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第二章基本初等函数、导数及其应用第5课时课后达标检测



[基础达标] 一、选择题 1 2 1.(2014· 广东省惠州市调研考试)已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , ),则 log4f(2)的 2 2 值为( ) 1 1 A. B.- 4 4 C.2 D.-2 1 2 1α 2 11 1 α 解析:选 A.设 f(x)=x ,由其图象过点( , )得( ) = =( )2?α= ,故 log4f(2)= 2 2 2 2 2 2 1 1 log422= . 4 - 2.(2014· 湖北黄冈中学质检)幂函数 y=x 1,y=xm 与 y=xn 在第一象限内的图象如图所 示,则 m 与 n 的取值情况为( )

A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m C.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1 答案:D 3. (2013· 高考浙江卷)已知 a, b, c∈R, 函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1), 则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 解析:选 A.因为 f(0)=f(4)>f(1),所以函数图象应开口向上,即 a>0,且其对称轴为 x b =2,即- =2,所以 4a+b=0. 2a α 4.(2014· 广东江门、佛山模拟)已知幂函数 f(x)=x ,当 x>1 时,恒有 f(x)<x,则 α 的 取值范围是( ) A.0<α<1 B.α <1 C.α >0 D.α <0 α 解析:选 B.当 x>1 时,恒有 f(x)<x,即当 x>1 时,函数 f(x)=x 的图象在 y=x 的图 α 象的下方,作出幂函数 f(x)=x 在第一象限的图象.由图象可知α<1 时满足题意. 5.(2014· 广东中山模拟)若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于( ) A.-1 B .1 C.2 D.-2 解析:选 B.∵函数 f(x)=x2-ax-a 的图象为开口向上的抛物线, ∴函数的最大值在区间的端点取得,∵f(0)=-a,f(2)=4-3a, ?-a>4-3a ? ?-a≤4-3a ? ∴? 或? ,解得 a=1. ? ? ?-a=1 ?4-3a=1 二、填空题 6. 二次函数的图象过点(0, 1), 对称轴为 x=2, 最小值为-1, 则它的解析式为________. 2 解析:依题意可设 f(x)=a(x-2) -1, 又其图象过点(0,1),

1 ∴4a-1=1,∴a= . 2 1 ∴f(x)= (x-2)2-1. 2 1 答案:f(x)= (x-2)2-1 2 7.已知幂函数 f(x)=xm
-m -m

2-2m-3

(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,

则满足(a+1) 3 <(3-2a) 3 的 a 的取值范围是________. 解析:∵函数 f(x)在(0,+∞)上递减, ∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m∈{1,2},又函数的图象关于 y 轴对称, ∴m2-2m-3 是偶数,而 22-2×2-3=-3 为奇数,12-2×1-3=-4 为偶数,
1

∴m=1,∵y=x 在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,
1
-3

-3

1
-3

∴(a+1) <(3-2a) 等价于 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a,解得 2 3 2 3 a<-1 或 <a< .故 a 的取值范围为{a|a<-1 或 <a< }. 3 2 3 2 2 3 答案:{a|a<-1 或 <a< } 3 2 8.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,则实数 m 的取值范围是________. 解析:∵0.71.3<0.70=1=1.30<1.30.7, ∴0.71.3<1.30.7,∴m>0. 答案:(0,+∞) 三、解答题 9.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). 解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1. ∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减. 则当 x=a 时,ymin=a2-2a;当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调 递增,则当 x=1 时,ymin=-1. ?a2-2a,-2<a<1, ? 综上,g(a)=? ?-1,a≥1. ? 10. 是否存在实数 a, 使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域为[-1, 1]时, 值域为[-2, 2]? 若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由. 解:f(x)=(x-a)2+a-a2. 当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数, ? ?f(-1)=1+3a=-2 ∴? ?a=-1(舍去); ?f(1)=1-a=2 ? ?f(a)=a-a2=-2 ? 当-1≤a≤0 时,? ?a=-1; ? ?f(1)=1-a=2 ?f(a)=a-a2=-2 ? 当 0<a≤1 时,? ?a 不存在; ?f(-1)=1+3a=2 ? 当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数, ?f(-1)=1+3a=2 ? ∴? ?a 不存在. ? ?f(1)=1-a=-2 综上可得,a=-1. ∴存在实数 a=-1 满足题设条件. [能力提升] 一、选择题

1? 1.已知 y=f(x)是偶函数, 当 x>0 时,f(x)=(x-1)2, 若当 x∈? ?-2,-2?时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最小值为( ) 1 1 A. B. 3 2 3 C. D.1 4 解析:选 D.当 x<0 时,-x>0, f(x)=f(-x)=(x+1)2. 1? ∵x∈? ?-2,-2?, ∴f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1, ∴m≥1,n≤0,m-n≥1. 2.若(2m+1)2>(m2+m-1)2,则实数 m 的取值范围是( - 5-1 5-1 A.(-∞, ] B .[ ,+∞) 2 2 5-1 C.(-1,2) D.[ ,2) 2
1 1 1

)

解析:选 D.因为函数 y=x2的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等式 ?2m+1≥0,
2 等价于?m +m-1≥0,

?

? ?2m+1>m2+m-1.

1 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2 - 5-1 5-1 解 m2+m-1≥0,得 m≤ 或 m≥ ; 2 2 解 2m+1>m2+m-1,即 m2-m-2<0,得-1<m<2. 5-1 综上所述,m 的取值范围是 ≤m<2. 2 二、填空题 3. 已知函数 f(x)=x2-2ax+2a+4 的定义域为 R, 值域为[1, +∞), 则 a 的值为________. 解析:由于函数 f(x)的值域为[1,+∞), 所以 f(x)min=1. 又 f(x)=(x-a)2-a2+2a+4, 当 x∈R 时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1, 即 a2-2a-3=0, 解得 a=3 或 a=-1. 答案:-1 或 3 2 ? ?-x +ax,x≤1, ? 4.(2014· 江苏扬州中学期中)已知函数 f(x)= 若?x1,x2∈R,x1≠x2, ?ax-1,x>1, ? 使得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由已知?x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则需 x≤1 时,f(x)不单调即 a 可,即对称轴 <1,解得 a<2. 2 答案:(-∞,2) 三、解答题 5.(2014· 辽宁五校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函 数,且当 x≤0 时,f(x)=x2+2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的 图象,如图所示,请根据图象:

(1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值. 解:(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增. (2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x2+2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0), 2 ? ?x -2x(x>0), ∴f(x)=? 2 ?x +2x(x≤0). ? (3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,g(a+1)=-a2-2a+1 为最小值; 当 a+1>2,即 a>1 时,g(2)=2-4a 为最小值. ?1-2a(a≤0),
2 综上 g(x)min=?-a -2a+1(0<a≤1),

?

6.(选做题)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1, ?f(x),x>0, ? F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的值; ? ?-f(x),x<0, (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. b 解:(1)由已知 c=1,a-b+c=0,且- =-1, 2a 解得 a=1,b=2,∴f(x)=(x+1)2. ?(x+1)2,x>0, ? ∴F(x)=? 2 ? ?-(x+1) ,x<0. ∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. (2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立, 1 1 即 b≤ -x 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立. x x 1 1 又 -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2. x x ∴-2≤b≤0. 故 b 的取值范围是[-2,0].

? ?2-4a(a>1).



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