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高三数学第一轮复习等差数列



高三数学第一轮复习:等差数列 学习目标 1、理解等差数列的概念、通项公式、等差中项公式,会用公式解决问题 2、掌握等差数列的前 n 项和公式,体会等差数列的通项及等差数列的前 n 项和可分别表示 为一次函数和二次函数 3、探索并总结等差数列的性质,会运用性质解决有关问题 学习活动 1:梳理基础知识 1.等差数列的定义: 若数列从第二项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,则数列

是等差数列。其中常 数是公差 2.通项公式: an ? a1 ? ( n ? 1)d

an ? ak ? ( n ? k )d 通项公式推广: a+c 3.等差中项:若 a,b,c 成等差数列,则 b 称 a 与 c 的等差中项. b =

a,b,c成等差数列 ? 2b ? a ? c
4.等差数列前 n 项和公式:

2

Sn ? na1 ?

5. 等 差 数 列 的 1 定义法: 2 中项公式法: 3 通项公式法:

n( n ? 1) d 2

Sn ?

判定方法:

n(a1 ? an ) 2

an?1 ? an ? d (常数)(n ∈ N ? ) ? {an }等差数列 2an?1 ? an ? a n? 2 ? n ? Ν ? ? ? {an }等差数列

an ? kn ? b(k , b常数)(n ? N ? ) ? {an }等差数列

4 前 n 项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B 为常数)?{an}是等差数列 三.性质 (1) 若 m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),则有__ ________, 特别地,当 m+n=2p 时,___ ___________. (2) 若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为__ ___的等 差数列. (3)等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. 题型 1:关于基本量的问题 例 1:在等差数列{an}中, (1)已知 a15=33,a45=153,求 a61; (2)已知 S8=48,S12=168,求 a1 和 d; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8; (4)已知 a16=3,求 S31;

练习巩固 1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12=( ) A.15 B.30 C.31 D.64 2.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起为正,则公差 d 的取值范围是( ) 8 8 d ?3 d? ?d ?3 3 B. 3 A. C. D.

8 ?d ?3 3

3 设等差数列{an}的公差为 d (d≠0),它的前 10 项和 S10=110,且 a1,a2,a4 成等比数列, 求公差 d 和通项公式 an.

4 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50, (1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n.

题型二 等差数列的判定或证明 3 1 1 例 2 已知数列中, 1= , n=2- a a (n≥2, n∈N*), 数列{bn}满足 bn= (n∈N*). (1) 5 an-1 an-1 求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的最值

Sn-1 变式训练 2(1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn= (n≥2),a1=2. 2Sn-1+1
?1? ①求证:?S ?是等差数列; ②求 an 的表达式. ? n?

题型三 等差数列性质的应用 例3 若一个等差数列的前 5 项之和为 34,最后 5 项之和为 146,且所有项的和为 360,求 这个数列的项数

变式训练 3 已知数列{an}是等差数列. (1)若 Sn=20,S2n=38,求 S3n; (2) 若项数为奇数,且奇数项和为 44,偶数项和为 33,求数列的中间项和项数.

题型四 等差数列的前 n 项和及综合应用 例 4 (1)在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时, Sn 取得最大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和.

变式训练 4 (1) 已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2 (n∈N*),它的前 n 项和为 Sn,且 a3=10, 1 S6=72.若 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2

等差数列及其前 n 项和
一、选择题 1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7= A.14 B.21 C.28 D.35 ( )

2.已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是 A.4 B.5 C.6 D.7 1 3 在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11 的值为 ( 3 A.14 B.15 C.16 D.17 4.等差数列{an}的前 n 项和满足 S20=S40,下列结论中正确的是 A.S30 是 Sn 中的最大值 B.S30 是 Sn 中的最小值 C.S30=0 D.S60=0 ( ) )

(

)

5.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且 a1=10,b1=90,a2+b2=100,那么数列{an+bn} 的第 2 012 项的值是 A.85 B.90 C.95 D.100 ( )

6.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若 bn=a3n,则数列{bn}的前 9 项和等于________. 二、填空题 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=________. 8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-a2 =0,S2m-1=38,则 m=_______. m 9.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9= ________. 三、解答题 10.设{an}是一个公差为 d (d≠0)的等差数列,它的前 10 项和 S10=110,且 a2=a1a4. 2 (1)证明:a1=d; (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式.

11.在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项和为 Sn. 求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取最小值时 n 的值

12.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1

13.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2). 1 (1)证明数列{ }是等差数列; an (2)求数列{an}的通项;



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