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2009年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)



2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)


目要求的.

学(理科)
?

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
2 2 1.如果复数 m ? 3m ? m ? 5m ? 6 i 是纯虚数,则实数 m 的值为

r />
?

? ?

B.2 C.0 或 3 D.2 或 3 ? x ? x ? 4?,x ? 0, ? 2.已知函数 f ? x ? ? ? 则函数 f ? x ? 的零点个数为 ? x ? x ? 4?,x≥0. ? A.1 B.2 C.3 D.4 2 3.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 3 ≤ x ? 7? , B ? x x ? 7 x ? 10 ? 0 ,则 ?R ? A ? B? ? A. ? ??,3? ? ?5, ??? C. ? ??,3? ? ?5, ???
2

A.0

?

B. ? ??,3? ? ?5, ??? D. ? ??,3? ? ?5, ???

?

?

4.命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1≥0
2 C. ?x ? R , x ? 2 x ? 1≥0

B. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0
2 D. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0

5.已知点 A ?1,0 ? ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,点 R 是直线 l 上的一点,若 RA ? AP ,则点 P 的轨迹方程为 6.函数 f ? x ? ? x cos x 的导函数 f ? ? x ? 在区间 ??? , ? ? 上的图像大致是 A. y ? ?2 x B. y ? 2 x C. y ? 2 x ? 8 D. y ? 2 x ? 4

??? ?

??? ?

A.

B.

C.

D.

7.现有 4 种不同颜色要对如图 1 所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同 一种颜色,则不同的着色方法共有 A.24 种 B.30 种 C.36 种 D.48 种
?

8.设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P ,从直线 l 出发的两个半平面 ? 、 ? 截球 O 的两个 截面圆的半径分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 150 ,则 球 O 的表面积为 A. 4? D. 112? 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12 题) 9. 在空间直角坐标系中,以点 A ? 4,, ? ,B ?10, 1 6? ,C ? x,, ? 1 9 ?, 4 3 为顶点的 ?ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数 x 的值 为 . y =x ? 4x+4
2

图1

开始 输入 x 是

B. 16?

C. 28?

x ? 1?




x ? 1?
是 y=x

y =1 输出 y 结束 图2

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 1 页 共 10 页

10.在某项才艺竞赛中,有 9 位评委,主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下:剔除评委中的一个最 高分和一个最低分后,再计算其他 7 位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩.现有一位参赛者所获 9 位评委一个最高分为 86 分、一个最低分为 45 分,若未剔除最高分与最低分时 9 位评委的平均分为 76 分,则这位参赛者的比赛成绩为 分. . 11.阅读如图2所示的程序框图,若输出 y 的值为0, 则输入 x 的值为

12.在平面内有 n n ? N* , n ≥ 3) 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这 n 条直线把平 面分成 f ? n ? 个平面区域,则 f ? 5? 的值是 , f ? n ? 的表达式是 .

?

(二)选做题(13~15 题,考生只能从中选做两题) 13. (几何证明选讲选做题) 如图 3 所示,在四边形 ABCD 中, EF ? BC ,

FG ? AD ,则

14. (不等式选讲选做题) 函数 f ? x ?= x ?1 ? x ? 2 的最小值为 15.坐标系与参数方程选做题)直线 ? ( ( ? 为参数)所截得的弦长为

EF FG ? 的值为 BC AD

. .

? x ? 2 ? 5cos ? , ? x ? ?2 ? 4t , ?t为参数? 被圆 ? y ? 1 ? 5sin ? ? ? y ? ?1 ? 3t


图3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)

x ? ? 2 ? ? (1)求函数 f ? x ? 的值域;

已知向量 m ? ? 2cos , ? , n ? ? sin , ? ? x?R ? ,设函数 f ? x ? ? m? ?1 . n 1 1

? ?

x 2

? ?

(2) 已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A , B , C ,若 f ? A ? ?

5 3 , f ? B ? ? ,求 f ?C ? 的值. 13 5

17. (本小题满分12分) 在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A1 、 C1 、 B 三点的平面截去长方体的一个角后, 1 得到如图4所示的几何体 ABCD ? AC1D1 ,且这个几何体的体积为 1 (1)求棱 A A 的长; 1 (2)在线段 BC1 上是否存在点 P ,使直线 A P 与 C1D 垂直, 1 如果存在,求线段 A P 的长,如果不存在,请说明理由. 1

40 . 3 D1

C1

A1

D A
数学(理科)试题参考答案及评分标准 图4 第 2 页 共 10 页

C
B

18. (本小题满分14分) 是否成等差数列,并证明你的结论.

已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , am ,am?2 ,am?1 m ? N * 成等差数列, 若 试判断 Sm ,Sm? 2 ,Sm?1

?

?

19. (本小题满分14分) 一个口袋中装有 2 个白球和 n 个红球( n ≥2 且 n ? N* ) ,每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两 个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 p ; (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f ? p ? ,当 n 为何值时, f ? p ? 最大? (2)若 n ? 3 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率;

20. (本小题满分14分)

(2)若对任意的 x1, x2 ??1 e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取值范 , 围.

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
已知函数 f ? x ? ? x ?

21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 3 ( ) ? 2 ? 1 a ? 0,b ? 0 的离心率为 , 左、 右焦点分别为 F1 、F2 , 在双曲线 C 2 a b 3 上有一点 M ,使 MF ? MF2 ,且 ?MF F2 的面积为 1 . 1 1 (1)求双曲线 C 的方程; B 在线段 AB 上取异于 A 、 (2) 过点 P ? 3,1? 的动直线 l 与双曲线 C 的左、 右两支分别相交于两点 A 、 ,
已知双曲线 C :

B 的点 Q ,满足 AP ?QB ? AQ ?PB .证明:点 Q 总在某定直线上.

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第 3 页 共 10 页

2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生只能选做二题,三 题全答的,只计算前二题得分.第 12 题第 1 个空 3 分,第 2 个空 2 分. 9.2 13.1 10.79 14.3 11.0 或 2 15.6 12.16,

n2 ? n ? 2 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及 运算求解能力) 解: (1) f ? x ? ? m? ? 1 ? ? 2cos , ?? sin , ? ? 1 n 1 ? 1

x ?? x ? ? 2 ?? 2 ? ? x x ? 2 cos sin ? 1 ? 1 ? sin x . ∵ x? R , 2 2 ∴函数 f ? x ? 的值域为 ?-1,? . 1

5 3 5 3 , f ? B ? ? ,∴ sin A ? , sin B ? . 13 5 13 5 12 4 2 2 ∵ A, B 都为锐角,∴ cos A ? 1 ? sin A ? , cos B ? 1 ? sin B ? . 13 5
(2)∵ f ? A ? ? ∴ f ? C ? ? sin C ? sin ?? ? ? A ? B ? ? ? sin ? A ? B ? ? ?

? sin A cos B ? cos A sin B

?

5 4 12 3 56 56 ? ? ? ? . ∴ f ? C ? 的值为 . 13 5 13 5 65 65

17. (本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识,考查数形结合的数学思想方法, 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解: (1)设 A A ? h ,∵几何体 ABCD ? AC1D1 的体积为 1 1 ∴ VABCD ? A1C1D1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ? 即 2? 2? h ? ?

40 , 3

40 1 40 , 即 S ABCD ? h ? ? S ?A1B1C1 ? h ? , 3 3 3

1 1 40 ? 2? 2? h ? ,解得 h ? 4 .∴ A A 的长为4. 1 3 2 3

(2)在线段 BC1 上存在点 P ,使直线 A P 与 C1D 垂直. 1 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 4 页 共 10 页

以下给出两种证明方法: 方法1:过点 D1 作 C1D 的垂线交 C1C 于点 Q ,过点 Q 作 PQ ? BC 交 BC1 于点 P . ∵ C1D ? D1Q , C1D ? A D1 , D1Q ? A D1 ? D1 , 1 1 ∴ C1D ? 平面 A1D1Q . ∵ AQ ? 平面 A1D1Q ,∴ C1D ? AQ . 1 1 ∵ C1D ? PQ ,∴ C1D ? 平面 A PQ . 1 ∵ A1P ? 平面 A PQ ,∴ C1D ? A P . 1 1 在矩形 CDD1C1 中,∵ Rt?D1C1Q ∽ Rt?C1CD ,

D1

C1
Q P

A1

CQ 2 CQ DC ∴ 1 ? 1 1 ,即 1 ? ,∴ C1Q ? 1 . 2 4 CD C1C

D A B

C

CP 1 C1P C1Q 5 ,即 1 ? ,∴ C1 P ? . ? 2 C1B C1C 2 5 4 1 A1C1 10 ? 在 ?A PC1 中,∵ AC1 ? 2 2 ,∴ cos ?A1C1 P ? 2 . 1 1 C1 B 10
∵ ?C1PQ ∽ ?C1BC ,∴ 由余弦定理,得 A1 P ?

A1C12 ? C1P 2 ? 2 ? A1C1 ? C1P ? cos ?A1C1P

5 5 10 29 . ? 8 ? ? 2? 2 2 ? ? ? 4 2 10 2
∴在线段 BC1 上存在点 P ,使直线 A P 与 C1D 垂直,且线段 A P 的长为 1 1

29 . 2

方法2:以点 D 为坐标原点,分别以 DA , DC , DD1 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间 直角坐标系,由已知条件与(1)可知, C1 ? 0, 2, 4? , A ? 2,0, 4? , D ? 0,0,0? , 1 假设在线段 BC1 上存在点 P ? x,y,z ? ? 0 ≤ x ≤2,y ? 2 , z ≤ 4? 0≤ 使直线 A P 与 C1D 垂直,过点 P 作 PQ ? BC 交 BC 于点 Q . 1

由 ?BPQ ∽ ?BC1C ,得 ∴ PQ ?

PQ BQ , ? C1C BC

BQ 2? x ? C1C ? ? 4 ? 4 ? 2x . BC 2 ∴ z ? 4 ? 2x . ???? ???? ? ∴ A1P ? ? x ? 2,, 2 x ? , C1D ? ? 0, 2, 4 ? . 2 ? ? ?
∵ A P ? C1D ,∴ A P? 1D ? 0 , C 1 1 即 ? x ? 2,, 2x ?? 0, 2, 4? ? 0 ,∴ x ? 2 ? ? ? ?

???? ???? ?

1 . 2

此时点 P 的坐标为 ? ,, ? ,在线段 BC1 上. 2 3

?1 ?2

? ?

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第 5 页 共 10 页

2 ???? ???? ? 3 29 2 ? 3? ? 2 ∵ A1 P ? ? ? ,, 1? ,∴ A1 P ? ? ? ? ? 2 ? ? ?1? ? . 2 ? 2 ? 2? ? 2 ?

∴在线段 BC1 上存在点 P ,使直线 A P 与 C1D 垂直,且线段 A P 的长为 1 1

29 . 2

18. (本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识,考查化归与转化、分类 与整合的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) 解:设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ? a1 ? 0, q ? 0? , 若 am , am?2 , am?1 成等差数列, 则 2am?2 ? am ? am?1 .∴ 2a1qm?1 ? a1qm?1 ? a1qm . ∵ a1 ? 0 , q ? 0 ,∴ 2q 2 ? q ? 1 ? 0 .解得 q ? 1 或 q ? ?

当 q ? 1 时,∵ Sm ? ma1 , Sm?1 ? ? m ? 1? a1 , Sm?2 ? ? m ? 2? a1 , ∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 .∴当 q ? 1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 不成等差数列. 当q ? ?

1 . 2

证法1:∵ ? Sm ? Sm?1 ? ? 2Sm?2 ? ? Sm ? Sm ? am?1 ? ? 2 ? Sm ? am?1 ? am?2 ?

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列.下面给出两种证明方法. 2

? ?am?1 ? 2am?2 ? ?am?1 ? 2am?1q
? 1? ? ?am?1 ? 2am?1 ? ? ? ? 0 , ? 2? 1 ∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 .∴当 q ? ? 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2 m? 2 ? ? 1? ? 2a1 ?1 ? ? ? ? ? m? 2 ? ? 2? ? 4 ? ? 1? ? ? ? ? a 1? ? 证法2:∵ 2Sm? 2 ? 1? ? ? ?, 1 3 ? ? 2? ? ? ? 1? 2 ? ? 1 ?m ? ? ? 1 ?m?1 ? a1 ?1 ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? m m ?1 ? ? 2? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 a ?2 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 又 Sm ? Sm?1 ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? 2? ? 2? ? ? ? 1? 1? 2 2 m?2 m? 2 m? 2 2 ? ? 1? ? 1? ? 4 ? ? 1? ? ? a1 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 3 ? ? 2? ? 2? ? 3 ? ? 2? ? ? ? ? ?
∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? ?

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2

19. (本小题主要考查等可能事件、 互斥事件和独立重复试验等基础知识, 考查化归与转化的数学思想方法, 以及推理论证能力和运算求解能力) 解: (1)∵一次摸球从 n ? 2 个球中任选两个,有 C2 2 种选法, n? 任何一个球被选出都是等可能的,其中两球颜色相同有 C2 ? C2 种选法, n 2 ∴一次摸球中奖的概率 p ?
2 C2 ? C2 n 2 ? n ? 2 n . ? 2 C2 ? 2 n ? 3n ? 2 n

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第 6 页 共 10 页

(2)若 n ? 3 ,则一次摸球中奖的概率 p ?

2 , 5

三次摸球是独立重复试验,三次摸球恰有一次中奖的概率是

54 . 125 (3)设一次摸球中奖的概率为 p ,则三次摸球恰有一次中奖的概率为 P3 (1) ? C1 ? p ? (1 ? p) 2 ? 3
f ? p ? ? P3 (1) ? C1 ? p ? ?1 ? p ? ? 3 p 3 ? 6 p 2 ? 3 p , 0 ? p ? 1 , 3
2

∵ f ? ? p ? ? 9 p ?12 p ? 3 ? 3? p ?1??3 p ?1? ,
2

? 1? ?1 ? ? 3? ?3 ? 2 n ?n?2 1 ? ? n ≥ 2, 且n ? N* ? ,解得 n ? 2 . ∵p? 2 n ? 3n ? 2 3 故当 n ? 2 时,三次摸球恰有一次中奖的概率最大.

∴ f ? p ? 在 ? 0, ? 上为增函数,在 ? , ? 上为减函数.∴当 p ? 1

1 时, f ? p ? 取得最大值. 3

20. (本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以 及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)

a2 a2 1 ?? x? ? 2 ? 2 ? . ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ? ,∴ h (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ? x x x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 . ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 .
经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ a ? 3 . 解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ?

a2 a2 1 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ?? ,∴ h? ? x ? ? 2 ? 2 ? . ? x x x 2 a 1 2 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 .∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 , x x
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) x2 ? , , 4 4

x
h? ? x ?
h ? x?

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ???


?

?

?1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 依题意, 4 ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1, x2 ??1 e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的 x1, x2 ??1 e? 都 有 , ,
? f ? x ? ? m i n≥ ? g ? x ? ? max . ? ? ? ?
当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ∴ ? g ? x ? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ? ?

1 ? 0 .∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 e? 上是增函数. , x

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第 7 页 共 10 页

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数,∴ ? f ? x ? ? min ? f ?1? ? 1 ? a . ? ? x 2 由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e ,又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意.
∵ f ?? x? ? 1? ②当1≤ a ≤ e 时,若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ? 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 .
x2

a2 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x e ?1 e ?1 ∴ ? f ? x ? ? min ? f ? a ? ? 2a .由 2a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ ,又1≤ a ≤ e ,∴ ≤a≤e. ? ? 2 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1 e? 上是减函数.∴ ? f ? x ? ? ? f ? e ? ? e ? . , ? ? min e x a2 ? e ?1 ? 由e? ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e ,又 a ? e ,∴ a ? e .综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . e ? 2 ?
21. (本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查化归与转化、数形结合的 数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:∵双曲线
2 2 即 a ? 3b .

a 2 ? b2 2 3 x2 y 2 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的离心率为 ? ,∴ . a2 b 3 a 3


∵ MF ? MF2 ,且 ?MF F2 的面积为 1.∴ S ?MF1F2 ? 1 1 ∵ MF1 ? MF2 ? 2a ,

1 MF1 MF2 ? 1 ,即 MF1 MF2 ? 2 . 2 2 2 2 2 2 ∴ MF1 ? 2 MF1 MF2 ? MF2 ? 4a . ∴ F1 F2 ? 4 ? 4a .


2 2 2 2 ∴ 4 a ? b ? 4 ? 4a ,∴ b ? 1 .

?

?

2 将②代入①,得 a ? 3 .∴双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(2)解法 1:设点 Q,A,B 的坐标分别为( x, y )( x1,y1 )( x2,y2 ) , , ,且 x1 < x2 <3,又设直线 l 的倾斜角为 ? ? ? ?

? ?

??

, 1 ? ,分别过点 P,Q,A B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 P,Q1,A1,B1 , 2?

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第 8 页 共 10 页

则 AP =

A1P 1 cos?
?



PB 3? x2 3 ? x1 , PB = 1 1 = cos? cos? cos?



QB =

Q1B1 cos?

AQ x2 ? x x - x1 , AQ = 1 1 ? ,∵ AP ?QB = AQ ?PB , cos? cos? cos?
③ ④

∴(3- x1 ) x2 ? x )= x ? x1 ( ( )( ? x2 , 3 ) 即 ?6 ? ( x1 ? x2 )? x ? 3( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 . 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3) , 将④代入

x2 ( ? y 2 =1 中整理,得(1-3 k 2 ) x 2 ? 6k 1 ? 3k)x ? 3 ?(1 ? 3k ) 2 ? 1? ? 0 . ? ? 3 依题意 x1 , x2 是上述方程的两个根,且 1 ? 3k 2 ? 0 ,

6k ?1 ? 3k ? ? , ? x1 ? x2 ? 1 ? 3k 2 ? ∴? 2 3 ??1 ? 3k ? ? 1? ? ? ?. ? x1 x2 ? ? 1 ? 3k 2 ?



将⑤代入③整理,得 x ? 2 ? k ( x ? 3) .



由④、⑥消去 k 得 x ? 2 ? y ? 1 ,这就是点 Q 所在的直线方程. ∴点 Q ( x, y )总在定直线 x- y ? 1 ? 0 上.

(x ) ( 解法 2:设点 Q , A, B 的坐标分别为 , y , x1 , y1 , x2,y2 ,且 x1 < x2 <3, )( )
∵ AP ?QB = AQ ?PB ,∴

即 ?6 ? ( x1 ? x2 )? x ? 3( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 .

AP AQ 3 ? x1 x ? x1 =- ,即 , ?? PB QB x2 ? 3 x2 ? x
y

以下同解法 1. 解法 3:设点 Q,A,B 的坐标分别为 ( x,y),x1,y1 ),x2,y2 ) , ( ( 由题设知 AP ,PB ,AQ , QB 均不为零,记

??

AP PB

?

AQ QB

B P . x A Q

∵过点 P 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支相交于两点 A , B , ∴ ? ? 0 且 ? ? 1. ∵ A,P,B,Q 四点共线, ∴ AP ? ?? PB AQ ? ?QB . ,

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

即?

?? 3 ? x1 ,1 ? y1 ? ? ?? ? x2 ? 3, y2 ? 1? , ? ?? x ? x1 , y ? y1 ? ? ? ? x2 ? x, y2 ? y ? . ?

x1 ? ? x2 ? ?3 ? 1 ? ? ? ∴? ③ ? x ? x1 ? ? x2 ? 1? ? ? 由③消去 ? ,得 ?6 ? ( x1 ? x2 )? x ? 3( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 .
以下同解法 1. 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 9 页 共 10 页

解法 4:设点 Q,A,B 的坐标分别为 ( x,y),x1,y1 ),x2,y2 ) , ( ( 由题设知 AP ,PB ,AQ , QB 均不为零,记 ? ?

AP AQ

QB ∵过点 P 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于两点 A、B , ∴ ? ? 0 且 ? ? 1. ∵ A,P,B,Q 四点共线, ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 设 PA ? ?1 AQ PB ? ?2 BQ ,则 ?1 ? ?2 ? 0 . ,
即?

?

PB



?? x1 ? 3, y1 ? 1? ? ?1 ? x ? x1 , y ? y1 ? , ? ?? x2 ? 3, y2 ? 1? ? ?2 ? x ? x2 , y ? y2 ? . ?

3 ? ?1 x ? 3 ? ?2 x ? ? x1 ? 1 ? ? ,? x2 ? 1 ? ? , ? ? 1 2 ∴? ? 1 ? ?1 y ? 1 ? ?2 y ?y ? . y ? . ? 1 1 ? ?1 ? 2 1 ? ?2 ? ?
2 2

∵点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) 在双曲线 C 上,

? 3 ? ?i x ? ? 1 ? ?i y ? 2 ∴? ? ? 3? ? ? 3 ,其中 i ? 1, . ? 1 ? ?i ? ? 1 ? ?i ?

? 3? ?x ? ? 1? ? y ? ∴ ?1,?2 是方程 ? ? ? 3? ? ? 3 的两个根. ? 1? ? ? ? 1? ? ? 2 2 2 即 ?1, 2 是方程 ? x ? 3 y ? 3? ? ? 6 ? x ? y ? 1? ? ? 3 ? 0 的两个根. ?
2 2

∵ ?1 ? ?2 ? 0 ,且 x2 ? 3 y 2 ? 3 ? 0 , ∴ ?1 ? ?2 ? ?

6 ? x ? y ? 1? ? 0 ,即 x ? y ? 1 ? 0 . x2 ? 3 y 2 ? 3 ∴点 Q( x,y ) 总在定直线 x ? y ? 1 ? 0 上.

数学(理科)试题参考答案及评分标准

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