学方法的依据 讲解法、谈话法、指导作业法等

目的任务 内容特点 年龄特征 综合课、新授课、复习课、练习课、考试课、导言课等 指导教学的依据、教学评估的依据、复习考试

16.中学数学教学常用的课型有

17. 《九年义务教育数学课程标准》的作用 的依据、编写教材的依据 18.形式逻辑的基本规律有

同一律 、 矛盾律

、 排中律

、 充足理由律

19.数学概念的定义方法主要有

种加属差、发生、揭示外延、约定式等

20.国家数学课程标准中提到的“四基” 、 “四能”指的是 (基础知识、基本技能、基本思 想方法、基本活动经验;发现问题、提出问题、分析问题、解决问题) 21. “备课”的主要内容包括 备教材、备教法、备学法 、编教案 发现式、问题式、复习式、趣味式、限定式等

22.数学教学中引入新概念的几种方法 23.引起重视的几种数学教学方法

“八字教学法” 、发现法、目标教学法、六课型单元

24. 数学教学是数学思维活动的教学是 25.教师在课堂教学过程中的教态包括 26.一般说,教案应包括以下方面的内容 课题;教学目标;教学内容的重点、难点、关

键;课的类型与方法;教学过程;板书设计;课后记 27.综合课的课堂基本环节是 28.九年义务教育阶段数学课程总体目标中包含的四个方面: 解决问题、情感与态度 29.九年义务教育三个阶段数学课程内容为: 数与代数、空间与图形、统计与概率、实践 与综合应用 30.中、小学中常用的数学思想方法有 归纳、猜想、证明 、 特殊到一般 、 类比联 想、 方程、函数 、分类讨论、 数形结合 、集合对应 、等价转化 31.三级与三类课程是指 国家课程 地方课程 校本课程 知识与技能、数学思考、

32.中学数学内容改革遵循的“六字方针”是 二、判断下列语句的对、错题 1. 教师在课堂上多问一个词学生就能回答的问题可以使学生回答响亮、 整齐课堂气氛生动、 活泼 2.数学概念与语词之间是 一一 对应的关系 ( ) ( )
3

3.在数学课堂教学中要使全班同学动脑、动手、动口、参与教学活动的全过程。 ( ) 4. 课的类型是指上课的性质是据教学目标和任务来确定课的结构是一节课的组成指的是上 课的形式是有课型确定。 ( )

5. 综合法是一种“由因导果”的思考顺序;分析法是一种“执果索因”的思考顺序。 ( ) 6.数学是一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。 ( ) 7. “反证法”的逻辑根据是原命题与逆否命题等价。 8.公元前三世纪左、右产生的古典数学“三大难题” (三分任意角、立方倍积、化 圆为方已被否定的解决,属于作图不能问题,不是作图无解。 9. 有一组对边和一组对角相等的四边形是平行四边形 ( ) ( ) ( )

10. 人们所作的任何肯定判断(否定判断)都是遵循形式逻辑中的同一律(矛盾律) ( ) 11. 备好课是上好课的必要件 12. 数学教师的数学专业基础是根本,而不必过多地学习、关注、研究数学教育 ( ) ( )

学生自主评价是数学教学过程中极为重要的环节, 教师应给学生创造更多的机会来进行反思 和发表他们自己的观点。 13.数学教学采用探究式教学已成为当今数学教学改革的热点之一。 14. 课本例题一般具有典型性和示范性, 所以在数学教学中一般不能改动。 ( ) ( ) ( )

15.目前我们只能使“提高学生的数学素质”和“获得应试能力”之间能够得到尽可能的 妥协。 ( ) 16.波利亚认为,中学数学教育的根本目的就是教会学生怎样解题。 ( )

17.我国从 20 世纪 90 年代以来,重视数学思想方法的教学已经成为中国数学教育的一大 特色。 ( ) 18.当前追求“动手实践、自主探究、与合作交流 ”为特征的学习方式已成为课堂教学改 革的一大亮点。 ( )

19. 有一对角和一组对边相等的四边形叫做平行四边形 (对则给出证明,错则给出反例 ) 20. 弗赖登塔尔的数学教育思想主要有: 强调数学教育必须面向社会现实, 必须联系日常生 活实际,注重培养和发展学生从客观现象找出数学问题的能力;反对灌输式和死记硬背; 提倡讨论式、 指导式的教学形式, 反对传统的讲演式的教学形式。

(

)
4

三、举例说明 1 .何谓数学概念的内涵、外延。 内涵: 反映数或形某一类对象本质属性的思维形式 如: 偶数的内涵: 能被 2 整除的自然数; 外延:概念适用的范围。如,偶数的外延:2,4,6,8,10,12? 2 .数学概念外延之间的关系及外延与内涵之间的关系 同 类可比较的数学概念外延之间的关系是: 1) 同一关系:外延完全重合的两个概念 A 和 B 之间的关系称为同一关系 例如, “直线” 与 “一 次曲线” “等腰三角形底边上的中线”与“等腰三角形底边上的高”;“等边的矩形”与“直 角的菱形”;正整数与自然数等 2)交叉关系:外延只有一部分重合的两个概念 A 和 B 之间的关系,称为交叉关系。例如“等 腰三角形”与“直角三角形” 、 “负数”与“整数” 、 “菱形”与“矩形”等 3)从属关系:如果 A 概念的外延包含 B 概念的外延,那么这两个概念间的关系称为从属关系 例如,“复数” 、 “实数” 、 “有理数” 、 “整数” 4)反对关系: 如果两个类概念 A 和 B,其外延是互相排斥的,且这两个概念外延之和小于它们 最邻近的种概念的外延,那么这两个类概念 A 和 B 之间的关系称为对立关系。 例如,“正实数”与“负实数”是对立关系的两个概念,因为它们的外延互相排斥,其外 延之和小于它们最邻近的种概念“实数”的外延。 又如,“大于”与“小于” 、 “锐角三角形”与“钝角三角形” 、 “质数等概念的关系都是 对立关系. 5) .矛盾关系: 如果两个概念 A 和 B,其外延是相互排斥的,且这两个概念外延之和等于 它们最邻近的种概念的外延,那么这两个类概念 A 和 B 之间的关系称为矛盾关系。 例如,“负数”与“非负数” 、 “实数”与“虚数” 、 “有理数”与“无理数” 、等概念之间的关 系都是矛盾关系。 3.“反证法”的逻辑根据。 (矛盾律、排钟律) 4. 无理数“e”定义为:自认对数的底数,对吗?若不对犯了何种错误,应怎样定义。 5. 指出“偷换概念”错误的实质是违反了何种形式逻辑的基本规律。 (同一律) 四、简答题 1.数学基础知识的含义
5

2.给出在课堂上引入公理:两三角形全等的两角一夹边(ASA)及定理: :三角形的内角和 为 180 度方法。 3.何谓概念的限定、概括,用限定的方法将任意四边形划分 4.启发式教学的思想: 是师遵循认识规律,从学生的实际出发,在充分发挥教师主导作 用的前提下,善于激发学生的求知欲和学习兴趣,引导学生积极开展思维活动,主动获得知 识的一种教学思想。 它是中学数学教学中最重要、 最基本也是应用最为广泛的一种教学思想。 5.数学命题教学的要求: 首 先 应 使 学 生 认 清 定 理 、 公 式 的 条 件 和 结 论 ,然 后 掌 握 它 的 证 明 方 法 及 应 用 , 进 一 步 要 掌 握 定 理 或 公 式 间 的 关 系 或 推 广 ,把 所 学 知 识 加 深 巩 固 系 统 化 ,使 学 得 的 知 识 融 会 贯 通 ,能 灵 活 自 如 地 应 用 定 理 、 公 式 解 决 有 关 问 题 。 6.怎样评价一堂数学课 教学目的明确,教学要求恰当;处理内容科学,运用原则准确;重视双基,开发智力培养能 力;重点突出,关键抓住难点突破;教法灵活,启发恰当;效果明显,气氛活跃。 7.讲解法及谈话法的优、缺点 讲解法是由教师系统、连贯的讲授教材,学生集中精力倾听教师的讲解,并回答教师提出的 各种问题的一种教学方法。 优点是:知识系统重点突出,逻辑性较强,教容易左、右课堂秩序,使用时间经济,在青年 教师及新教师中广泛使用。 缺点是:不利于充分贯彻现代教育思想, 学生动手、动嘴的时间教少,因此用这种方法应 特别注意启发式,及讲解的时间。 谈话法是教师将所讲授的内容设计成前后连贯的若干有机联系的小题目, 在课堂上逐个向学 生提出,教师的启发诱导导下将知识传授给学生的一种教学方法 优点:能较好的贯彻现代教育思想,学生动手交流,自主探索,师生互动、生生互动。 缺点:对教师要求较高应有灵活驾驭课堂秩序的能力,往往完不成预定的教学任务或拖堂。 8.中学数学教学的原则 严谨性与量力性相结合;抽象与具体相结合;数与形相结合;理论与实践相结合;传授知 识、培养能力与思想教育相结合。 9. 课堂提问应注意的“四忌”: 1) 不假思索的简单提问 2)先点名后提问 3)不看对象, 不分难易 4) 借提问惩罚学生

10. 《九年义务教育数学课程标准》六大理念基本理念
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(1、人人学有价值的数学,人人都能获得必需的数学,不同的人在数学上得到不同的发展 (大众数学的三个核心词) (2、数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,数学是一切重大技术发展的基础,数 学是一种文化。 (数学的意义与价值) (3、数学学习的内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理、与交流, 动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。 (数学学习观) (4、学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者、合作者。 (教学观) (5、评价的目的—了解学生的数学学习历程,改进教师的教学;目标多元,方法多样;重 过程,轻结果;关注情感态度。 (6、把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具。 11.何谓数学教学过程中的“两全三动一参与”的教学要求 12.分别指出中学数学教材中的“矩形” “圆” “实数” “负整数次幂”等概念的定义方法 13.指出标准分 Z 的作用及计算公式 14.课堂教学综合模糊评价中的评价指标及评价等级有那些(目标、内容、方法、基本功、 效果; 优秀、良好、中等、及格、不及格) 15. 备课的实质是什么?(三个转化) 16. 中学数学说课的主要内容(说教材、说教法、说学法、说教学过程) 17. 用“二分法”对“复数”进行划分

六、名词解释
1.教学方法 6. 同一原理 七、论述题 1.据现代教育理论在数学课堂教学中教师的任务是什么? 1) 为学生创设适宜的问题情境; 2) 鼓励学生争论数学问题,展开思维活动,帮助学习解决疑难; 3) 组织学生小组活动,发展学生合作学习的互动意识; 4) 帮助学生建构数学知识,掌握科学的思维方法; 5) 培养学生的思维能力特别是创造性思维能力。 2. 概念的限定 7. 间接证法 3. 反变关系 8. 数学概念 4. 数学证明 5. 排中律

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2.对我国数学教育现状的认识(优势、问题) 优势 基础知识扎实;基本技能熟练;解决书本问题能力强;勤奋刻苦

问题 实践能力;创造性;情感体验与自尊自信;人生观、价值观 3. 学生学习最佳状态 有兴趣时、 身心处于最佳状态时、教学内容用多种形式来呈现时、遭遇到理智的挑战时 发现知识的个人意义时、能自由参与探索和创新时、被鼓舞和被信任做重要事情时、有更高 的自我期待时能学以致用时、对教师充满信任和热爱时 4.《高中数学课程标准》的基本理念 1) 构建共同基础,提供发展平台 3) 倡导积极主动、勇于探索的学习方式 5) 发展学生的数学应用意识 7 )强调本质, 注意适度的形式化 9 )注重信息技术与数学课程的整合 2)提供多样课程,适应个性选择 4 ) 注重提高学生的数学思维能力 6)与时俱进地认识“双基” 8)体现数学的文化价值 10) 建立合理、科学的评价机制

5. 中学数学课程内容的选择一般要遵循以下标准: 1)基础性标准 2)时代性与社会作用标准 3)发展性标准 4)后继作用标准 5)适度

性标准。以及处理的矛盾关系:(1)需要与可能的矛盾;(2)统一性和灵活性相结合的 问题;(3)精减和增加的关系问题;(4)课程内容的衔接问题。 6. 指出归纳推理、演绎推理、类比推理的特点与意义 7.数学命题的结构如何? 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假 1) 三角形内角和等于 180° 2) 三角形中位线定理

8. 结合自己的课堂教学设计,撰写一份说课稿。 9. 选取初中数学教材中一内容撰写一份详细“教案” 10.我国数学教学方法发展的几种趋势 (1 由“单重教师的教”转向“注重师生共同合作” (2 由“封闭式”正转向“开放式” (3 引入以"问题解决"为中心的教学模式 (4“再创造”“探究式”教学方法将深入研究 (5 借助于现代信息技术手段的数学教学将大面积开展 11.我国数学教学方法的发展有以下几个新特点: 1)以学生的知识、技能、能力和思想品德的全面发展为目的,注重全面素质的培养。
8

2)以学生在学习中的主体地位为出发点,调动学生的主动性和积极性,教师的主导作用 在于促进主体学习的完成。 3)注重数学的问题(概念、原理、法则、公式)的发生、探索、发现、论证及应用的全过 程的展开,特别是注重数学知识发生和应用的过程的教学,较好地体现了过程性目标。 4)突出以发展学生思维能力为核心,注重调动学生积极参与数学活动,注意培养学生的 思维品质和创造力。 5)对教学方法的评价,强调情感、态度和价值观在教学中的作用, 关注学生的差异与个 性品质,重视非智力因素对教学的影响,又从教学中去促进学生非智力因素的健康发展。 6)注意数学文化素质(数学思想和方法、数学史、数学文化等)的培养。 7)数学教学方法开始借助于高科技和运用现代教育技术手段,技术含量明显提高。 概括地说,现代的数学教学法是以发挥学生的学习主体作用,注重智能和情感的双重发展, 注重于知识、技能、能力、品德与个性的全面发展,教学活动是师生和生生多边活动促进学 生潜能发展的过程。 12.证明必须遵守逻辑规则 (1)论题要明确 (2)论题应始终如一 (5)必须能推出论题 (3)论据要真实 (4)论据不能靠论题来证明

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《初等几何研究》部分 一、叙述下列问题
1. 何谓欧氏几何 2.《几何原本》的主要意义 3.希尔伯特(HiIbert)公理体系 4.梅耐劳斯(Menelaus) 定理 5.塞瓦(Ceva)定理 6.西摩松线定理及其推广定理 7.三角形的九点圆定理 8.两个“八点圆”定理 9.三圆共点的“密克定理” 10.证明线段倍分关系的思想方法 11.证明四点共圆的方法 12.托勒密定理 13.古典数学三大问题 14. 五星中的五点共圆定理
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15. 用初等变换作辅助线的方法 16. 笛沙格(Desaygues)定理 二、填空题 1. 三角形中的五心是指: 2. O 是正 ?ABC 内一点且 OA ? 3, OB ? 4, OC ? 5 则正 ?ABC 的边长为 3.三角形九点圆的圆心在该三角形的 的外接圆半径的 4.古典数学三大问题是作图不能问题,不是作图无解早已被 5.尺、规作图三大难题是 三、解(证)下列命题 1 . ?ABC 中 AB ? AC ? 2 在 BC 边上有 2014 个不同的点 p i ( i=1,2,3,---2014 )且 的解决 线段上; 三角形九点圆的半径是该三角形

mi ? AP i ? BP i ?P iC 求 ? mi 的值, 并对此命题作进一步推广。
2
i ?1

2014

2. O 为 ?ABC 中的一内点,连 AO, BO, CO 分别交对边于 D、E、F 且合条件: OB ? a

OC ? b , OA ? c , OD ? OE ? OF ? 3 , a ? b ? c ? 43

求 a ?b?c ? ?

3. 平 行 四边 形 ABCD 的 对 角 线的 交 点 为 O 自 顶 点 A 作 直 线交 BD 、 CD 于 E、F 连

CE、OF交于G, 连DG并延长交AC、BC与H、I,求证I是BC的中点。
4.证明:若三角形的两个角的内角平分线相等则该三角形是等要三角形。 5.设平行于 ?ABC 的边 BC 的直线与两边 AB 、AC 的交点分别是 D、E ,又设 BE 和 CD 交于 S ,则 AS 一定过边 BC 的中心 M 6.在 ?ABC中,?A ? 20?,AB ? AC, ?ABD ? 30?, ?ACE ? 20?求?CED 。 7.证明任一三角形的垂心是其垂足三角形的内心。 四 、探究题 1.在锐角 ?ABC 中 AB ? AC, AD, BE, CF 分别是三边 BC, AC, AB 上的高 H 为垂心试写 出可证明的至少 10 个结论并作进一步探究。 2.给出下列命题的三种解法:在正方形 ABCD 中有一内点 O , ?OAD ? ?ODA ? 15 ? 证
11

明: ?OBC 是正三角形。

3.用“反射” “平移” “旋转”的作辅助线方法各证明一个平面几何的题目。 4.梅耐劳斯(Menelaus) 定理的充分性及必要性能否推广?若能给出推广,不能举出反例 5.至少用三种方法证明:三角形的垂心定理 (一般方法;外心定理;塞瓦定理 等) 五 、用初等变换证(解)下列各题 1.在△ABC 中,AB ? AC ? ? 80? , O 是 ?ABC 内一点, 且 ?OCB ? 20 ? 求: ?OAC 2.在平行四边形 ABCD 中 O 是内一点 ?OAB ? ?OCB 证明: ?OBA ? ?ODA

?OBC ? 10 ?

3.在正 ?ABC中 O 是其内一点 OA ? a、OB ? b、OC ? c 求 ?ABC 的面积。 六、证明下列定理 1.六点圆定理 2.八点圆定理(1) 、 (2) 3.九点圆等定理 4.笛沙格(Desaygues)定理 5.斯特瓦尔特(Stewart)定理及其空间移植定理 6.广义勾股定理 7.蝴蝶定理 8.斯坦纳定理 9.三角形中欧拉(Euler)线定理 10.西摩松线定理及其推广定理 11.三圆共点的“密克定理” 12.梅耐劳斯定理 13.赛瓦定理 14.拿破仑正三角形定理 15.三角形面积的“海伦公式” 16.托雷密定理
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17.五星中的五点共圆定理

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