高三数学第一轮复习等差数列

高三数学第一轮复习:等差数列 学习目标 1、理解等差数列的概念、通项公式、等差中项公式，会用公式解决问题 2、掌握等差数列的前 n 项和公式，体会等差数列的通项及等差数列的前 n 项和可分别表示 为一次函数和二次函数 3、探索并总结等差数列的性质，会运用性质解决有关问题 学习活动 1：梳理基础知识 1.等差数列的定义: 若数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，则数列是等差数列。其中常 数是公差 2.通项公式: an ? a1 ? ( n ? 1)d

an ? ak ? ( n ? k )d 通项公式推广: a+c 3.等差中项:若 a，b，c 成等差数列，则 b 称 a 与 c 的等差中项. b =

a,b,c成等差数列 ? 2b ? a ? c
4.等差数列前 n 项和公式:

2

Sn ? na1 ?

5. 等 差 数 列 的 1 定义法: 2 中项公式法: 3 通项公式法:

n( n ? 1) d 2

Sn ?

判定方法:

n(a1 ? an ) 2

an?1 ? an ? d (常数)(n ∈ N ? ) ? {an }等差数列 2an?1 ? an ? a n? 2 ? n ? Ν ? ? ? {an }等差数列

an ? kn ? b(k , b常数)(n ? N ? ) ? {an }等差数列

4 前 n 项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B 为常数)?{an}是等差数列 三．性质 (1) 若 m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则有__ ________， 特别地，当 m＋n＝2p 时，___ ___________. (2) 若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为__ ___的等 差数列. （3)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列． 题型 1:关于基本量的问题 例 1:在等差数列{an}中， （1）已知 a15=33，a45=153，求 a61； （2）已知 S8=48，S12=168，求 a1 和 d； （3）已知 a6=10，S5=5，求 a8 和 S8； （4）已知 a16=3，求 S31；

练习巩固 1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12=( ) A.15 B.30 C.31 D.64 2.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起为正,则公差 d 的取值范围是( ) 8 8 d ?3 d? ?d ?3 3 B. 3 A. C. D.

8 ?d ?3 3

3 设等差数列{an}的公差为 d (d≠0)，它的前 10 项和 S10＝110，且 a1，a2，a4 成等比数列， 求公差 d 和通项公式 an.

4 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10＝30，a20＝50， (1)求通项 an； (2)若 Sn＝242，求 n.

题型二 等差数列的判定或证明 3 1 1 例 2 已知数列中， 1＝ ， n＝2－ a a (n≥2， n∈N*)， 数列{bn}满足 bn＝ (n∈N*). (1) 5 an－1 an－1 求证：数列{bn}是等差数列； （2）求数列{an}的最值

Sn－1 变式训练 2(1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝ (n≥2)，a1＝2. 2Sn－1＋1
?1? ①求证：?S ?是等差数列； ②求 an 的表达式. ? n?

题型三 等差数列性质的应用 例3 若一个等差数列的前 5 项之和为 34，最后 5 项之和为 146，且所有项的和为 360，求 这个数列的项数

变式训练 3 已知数列{an}是等差数列． (1)若 Sn＝20，S2n＝38，求 S3n； (2) 若项数为奇数，且奇数项和为 44，偶数项和为 33，求数列的中间项和项数．

题型四 等差数列的前 n 项和及综合应用 例 4 (1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15，求当 n 取何值时， Sn 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{an}的通项公式是 an＝4n－25，求数列{|an|}的前 n 项和.

变式训练 4 (1) 已知数列{an}满足 2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前 n 项和为 Sn，且 a3＝10， 1 S6＝72.若 bn＝ an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值． 2

等差数列及其前 n 项和
一、选择题 1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么 a1＋a2＋…＋a7＝ A．14 B．21 C．28 D．35 ( )

2．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是 A．4 B．5 C．6 D．7 1 3 在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则 a9－ a11 的值为 ( 3 A．14 B．15 C．16 D．17 4．等差数列{an}的前 n 项和满足 S20＝S40，下列结论中正确的是 A．S30 是 Sn 中的最大值 B．S30 是 Sn 中的最小值 C．S30＝0 D．S60＝0 ( ) )

(

)

5．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且 a1＝10，b1＝90，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn} 的第 2 012 项的值是 A.85 B.90 C.95 D.100 ( )

6．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若 bn＝a3n，则数列{bn}的前 9 项和等于________． 二、填空题 7．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 S3＝3，S6＝24，则 a9＝________. 8．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 am－1＋am＋1－a2 ＝0，S2m－1＝38，则 m＝_______. m 9．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线 l 上，则数列{an}的前 9 项和 S9＝ ________. 三、解答题 10．设{an}是一个公差为 d (d≠0)的等差数列，它的前 10 项和 S10＝110，且 a2＝a1a4. 2 (1)证明：a1＝d； (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式．

11．在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前 n 项和为 Sn. 求 Sn 的最小值，并求出 Sn 取最小值时 n 的值

12．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； 1 (2)令 bn＝ 2 (n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an－1

13．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)． 1 (1)证明数列{ }是等差数列； an (2)求数列{an}的通项；