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高三上学期文科数学试卷



2013—2014 学年度上学期 高三年级数学试卷(文)
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确

答案的序号填涂在答题卡上) 1.集合 A={x ? Z A.{0} 2.已知复数

z 满足 z ? A.第一象限

1 ? 2 x ? 2} ,B= { y y ? cos x, x ? A} ,则 A ? B =( 2
B.{1} C.{0,1}

) D.{-1,0,1} )

(3 ? i ) 2 ,则复数 z 所对应的点所在象限为 ( (i 为虚数单位) 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

2 3. 函数 f ( x) ? 2 ln x ? x ? bx ? a (b ? 0, a ? R ) 在点 ? b, f (b) ? 处的切线斜率的最小值是



) A. 2 2
2

B. 2

C. 3

D. 1

4.若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6 , 则抛物线 方程为(
2

) B. y ? 36 x
2

A. y ? 4 x

C. y ? 4 x 或 y ? 36 x
2 2

D. y ? 8 x 或
2

y 2 ? 32 x
5. 已知数列 ?a n ? ,?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 1 ,a n ?1 ? a n ?

bn ?1 ? 2, n ? N ? , 则数列 ?ban ?的前 bn

10 项的和为 (
4 9 (4 ? 1) 3 1 C. (4 9 ? 1) 3
A.



4 10 (4 ? 1) . 3 1 D. (410 ? 1) 3
B.

6.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则 下列说法错误的是( )

A. MN 与 CC1 垂直

B. MN 与 AC 垂直

C. MN 与 BD 平行 (

D. MN 与 A1B1 平行 )

1 7.已知函数 f(x)=|x|+ ,则函数 y=f(x)的大致图像为

x

8. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( A.



160 3

B. 160

C. 64 ? 32 2

D. 88 ? 8 2

9.函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的部分图像如图,其中

M (m,0), N (n,2), P(? ,0) ,且 mn ? 0 ,则 f(x)在下列哪个区间中是单调的(
A. (0, C. (



?
4

)

? 3?

, ) 2 4

4 3 2? D. ( ,? ) 3

B. (

? 2?
,

)

N M P

10.点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,其右焦点为 F ( c,0) ,若 M 为 a 2 b2
c ,则双曲线的离心率 e 的 取值范围是 8

线段 FP 的中点 , 且 M 到坐标原点的距离 为 ( ) A. ?1,8? B. ? 1,

? 4? ? 3? ?

C. ( , )

4 5 3 3

D. ? 2,3?

11.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称 两条平行线和圆“相交” ;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相离” ;若 两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相切” .已知直 线 l1 : 2 x ? y ? a ? 0, l 2 : 2 x ? y ? a 2 ? 1 ? 0和圆 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 ? 0 相切,则 a 的取值 范围是( ) B. a ?

A. a ? 7或a ? ?3 C.-3≤a≤一 6 或 6 ≤a≤7

6或a ? ? 6

D.a≥7 或 a≤—3

12.在平面直角坐标系中,定义 d ( P, Q ) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 之 间的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题: ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③到 M (?1, 0), N (1, 0) 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是 x ? 0 ; ④到 M (?1, 0), N (1, 0) 两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题有( A.1 个 ) C.3 个 D.4 个

B.2 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13. 若 直 线 y ? 2 x 上 存 在 点 ( x, y ) 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则 实 数 m 的 取 值 范 ?x ? m ?
围 .

14 、 设 △ ABC 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 三 边 分 别 为 a,b,c , 若 △ ABC 的 面 积 为

S ? a 2 ? (b ? c) 2 ,则

sin A = 1 ? cos A

.

15. 如图, 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的内切球, 则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 D1 A1 ·O D A B C B1 C1 .

16.直线 l 过椭圆

的左焦点 F,且与椭圆相交于 P、Q 两点,M 为 PQ 的中点,O .

为原点.若△ FMO 是以 OF 为底边的等腰三角形,则直线 l 的方程为

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置) 17、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足

?? ? ?? ? cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos? ? A ? cos? ? A ? ?6 ? ?6 ?
(1)求角 B 的值; (2)若 b ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2

18、已知数列{an}满足:a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2(n∈N*) . (Ⅰ)求 a3,a4,并求数列{an}通项公式; (Ⅱ)记数列{an}前 2n 项和为 S2n,当 S2n 取最大值时,求 n 的值.

19、如图所示的几何体 ABCDFE 中,△ABC,△DFE 都是等 边三角形,且所在平面平行,四边形 BCED 是边长为 2 的正方形,且所在平面垂直于平面 ABC. (Ⅰ)求几何体 ABCDFE 的体积; (Ⅱ)证明:平面 ADE∥平面 BCF;

20、如图,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 ,过抛物线 C 上一点

H ( x 0 , y 0 )( y 0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、B 两点,分别
交抛物线为 E、F 两点,圆心点 M 到抛物线准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率; (3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,求 t 的最小值.

17 . 4

21、已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 3 x ,函数 g ( x) 的图像在点 (1, g (1)) 处的
2

切线平行于 x 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 g ( x) 的极小值; (3)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ) ( 证明:

1 1 ?k? . x2 x1

请考生在 22,23 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右侧 方框涂黑,按所涂题目进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考 题的首题进行评分。 22.如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上两点,AC 与 BD 相交于点 E,GC,GD 是圆 O 的 切线,点 F 在 DG 的延长线上,且 DG ? GF 。求证: (1)D、E、C、F 四点共圆; (2) GE ? AB

23. 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| 。 (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (2)若 | a |? 1,| b |? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ?| a | f ( ) 。

b a

2013—2014 学年度上学期 高三年级数学试卷(文) (参考答案)
1——12 13. (??,1] 14. 4 15. 16. 17.解: (1)由已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos? BAACD DBCBB CC

?
6

?? ? ?? ? ? A ? cos? ? A ? 得 ?6 ? ?6 ?

3 1 2 sin 2 B ? 2 sin 2 A ? 2? cos 2 A ? sin 2 A ? ,----------4 分 ? ? ?4 4 ?

化简得 sin B ? (2)由正弦定理 故a ?

? 2? 3 ,故 B ? 或 .----------6 分 3 3 2

a c b ? ? ? 2 ,得 a ? 2 sin A, c ? 2 sin C , sin A sin C sin B

1 3 ? 2? ? 3 c ? 2 sin A ? sin C ? 2 sin A ? sin ? ? A ? ? sin A ? cos A 2 2 ? 3 ? 2
----------8 分

?? ? ? 3 sin ? A ? ? 6? ?
因为 b ? a ,所以 所以 a ?

? 2? ? ? ? , ? A ? ? ,----------10 分 ? A? 3 3 6 6 2
----------12 分

? 1 ?? ? 3 ? c ? 3 sin ? A ? ? ? ? , 3 ? . ? 2 6? ? 2 ? ?

18.解: (I)∵a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2 ∴a3=18,a4=5 由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分布是以﹣2 为公差的等差数列 当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时, =21﹣n =9﹣n

∴an= (II)s2n=a1+a2+?+a2n =(a1+a3+?+a2n﹣1)+(a2+?+a2n) = =﹣2n +29n 结合二次函数的性质可知,当 n=7 时最大 19.解: (Ⅰ)取 BC 的中点 O , ED 的中点 G ,连接 AO, OF , FG, AG . 因为 AO ? BC ,且平面 BCED ? 平面 ABC , 所以 AO ? 平面 BCED ,同理 FG ? 平面 BCED , 因为 AO ? FG ? 3 , 所以 VABCDFE ?
2

1 8 3 .???????(6 分) ? 4? 3 ? 2 ? 3 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AO ? FG, AO ? FG , 所以四边形 AOFG 为平行四边形,故 AG ? OF 又 DE ? BC ,所以平面 ADE ? 平面 BCF .?????????????(12 分) 20.解(1)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? ∴p?

p 17 , ? 2 4

1 ,即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x . 2

(2)法一:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ k HE ? ? k HF , 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , ∴

yH ? y1 y ? y2 , ?? H xH ? x1 xH ? x2



yH ? y1 y ? y2 , ?? H 2 2 2 2 yH ? y1 y H ? y2 y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 ? 2 ? ?? . 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 4
3,

∴ y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 .

k EF ?

法二:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ ?AHB ? 60 ? ,可得 k HA ?

k HB ? ? 3 ,∴直线 HA 的方程为 y ? 3 x ? 4 3 ? 2 ,

联立方程组 ?

? y ? 3x ? 4 3 ? 2 ?
3 3

y ?x
2

,得 3 y 2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0 ,

∵ yE ? 2 ?

∴ yE ?

3?6 13 ? 4 3 , xE ? . 3 3

同理可得 y F ?

1 ? 3?6 13 ? 4 3 , xF ? ,∴ k EF ? ? . 4 3 3

(3)法一:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,∵ k MA ?

y1 4 ? x1 ,∴ k HA ? , x1 ? 4 y1

可得,直线 HA 的方程为 (4 ? x1 ) x ? y1 y ? 4 x1 ? 15 ? 0 , 同理,直线 HB 的方程为 (4 ? x 2 ) x ? y 2 y ? 4 x 2 ? 15 ? 0 , ∴ (4 ? x1 ) y 0 ? y1 y 0 ? 4 x1 ? 15 ? 0 ,
2

(4 ? x 2 ) y 0 ? y 2 y 0 ? 4 x 2 ? 15 ? 0 ,
2
2 2 ∴直线 AB 的方程为 (4 ? y 0 ) x ? y0 y ? 4 y0 ? 15 ? 0 ,

令 x ? 0 ,可得 t ? 4 y 0 ?

15 ( y 0 ? 1) , y0
∴ t min ? ?11 .

∵ t 关于 y0 的函数在 [1, ??) 单调递增,

法二:设点 H (m 2 , m)(m ? 1) , HM 2 ? m 4 ? 7 m 2 ? 16 , HA2 ? m 4 ? 7 m 2 ? 15 . 以 H 为圆心, HA 为半径的圆方程为 ( x ? m 2 ) 2 ? ( y ? m) 2 ? m 4 ? 7 m 2 ? 15 , ......... ① ⊙ M 方程: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 . ................................................ ② ①-②得: 直线 AB 的方程为 (2 x ? m 2 ? 4)(4 ? m 2 ) ? (2 y ? m) m ? m 4 ? 7 m 2 ? 14 . 当 x ? 0 时,直线 AB 在 y 轴上的截距 t ? 4m ? ∵ t 关于 m 的函数在 [1, ??) 单调递增,
2

15 (m ? 1) , m

∴ t min ? ?11 .

21.解: (1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? 3 x ,则 g '( x) ?

1 ? 2ax ? 3 x

由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0

∴a ?1 (2)由(1)得 g '( x) ?

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x
1 或 x ?1 2

∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,令 g '( x) ? 0 得 x ?

函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增, ( ,1) 单调递减; (1, ??) 上单调递增. 在 在 故函数 g ( x) 的极小值为 g (1) ? ?2 (3)证法一:依题意得 k ?

1 2

1 2

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1

要证

1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1

因 x2 ? x1 ? 0 ,即证

x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 x2 x1 x1



x2 1 ,即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ? t ( t ? 1) t x1
1 t

令 k (t ) ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )则 k '(t ) ? ? 1 ? 0 ∴ k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减, ∴ k (t ) ? k ?1? ? 0 即 ln t ? t ? 1 ? 0 ,? ln t ? t ? 1 --------------①

令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

1 t

1 1 t ?1 ? 2 ?0 t t2 t

∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 )--------------② 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ,即

1 t

1 t

1 1 ?k? . x2 x1

【证法二:依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 , x2 ? x1 x2 ? x1

1 ? k, x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 得 x ? ,当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 , k k k
令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ?

1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ), k k ? x1 ? 1 1 1 ? x2 , 即 ? k ? k x2 x1

22.解: (Ⅰ)如图,连结 OC,OD,则 OC⊥CG,OD⊥DG, 设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3, ∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2. 所以∠DGC=180?-∠DOC=2(∠1+∠2). 因为∠DGC=2∠F,所以∠F=∠1+∠2. 又因为∠DEC=∠AEB=180?-(∠1+∠2), 所以∠DEC+∠F=180?,所以 D,E,C,F 四点共圆.
D G C
2

?3 分

?5 分

F

E A
1

3

O H

B

(Ⅱ)延长 GE 交 AB 于 H. 因为 GD=GC=GF,所以点 G 是经过 D,E,C,F 四点的圆的圆心. 所以 GE=GC,所以∠GCE=∠GEC. 又因为∠GCE+∠3=90?,∠1=∠3, 所以∠GEC+∠3=90?,所以∠AEH+∠1=90?, 所以∠EHA=90?,即 GE⊥AB. ?10 分 ?8 分

?-2x-2,x<-3, ? -3≤x≤1, 23.解: (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ?2x+2, x>1. ?

(Ⅱ)f (ab)>|a|f (

b )即|ab-1|>|a-b|. a

?6 分

因为|a|<1,|b|<1,

所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|. 故所证不等式成立. ?10 分

2

2

2 2

2

2

2

2



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