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1.2.1任意角的三角函数



1.2.1 任意角的三角函数
教学目的: 知识目标:1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一)。 能力目标:(1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; (3)通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分析

、探究、解决问题的能力。 德育目标: (1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式;
(2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;

教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这 三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 教学难点:利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来

教学过程: 一、复习引入:初中锐角的三角函数是如何定义的? 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正切依次为 a b a . 角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数 sinA ? , cosA ? , tanA ?
c c b

重新定义。 二、讲解新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x, y ) ,它与原 点的距离为 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么 y y (1)比值 叫做α的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x x x (4)比值 叫做α的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; y y 注意:①α的始边与 x 轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α的大小, 只表明与α的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α,四个比值不以点 P ( x, y ) 在α的终边上的位置的改 变而改变大小; ? ③当 ? ? ? k? (k ? Z ) 时,α的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 , 2 y 所以 tan ? ? 无意义;同理当 ? ? k? (k ? Z ) 时, cot? ? x 无意义; x y y x y x ④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值 、 、 、 分别是一个确定的实数, r r x y 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。 注意:任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与 坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上, 由锐角三角函数的定义到任意角的三角函 数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程. 函
1













2.三角函数的定义域、值域

y ? sin ? y ? cos ?
y ? tan ?
{? | ? ?

?
2

R R
? k? , k ? Z }

[ ?1,1] [ ?1,1]

R

注意: (1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非负半轴重合.? (2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转了几圈, 按什么方向旋转到 OP 的位置无关. 3.例题分析 例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的四个函数值。 解:因为 x ? 2, y ? ?3 ,所以 r ? 22 ? (?3) 2 ? 13 ,于是
y 3 x 2 y ?3 3 13 x 2 2 13 cot ? ? ? ? . ; cos ? ? ? ; tan ? ? ? ? ? ?? ? x 2 y 3 r 13 r 13 13 13 例 2.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的四个三角函数值。

sin ? ?

解:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , 当 a ? 0时, sin ? ?

x ? a, y ? 2a

x a 5a y 2a 2a 2 5 ; tan ? ? 2;cot ? ? 1 ;sec ; ? ? 5;csc ? ? 5 cos ? ? ? ? ? ? ? r 5 r 5 5a 5|a| 5a 2 2 y 2a 2a 2 5 ; cos ? ? x ? a ? ? 5a ; tan ? ? 2;cot ? ? 1 ;sec 当 a ? 0时, . ? ? ? 5;csc sin ? ? ? ? ?? r ? 5a 5 2 r 5 5 | a | ? 5a 4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: y ①正弦值 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ),对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ); r x ②余弦值 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ),对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ); r y ③正切值 对于第一、三象限为正( x, y 同号),对于第二、四象限为负( x, y 异号). x 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 例 3: 确定下列三角函数值的符号: ? 11? (1) cos 250? ; (2) sin( ? ) ; (3) tan(?672? ) ; (4) tan . 4 3 5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? , 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问题. 9? 11? ), 例 4.求下列三角函数的值:(1) cos , (2) tan( ? 4 6 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.任意角的三角函数的定义;2.三角函数的定义域、值域;3.三角函数的符号及诱导公式。 五、巩固与练习 1、教材 P15 面练习;

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