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2015届高考数学二轮复习专题检测:不等式(含解析)



2015 届高考数学二轮复习专题检测:不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(文)已知 a,b 为非零实数且 a<b,则下列命题成立的是( )

A.a2<b2 B.ab2>a2b 1 1 b a C.ab2<a2b D.a<b [答案] C [解析] 若 a<b<0,可得 a2>b2,知 A 不成立.
?ab<0 ? 若? ,可得 a2b>ab2,知 B 不成立. ?a<b ?

b a 1 b a 若 a=1,b=2,则a=2,b=2有a>b,知 D 不成立,故选 C. 1 (理)设 x∈R,则“x>2”是“2x2+x-1>0”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 本题考查充要条件,解一元二次不等式的知识. 由 2x2+x-1>0 得(x+1)(2x-1)>0, 1 1 即 x<-1 或 x>2,又因为 x>2?2x2+x-1>0, 1 而 2x2+x-1>0?/ x>2,选 A. 2.(2015· 邵阳模拟)已知 0<a<b,且 a+b=1,则下列不等式,正确的是( A.log2a>0 1 B.2a-b<2 D.log2a+log2b<-2 )

a b 1 C.2b +a <2 [答案] D

1 3 [解析] 当 a=4,b=4时,选项 A 不成立; 1 1 1 1 1 1 2 2 对于选项 B,a-b=-2,2a-b=2- =(2) >(2)1=2,选项 B 错误; a b b a 1 1 1 对于选项 C,a+b=3+3,2b +a =23+3>2>2,选项 C 错误,故选 D. 3.小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则( )
-1-

A.a<v< ab B.v= ab a+b a+b C. ab<v< 2 D.v= 2 [答案] A [解析] 设从甲地到乙地的全程为 s, 则 v=s 2ab = s a+b a+b 2s

∵0<a<b,∴a+b<2b,a+b>2 ab, 2ab 2ab 2ab 所以 2b < < , a+b 2 ab 2ab 则 a< < ab,即 a<v< ab.故选 A. a+b 4.不等式 x2-3x-10≥0 的解集是( ) A.(-∞,-2]∪[5,+∞) B.[-2,5] C.(-∞,+∞) D.? [答案] A [解析] 因为根据一元二次不等式的解法,结合二次函数的图像及根的大小,可知 x2-3x- 10≥0?(x-5)(x+2)≥0?x≥5 或?x≤-2,可知不等式 x2-3x-10≥0 的解集是(-∞,-2]∪[5, +∞).故答案为 A. 2x+y-2≥0, ? ? y+1 5.已知 x,y 满足线性约束条件?x-2y+4≥0, 则 x 的取值范围是( ? ?3x-y-3≤0, A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.[1,2] D.(-∞,+∞) [答案] A y+1 [解析] 作出不等组表示的可行域,可知 k= x , 表示可行域内的点与 P(0,-1),连线的斜率, 所以 k≥kPC=1,故选 A.

)

6.(2015· 温州一模)不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图像为 图中的( )

-2-

[答案] B [解析] ∵ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1}, ∴a<0 且-2,1 为方程 ax2-x-c=0 的两根.

?a=-1 ∴? c ?-a=-2
1

?a=-1 ? ,∴? .∴f(x)=-x2-x+2, ?c=-2 ?

∴f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2).故选 B. x+y-2≥0, ? ? 7.(2014· 北京高考)若 x、 y 满足?kx-y+2≥0, 且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为( ? ?y≥0, A.2 1 C.2 B.-2 1 D.-2

)

[答案] D [解析] 如图,作出?
? ?x+y-2≥0, ?y≥0 ?

所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4 时对应的

直线 y-x=-4,即 x-y-4=0.显然 z 的几何意义为目标函数对应直线 x-y+z=0 在 x 轴上 的截距的相反数, 故该直线与 x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点, 又 kx-y+2=0 恒过点(0,2), 2-0 1 故 k= =-2.故选 D. 0-4

8.某企业投入 100 万元购入一套设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花 费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年 增加 2 万元.为使该设备年平均费用最低,该企业( )年后需要更新设备.( ) A.10 B.11 C.13 D.21
-3-

[答案] A [解析] 由题意可知 x 年的维护费用为 2+4+…+2x=x(x+1),所以 x 年平均维护费用为 y= 100+0.5x+x?x+1? 100 100 =x+ x +1.5, 由均值不等式得 y=x+ x +1.5≥2 x 100 当且仅当 x= x ,即 x=10 时取等号,所以选 A. 9. 已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上满足 f′(x)>0, 则满足 f(x2-2x)<f(x)的 x 的取值范围是( ) A.(-3,1) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,3) D.(1,3) [答案] D [解析] 因为偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上满足 f′(x)>0,所以函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调 递增,在区间(-∞,0)内单调递减,所以由 f(x2-2x)<f(x)可得|x2-2x|<|x|,解得 1<x<3,所 以满足 f(x2-2x)<f(x)的 x 的取值范围是(1,3). log2x,x>0 ? ? 10.若函数 f(x)=? 1 ,若 af(-a)>0,则实数 a 的取值范围是( log2?-x?,x<0 ? ? A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) [答案] A [解析] 若 a>0, 则由 af(-a)>0 得, alog1 a>0, 解得 0<a<1.若 a<0, 则由 af(-a)>0 得, alog2(- 2 a)>0,即 log2(-a)<0 解得 0<-a<1,所以-1<a<0. 综上 0<a<1 或-1<a<0,选 A. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.若关于 x 的不等式 m(x-1)>x2-x 的解集为{x|1<x<2},则实数 m 的值为________. [答案] 2 [解析] 解法 1:由 m(x-1)>x2-x 整理得(x-1)(m-x)>0,即(x-1)(x-m)<0,又 m(x-1)>x2 -x 的解集为{x|1<x<2},所以 m=2. 解法 2:由条件知,x=2 是方程 m(x-1)=x2-x 的根, ∴m=2. y≤x, ? ? 12 . ( 文 )(2014·湖南高考 ) 若变量 x , y 满足约束条件 ?x+y≤4, 则 z = 2x + y 的最大值为 ? ?y≥1, ________. [答案] 7 [解析] 本题考查了简单线性规划最优解问题.
? ?y=1 可行域如图,要使 z=2x+y 最大,则该直线过点 A,而点 A 的坐标由? 可得,A(3,1), ?x+y=4 ?

100 x· x +1.5=21.5,

)

∴zmax=2×3+1=7.

-4-

y≤x, ? ? (理)(2014· 湖南高考)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ,且 z=2x+y 的最小值为-6,则 k ? ?y≥k, =________. [答案] -2 [解析] 本题考查线性规划中参数的求值问题. 求出约束条件中三条直线的交点为(k,k),(4-k,k),(2,2),且 y≤x,x+y≤4 的可行域如图, 所以 k≤2, 要使 z=2x+y 最小,该直线过点 A(k,k),∴3k=-6?k=-2,故填-2.

13.已知向量 a=(x,-2),b=(y,1),其中 x,y 都是正实数,若 a⊥b,则 t=x+2y 的最小值 是________. [答案] 4 [解析] 因为 a⊥b,所以 a· b=(x,-2)· (y,1)=0, 即 xy=2,又 t=x+2y≥2 2xy=4, 所以 t=x+2y 的最小值是 4. 14.若关于 x 的不等式 4x-2x+1-a≥0 在[1,2]上恒成立,则实数 a 的取值范围为________. [答案] (-∞,0] [解析] ∵4x-2x+1-a≥0 在[1,2]上恒成立, ∴4x-2x+1≥a 在[1,2]上恒成立. 令 y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1. ∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4. 由二次函数的性质可知: 当 2x=2,即 x=1 时,y 有最小值为 0. ∴a 的取值范围为(-∞,0]. g?x? 15.已知函数 f(x)与 g(x)的图像关于直线 x=2 对称,若 f(x)=4x-15,则不等式 ≥0 的解 x2-1 集是________. 1 [答案] (-∞,-1)∪[4,1)

-5-

[解析]

若 f(x)=4x-15,则 g(x)=f(4-x)=4(4-x)-15=1-4x,故不等式

g?x? ≥0 等价于 x2-1

1-4x ≥0, x2-1 即(x-1)(x+1)(4x-1)≤0(x≠1 且 x≠-1), 1 解得 x<-1 或4≤x<1. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)已知不等式 kx2-2x+6k<0(k≠0). (1)若不等式的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)若不等式的解集为?,求 k 的取值范围. [解析] (1)∵不等式的解集为{x|x<-3 或 x>-2}. ∴k<0 且 x1=-3,x2=-2 是方程 kx2-2x+6k=0 的两根. 2 ∴x1x2=6,x1+x2=-5.∴k=-5.
?k>0 ? (2)由于 k≠0,要使不等式解集为?,只需? , ?Δ≤0 ? ? ?k>0

即?

6 ,解得 k≥ 6 . ?1-6k2≤0 ?

6 即 k 的取值范围是 k≥ 6 . 17.(本小题满分 12 分)已知 a>0 且 a≠1,关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x>0},解关于 x 的 1 不等式 loga(x-x )<0 的解集.

[解析]

?x-x>0 1 因为关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x>0}, 所以 a>1, 故 loga(x-x )<0?? 1 ?x-x<1
1

?

1- 5 1+ 5 -1<x< 2 或 1<x< 2 , 1- 5 1+ 5 ∴原不等式的解集是(-1, 2 )∪(1, 2 ). 18.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(x,m),b=(1-x,x),其中 m∈R.若 f(x)=a· B. (1)当 m=3 时解不等式 f(x)<x; (2)如果 f(x)在(-2,+∞)上单调递减,求实数 m 的取值范围. [解析] 由于 a=(x,m),b=(1-x,x), 所以 f(x)=a· b=-x2+(m+1)x. (1)当 m=3 时,f(x)=-x2+4x,不等式 f(x)<x, 即-x2+4x<x,解得 x>3 或 x<0, 所以 m=3 时,不等式 f(x)<x 的解集为 (-∞,0)∪(3,+∞).
-6-

m+1 (2)如果 f(x)=-x2+(m+1)x 在(-2,+∞)上单调递减,则有 2 ≤-2,解得 m≤-5, 所以实数 m 的取值范围是 m≤-5. 1 1 19.(本小题满分 12 分)已知 α,β 是三次函数 f(x)=3x3+2ax2+2bx(a,b∈R)的两个极值点, 且 α∈(0,1),β∈(1,2),求动点(a,b)所在的区域面积 S. 1 1 [解析] 由函数 f(x)=3x3+2ax2+2bx(a,b∈R)可得,f′(x)=x2+ax+2b, 由题意知,α,β 是方程 x2+ax+2b=0 的两个根, 且 α∈(0,1),β∈(1,2),因此得到可行域 b>0 f′?0?=2b>0 ? ? ? ? ?f′?1?=1+a+2b<0, ,即?a+2b+1<0 , ? ? ?a+b+2>0 ?f′?2?=4+2a+2b>0 画出可行域如图,

1 所以 S=2. 20.(本小题满分 13 分)函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1) =0. (1)求 f(0); (2)求 f(x); (3)当 0<x<2 时不等式 f(x)>ax-5 恒成立,求 a 的取值范围. [解析] (1)令 x=1,y=0, 得 f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)· 1=2, ∴f(0)=f(1)-2=-2. (2)令 y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)· x=x2+x, ∴f(x)=x2+x-2. (3)f(x)>ax-5 化为 x2+x-2>ax-5, ax<x2+x+3,∵x∈(0,2), x2+x+3 3 ∴a< =1+x+x . x 3 3 当 x∈(0,2)时,1+x+x ≥1+2 3,当且仅当 x=x , 即 x= 3时取等号, 3 由 3∈(0,2),得(1+x+x )min=1+2 3. ∴a<1+2 3.
-7-

21. (本小题满分 14 分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162m2 的三 级 污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为 400 元 /m,中间两道隔墙建造单价为 248 元/m,池底建造单价为 80 元/m2,水池所有墙的厚度忽略 不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低, 并求出最低总造价. [分析] (1)由题意设出未知量, 构造函数关系式, 变形转化利用基本不等式求最值, 得出结论; (2)先由限制条件确定 x 的范围,然后判断(1)中函数的单调性,利用单调性求最值,得出结论. 162 [解析] (1)设污水处理池的宽为 x(x>0)m,则长为 x m. 则总造价 2×162? ? f(x)=400× 2x+ x +248×2x+80×162 ? ? 1 296×100 =1 296x+ +12 960 x

? 100? =1 296 x+ x +12 960(x>0) ? ?
≥1 296×2 100 x· x +12 960=38 880(元),

100 当且仅当 x= x (x>0), 即 x=10 时取等号. ∴当长为 16.2m,宽为 10m 时总造价最低,最低总造价为 38 880 元. 0<x≤16 ? ? (2)由限制条件知? 162 , 0< x ≤16 ? ? 1 ∴108≤x≤16. 100 1 设 g(x)=x+ x (108≤x≤16),

? 1 ? 由函数性质易知 g(x)在 108,16 上是增函数, ? ?
1 162 ∴当 x=108时(此时 x =16), 1 800 g(x)有最小值,即 f(x)有最小值 1 296×(108+ 81 )+12 960=38 882(元). 1 ∴当长为 16m,宽为 108m 时,总造价最低,为 38 882 元.

-8-



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