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高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之平面向量与其它知识的综合 新人教A版



三、平面向量与其它知识的综合:
典型例题:

? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 例 1.对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ? ?? ?? .若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 0 , a 与 b 的 ? ??
夹角 ? ? (0,

?

>
? ? ? ? ? ? ?n ? ) ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? n ? Z ? 中,则 a ? b =【 4 ?2 ?
B.1 C.



A.

1 2

3 2

D.

5 2

【答案】C。 【考点】新定义,平面向量的数量积,三角函数的值域,集合的概念。

? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? | ? | ? | ? | ? cos ? , ? ? ? ?? |? | 【解析】∵由定义 ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? , ?? ?? ? ?? cos ? , ? ? ? ? | ? | ? | ? | ? cos ? , ? | ? | ?? ? ?? ? ? ? |a| nn n1 ? ? | b | n 2 ∴ a ? b = ? ? cos ? ? , b ? a ? ? ? cos ? ? 2 。∴ cos q = 1 2 。 4 2 2 |b| |a|

? ?

? ?

?

?

∵ ? ? (0, ∵?

?

nn 1 ) ,∴ < cos 2 q = 1 2 < 1 ,即 2 < n1n2 < 4 。 4 2 4

?n ? n ? Z ? ,∴ n1n2 = 3 。 ?2 ?

?? ? ?? ? ? ? |a| ? ? n1 ? ? | b | n ? b ? a ? ? ? cos ? ? 2 。∴ n1 ? n2 。 又∵ a ? b ? 0 ,∴ a ? b = ? ? cos ? ? 2 2 |b| |a| ?? ? ? ? |a| n 3 ∴ n1 = 3 , a ? b = ? ? cos ? ? 1 ? 。故选 C。 2 2 |b|
例 2.对任意两个非零的平面向量 ? , ? , 定义 ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?? ? ? . 若平面向量 a, b 满足 a 与 b 的夹角 ? ? ( , ) , ? ?? 4 2


且 ? ? ? 和 ? ? ? 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 a ? b ? 【 A.

?n ?2

? ?

? ?

5 2

B.

3 2

C. 1

D.

1 2

【答案】D。 【考点】新定义,平面向量的数量积,三角函数的值域,集合的概念。

1

? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? | ? | ? | ? | ? cos ? , ? ? ? ?? |? | 【解析】∵由定义 ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? , ?? ?? ? ?? cos ? , ? ? ? ? | ? | ? | ? | ? cos ? , ? | ? | ?? ? ?? ? ? ? |a| nn n1 ? ? | b | n 2 ∴ a ? b = ? ? cos ? ? , b ? a ? ? ? cos ? ? 2 。∴ cos q = 1 2 。 4 2 2 |b| |a|

? ?

? ?

?

?

∵? ? ( ∵?

? ?

, ) ,∴ 0 < cos 2 q = 4 2

n1n2 1 < ,即 0 < n1n2 < 2 。 4 2

?n ? n ? Z ? ,∴ n1n2 = 1 。∴ n1 = n2 = 1。 ?2 ?

?? ? ? ? |a| n 1 ∴ a ? b = ? ? cos ? ? 1 ? 。故选 D。 2 2 |b|
例 3.在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB?BC = 1 则 BC ? 【 A.

??? ? ??? ?



3

B.

7

C. 2 2

D.

23

【答案】 A。 【考点】平面向量的数量积运算,余弦定理。 【解析】如图知 AB?BC = AB BC cos(? ? B) ? 2 ? BC ? (? cos B) ? 1 。 ∴ cos B ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

1 。 ?2 BC

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 1 22 ? BC 2 ? 32 = 又由余弦定理得 cos B ? ,即 ,解得 BC ? 3 。 2 AB ? BC ?2 BC 2 ? 2 ? BC
故选 A。 例 4.在平行四边形 ABCD 中, ?A ?

?
3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD

上的点,且满足

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

,则 AM ? AN 的取值范围是



.

【答案】 ? 2,5? 。 【考点】平面向量的基本运算。 【解析】如图所示,以 A 为原点,向量 AB 所在直线为 x 轴,过 A 垂直 于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系。 ∵平行四边形 ABCD 中, ?A ?

?
3

, AB ? 2, AD ? 1,

2

∴ A? 0,0?,B ? 2,0 ?,C ? ,

?5 3? ?1 3? 。 ?2 2 ? ?,D ? ? 2, 2 ? ? ? ? ? ?

设 N ? x,

? ? ?

??? ? ??? ? 5 ??? ? 3 ?? 1 5? ,则 BC ? 1 ? x ? , CN ? x , CD ? 2。 ? ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? ?

∴由

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

得, BM ? -

???? ?

5 1 x。 4 2

3 ? 21 1 ?5 1 ? ? 5 3 ?5 1 ? ? x。 ∴ M 的横坐标为 2 ? ? - x ? cos = ? x , M 的纵坐标为 ? - x ? sin = 3 8 4 3 8 4 ?4 2 ? ?4 2 ?
∴ AN ? ? x,

???? ? ? ?

? ? 21 1 5 3 3 ? ???? 3 ? , AM ? ? x , ? x? ? ? ?8 4 2 ? 8 4 ? ? ? ?
2 3?5 3 3 ? 1 2 9 15 1? 9? ? 21 1 ? ? x? ? ? x ? ? x ? x ? = ? x ? ? ? ? ? +6 。 ? 8 4 4 4 16 4 2 ?8 4 ? 2 ? ? ? ? ?
2

∴ AN ? AM ? x ?

???? ???? ?

1? 9? 9 ∵函数 y = ? ? x ? ? +6 在 x= 有最大值, 4? 2? 2

1 5 ? x ? 时,函数单调增加。 2 2 ???? ???? ? 9 5 ∴ AN ? AM 在 x= 时有最小值 2;在 x= 时有最大值 5。 2 2 ???? ???? ? ∴ AN ? AM 的取值范围是 ? 2,5? 。版权归锦元数学工作室,不得转载】
∴在 例 5.在矩形 ABCD 中,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点,且满足

???? ? ??? ? BM CN ???? ? ???? ??? ? ? ??? ? ,则 AM ? AN 的取值范围是 BC CD
【答案】 ?1,4? 。 【考点】平面向量的基本运算。



【解析】如图所示,以 A 为原点,向量 AB 所在直线为 x 轴,过 AD 所在 直线为 y 轴建立平面直角坐标系。 ∵在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, ∴ A? 0,0?,B ? 2,0?,C ? 2,1?,D ? 0,1? 。

??? ? ???? ??? ? , CN ? 2- x,CD ? 2 。 设 N ? x,1?? 0 ? x ? 2? ,则 BC ? 1

3

∴由

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

得, BM ? 1-

???? ?

1 x。 2

???? ???? ? ? 1 ? 1 ? ? ∴ M 的坐标为 ? 2, 1- x ? 。∴ AN ? ? x, 1?,AM ? ? 2, 1 ? x ? 。 2 ? 2 ? ? ?
∴ AN ? AM ? 2x ? 1 ? ∵ 0 ? x ? 2 ,∴ 1 ?

???? ???? ?

1 3 x ? x ?1 。 2 2

3 x ?1 ? 4 。 2

???? ???? ? ∴ AN ? AM 的取值范围是 ?1,4? 。

b 的最小值是 例 6.若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ;则 a ?
【答案】 ?

? ?

? ?

? ?





9 。 8

【考点】平面向量,基本不等式的应用。 【解析】∵ 2a ? b ? 3 ,∴ 4a ? b ? 9 ? 4a? b。

? ?

? 2 ?2

??

b?? 又∵ 4a ? b ? 4 a b ? ?4a? b ,∴ 9 ? 4a? b ? ?4a? b 。∴ a?

?2

?2

? ?

? ?

??

??

? ?

b 的最小值是 ? ∴ a?

? ?

9 。 8

9 。 8

A ? ? 例 7.已知向量 m=(sinx,1) n= ? 3A cos x, cos 2x ? ? A > 0 ? ,函数 f ? x ? ? m ? n 的最大值为 6。 2 ? ?
(Ⅰ)求 A; (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象像左平移

? 1 个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标 2 12

不变,得到函数 y=g(x)的图象。求 g(x)在 ? 0,

? ?

5? ? 上的值域。 24 ? ?

【答案】解: (Ⅰ) f (x) ? m ? n ? 3A cos x sin x ?

A 3 A ?? ? cos 2 x ? A sin 2x ? cos 2x ? A sin ? 2x ? ? 。 2 2 2 6? ?

?? ? ∵函数 f ? x ? ? m ? n 的最大值为 6。而 sin ? 2x ? ? ? 1 6? ?
∴ A=6 。 (Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的

1 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x) ? 6sin(4x ? ) 。 2 3

? ? ? 个单位得到函数 y ? 6sin[2(x ? ) ? ] 的图象, 12 12 6 ?

4

当 x ?[0,

5? ? ? 7? ? 1 ] 时, 4x ? ?[ , ], sin(4x ? ) ?[? ,1] , g(x) ?[?3,6] .。 24 3 3 6 3 2

∴函数 g(x)在 ? 0,

? ?

5? ? 上的值域为 [?3,6] 。 24 ? ?

【考点】向量的运算,三角函数的值域,函数图象平移的性质。 【解析】 (Ⅰ)求出函数 f ? x ? ? m ? n 关于 x 的表达式,化简后根据三角函数的值域确定 A。 (Ⅱ) 由平移的性质, 求出 g (x) , 由 x ?[0, 上的值域。 例 8. 已 知 向 量 a = ? cos ? x ? sin ? x,sin ? x ? ,b= ? cos ? x ? sin ? x,2 3 cos ? x

? 5? ? 5? ? 从而求得函数 g (x) 在 ? 0, ? ] 得出 4x ? 的范围, 3 24 4 ? ? 2

?

?

?

?

, 设 函 数

? ? ?1 ? f ? x ? = a? b+? ? x ? R ? 的图像关于直线 x =π 对称,其中 ?,? 为常数,且 ? ? ? ,1? ?2 ?
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 y=f ? x ? 的图像经过点 ?

? 3? ? ?? ? ,0 ? ,求函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? 上的取值范围。 ? 5 ? ?4 ?

【答案】解: f ? x ? =a ? b+? = ?sin ?x ? cos ?x ??sin ?x+cos ?x ?+2 3 sin ?xcos ?x+ ?

??

?? ? = sin 2 ? x ? cos2 ? x+2 3 sin ? x cos ? x+? = 3 sin 2? x ? cos2?x+? =2sin ? 2? x ? ? +? 。 6? ?
(Ⅰ) ∵函数 f ? x ? =a? ∴ 2? ? ? ? b+? ? x ? R ? 的图像关于直线 x =π 对称, ∴?=

? ?

?
6

=k? +

?
2

,k ? Z 。

k 1 + ,k ? z 。 2 3 5 ?1 ? ,1? ,∴ ? = 。 6 ?2 ?

又∵ ? ? ?

∴ f ? x ? =2sin ?

?? 2? 6? ?5 。 x ? ? +? 的最小正周期为 = 5 6? 5 ?3 3
?5 ? ? ? ?? ? ,0 ? ,则有 2sin ? ? ? ? +? =0 ,∴ ? = ? 2 。 ?3 4 6 ? ?4 ?

(II)若 y=f ? x ? 的图像经过点 ? ∴ f ? x ? =2sin ?

?? ?5 x? ?? 2 。 6? ?3
5

∵ x ? ?0,

?? 5 ? ? ? 5? ? ?5 ? 3? ? ,∴ x ? ? ? ? , 。∴ 2sin ? x ? ? ? ? ?1,2? 。 ? ? 6? 3 6 ? 6 6 ? ?3 ? 5 ?
? 3? ? 上的取值范围为 ? ?1 ? 2, 2 ? 2 ? 。 ? ? ? 5 ? ?

∴函数 f ? x ? 在区间 ?0,

【考点】数量积的坐标表达式,三角函数的恒等变化,正弦函数的定义域和值域。 【解析】 (Ⅰ)先利用向量数量积运算性质,求函数 f ? x ? 的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦公 式将函数 f ? x ? 化为 2sin ? 2? x ? 的最小正周期。 (II)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再求内层函数的值域,最后将内层函数看 做整体,利用正弦函数的图象和性质即可求得函数 f ? x ? 的值域。 例 9.在 ?ABC 中 ,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ;

? ?

??

? +? ,最后利用函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值,从而得函数 6?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,求 A 的值. 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【答案】解: (1)∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B ,即 AC ?cos A=3BC ?cos B 。
(2)若 cos C ?

AC BC cos B 。 ,∴ sin B?cos A=3sin A? = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3? cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 ? 5 ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面向。量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 (2)由 cos C ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从而根据两角和的 5

正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。

6

例 10. 对 于 数 集 X ? {?1, x1 , x2 , ?, xn } , 其 中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 , 定 义 向 量 集

? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X, t ? X} . 若对于任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P. 例如
X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P.
(1)若 x >2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (4 分) (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 x n>1 时, x 1=1; (6 分) (3)若 X 具有性质 P,且 x 1=1, x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1, x2 , ?, xn 的通项公式.(8 分) 【答案】解:(1)选取 a1 ? ( x, 2) ,则 Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) 。 ∴ x =2b ,从而 x =4。 (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y ,设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 。 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,∴ s 、 t 异号。 ∵-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1。 故 1?X。 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn 。 选取 a1 ? ( x1, xn ) ? Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 。 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1。 若 s =-1,则 x1 ? txn ? t ? x1 ,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. ∴ x1 =1。 (3)猜测 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, …, n 。 记 Ak ? {?1,1, x2 , ?, xk } , k =2, 3, …, n 。 先证明:若 A k ?1 具有性质 P,则 A k 也具有性质 P。 任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? A k .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 。 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1。 ∵ A k ?1 具有性质 P,∴有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? A k ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 。
?? ? ?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

?? ? ?? ?

7

从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1, 假设 t1 ? A k ?1 且 t1 ? A k ,则 t1 ? xk ?1 。 由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与 s ? A k 矛盾。 ∴ t1 ? A k ,从而 A k 也具有性质 P。 现用数学归纳法证明: xi ? qi ?1 ,i=1, 2, …, n 。 当 n =2 时,结论显然成立。 假设 n ? k 时, Ak ? {?1,1, x2, ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, …, k ; 则当 n ? k +1 时,若 Ak ?1 ? {?1,1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1,1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1,1, q, ?, qk ?1, xk ?1} 。 取 a1 ? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? ( s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 。 由此可得 s 与 t 中有且只有一个为-1。 若 t ? ?1 ,则 s ? 1 ,所以 xk ?1 ?

?? ?

?? ?

?? ? ?? ?

q ? q ,这不可能; s

∴ s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k 。 综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, …, n 。 【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系,数学归纳法和反证法的应用。 【解析】 (1)根据题设直接求解。 (2)用反证法给予证明。 (3)根据题设,先用反证法证明:若 A k ?1 具有性质 P,则 A k 也具有性质 P,再用数学归纳法证明 猜测 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, …, n 。

8



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