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值域的求法典型习题及解析



值域的求法习题 一.解答题(共 10 小题) 1.已知函数 的定义域为集合 A,函数 的值域为集合 B,求 A∩ B 和(CRA)∩ (CRB) .

2.已知函数 f(x)=x2﹣bx+3,且 f(0)=f(4) . (1)求函数 y=f(x)的零点,写出满足条件 f(x)<0 的 x 的集合; (2)求函数 y=f(x)在区间(0,3]上的值域.

>
3.求函数的值域:



4.求下列函数的值域: (1)y=3x2﹣x+2; (2) ; (3) ;

(4)



(5)

(6)



5.求下列函数的值域 (1) ;(2) ; (3) x∈[0, 3]且 x≠1; (4) .

6.求函数的值域:y=|x﹣1|+|x+4|.

7.求下列函数的值域. (1)y=﹣x2+x+2; (2)y=3﹣2x,x∈[﹣2,9]; (3)y=x2﹣2x﹣3,x∈(﹣1,2]; (4)y= .

8.已知函数 f(x)=22x+2x+1+3,求 f(x)的值域.

9.已知 f(x)的值域为

,求 y=

的值域.

10.设

的值域为[﹣1,4],求 a、b 的值.

1

参考答案与试题解析 一.解答题(共 10 小题) 1.已知函数 考点: 专题: 分析: 由 解答: 可求 A,由 可求 B 可求 的定义域为集合 A,函数 的值域为集合 B,求 A∩ B 和(CRA)∩ (CRB) .

函数的值域;交、并、补集的混合运算;函数的定义域及其求法。1457182 计算题。

解:由题意可得

∴A=[2,+∞) ,∵ ∴B=(1,+∞) ,CRA=(﹣∞,2) ,CRB=(﹣∞,1]﹣﹣﹣(4 分)∴A∩ B=[2,+∞) ∴(CRA)∩ (CRB)=(﹣∞,1]﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 点评: 本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解,集合的交集、补集的基本运算,属于基础试题

2.已知函数 f(x)=x2﹣bx+3,且 f(0)=f(4) . (1)求函数 y=f(x)的零点,写出满足条件 f(x)<0 的 x 的集合; (2)求函数 y=f(x)在区间(0,3]上的值域. 考点: 专题: 分析: 函数的值域;二次函数的性质;一元二次不等式的解法。1457182 计算题。 (1)从 f(0)=f(4)可得函数图象关于直线 x=2 对称,用公式可以求出 b=4,代入函数表达式,解一元二次不等式即可求 出满足条件 f(x)<0 的 x 的集合; (2)在(1)的基础上,利用函数的单调性可以得出函数在区间(0,3]上的最值,从而可得函数在(0,3]上的值域. 解答: 解: (1)因为 f(0)=f(4) ,所以图象的对称轴为 x= =2, ∴b=﹣4,函数表达式为 f(x)=x2﹣4x+3, 解 f(x)=0,得 x1=1,x2=3,因此函数的零点为:1 和 3 满足条件 f(x)<0 的 x 的集合为(1,3) (2)f(x)=(x﹣2)2﹣1,在区间(0,2)上为增函数,在区间(2,3)上为减函数 所以函数在 x=2 时,有最小值为﹣1,最大值小于 f(0)=3 因而函数在区间(0,3]上的值域的为[﹣1,3) . 点评: 本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题,属于中档题.只要掌握了对称轴公式, 利用函数的图象即可得出正确答案. 3.求函数的值域: 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的值域。1457182 计算题;转化思想;判别式法。 由于对任意一个实数 y,它在函数 f(x)的值域内的充要条件是关于 x 的方程(y﹣2)x2+(y+1)x+y﹣2=0 有实数解,因此 “求 f(x)的值域.”这一问题可转化为“已知关于 x 的方程(y﹣2)x2+(y+1)x+y﹣2=0 有实数解,求 y 的取值范围”. 解:判别式法:∵x2+x+1>0 恒成立,∴函数的定义域为 R. .

2



得: (y﹣2)x2+(y+1)x+y﹣2=0①

①当 y﹣2=0 即 y=2 时,①即 3x+0=0,∴x=0∈R ②当 y﹣2≠0 即 y≠2 时, ∵x∈R 时方程(y﹣2)x2+(y+1)x+y﹣2=0 恒有实根, ∴△=(y+1)2﹣4×(y﹣2)2≥0,∴1≤y≤5 且 y≠2, ∴原函数的值域为[1,5]. 点评: 判别式法:把 x 作为未知量,y 看作常量,将原式化成关于 x 的一元二次方程形式,令这个方程有实数解,然后对二次项系 数是否为零加以讨论: (1)当二次项系数为 0 时,将对应的 y 值代入方程中进行检验以判断 y 的这个取值是否符合 x 有实数解的要求. (2)当二次项系数不为 0 时,利用“∵x∈R,∴△≥0”求解,此时直接用判别式法是否有可能产生增根,关键在于对这个方程 去分母这一步是不是同解变形. 4.求下列函数的值域: (1)y=3x2﹣x+2; (2 ) ; (3) ;

(4) 考点: 专题: 分析:

; (5 ) 函数的值域。1457182 常规题型。

(6)

(1) (配方法)∵y=3x2﹣x+2=3(x﹣ )2+ (2)看作是复合函数先设 μ=﹣x2﹣6x﹣5(μ≥0) ,则原函数可化为 y= (3)可用分离变量法:将函数变形,y= (4)用换元法设 t= = =3+ ,再配方法求得 μ 的范围,可得 ,再利用反比例函数求解. 的范围.

≥0,则 x=1﹣t2,原函数可化为 y=1﹣t2+4t,再用配方法求解

(5)由 1﹣x2≥0?﹣1≤x≤1,可用三角换元法:设 x=cosα,α∈[0,π],将函数转化为 y=cosα+sinα= 数求解 (6)由 x2+x+1>0 恒成立, 即函数的定义域为 R,用判别式法,将函数转化为二次方程(y﹣2)x2+(y+1)x+y﹣2=0 有根求解. 解答: 解: (1 ) (配方法)∵y=3x2﹣x+2=3(x﹣ )2+ (2)求复合函数的值域: 设 μ=﹣x2﹣6x﹣5(μ≥0) ,则原函数可化为 y= 又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣(x+3)2+4≤4, ∴0≤μ≤4,故 ∴y= (3)分离变量法:y= ∈[0,2], 的值域为[0,2] = =3+ ,∵ ≠0,∴3+ ≠3, ≥ ,∴y=3x2﹣x+2 的值域为[ ,+∞)

sin(α+

)用三角函

3

∴函数 y=

的值域为{y∈R|y≠3} ≥0,则 x=1﹣t2,

(4)换元法(代数换元法) :设 t=

∴原函数可化为 y=1﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+5(t≥0) ,∴y≤5, ∴原函数值域为(﹣∞,5] 注:总结 y=ax+b+ 变形:y=ax2+b+ (5)三角换元法: ∵1﹣x2≥0?﹣1≤x≤1, ∴设 x=cosα,α∈[0,π], 则 y=cosα+sinα= ∵α∈[0,π],∴α+ sin(α+ ∈[ ) 型值域, 或 y=ax2+b+

, ]

],∴sin(α+

)∈[﹣

,1],∴

sin(α+

)∈[﹣1,

],

∴原函数的值域为[﹣1,
2

(6)判别式法:∵x +x+1>0 恒成立, ∴函数的定义域为 R 由 y= 得: (y﹣2)x2+(y+1)x+y﹣2=0①

①当 y﹣2=0 即 y=2 时,①即 3x+0=0, ∴x=0∈R ②当 y﹣2≠0 即 y≠2 时, ∵x∈R 时方程(y﹣2)x2+(y+1)x+y﹣2=0 恒有实根, ∴△=(y+1)2﹣4×(y﹣2)2≥0, ∴1≤y≤5 且 y≠2, ∴原函数的值域为[1,5] 点评: 本题主要考查求函数值域的一些常用的方法.配方法,分离变量法,三角换元法,代数换元法,判别式法…

5.求下列函数的值域 (1) ;

(2) (3) (4)

; x∈[0,3]且 x≠1; .

考点: 分析:

函数的值域。1457182 (1)把函数转化成关于 tanx 的函数,进而求值域. (2)令因为 1﹣x2≥0,即﹣1≤x≤1,故可 x=sinx,把函数转化成三角函数,利用三角函数的性质求函数的最值.

4

(3)把原式变成 2+

,设 t=

,通过幂函数 t 的图象即可求出 t 的值域,进而求出函数 y=

的值域.

(4)令 t=x﹣4,即 x=t+4 代入原函数.得出 y 关于 t 的函数,进而求出答案. 解答: 解: (1)∵

=

=1+ =5+ ∴函数

+4tanx+4 +4tan2x≥2 +5≥9 的值域为[9,+∞)

(2)令 x=sinα,α∈[﹣ ∴



] sin(α﹣ , ,1] )

=sinα﹣cosα= , ]∴α﹣ ∈[﹣

∵α∈[﹣ ∴

]∴sin(α﹣

)∈[﹣1,

]

的值域为[﹣

(3)y= 令 t=

=2+ ,则其函数图象如下

如图可知函数在区间[0,1)单调减,在区间(1,3]单调增 ∴t∈(﹣∝,﹣6]∪[3,+∝) ∴y∈(﹣∝,﹣4]∪[5,+∝) 即函数 y= 的值域为(﹣∝,﹣4]∪[5,+∝)

(4)设 t=x﹣4,x=4+t 则 =

= =| ∴ +2|﹣| ≥0 ﹣2|



∵t=x﹣4≥0

5

∴y= ∴y∈[0,4] 即函数 的值域为[0,4]

点评:

本题主要考查求函数的值域问题.此类题常用换元、配方、数形结合等方法.

6.求函数的值域:y=|x﹣1|+|x+4|. 考点: 专题: 分析: 解答: 解:数形结合法:y=|x﹣1|+|x+4|= 函数的值域。1457182 计算题;分类讨论。 由函数表达式知,y>0,无最大值,去掉绝对值,把函数写成分段函数的形式,在每一段上依据单调性求出函数的值域,取 并集得函数的值域.

∴y≥5, ∴函数值域为[5,+∞) . 点评: 本题体现数形结合和分类讨论的数学思想方法.

7.求下列函数的值域. (1)y=﹣x2+x+2; (2)y=3﹣2x,x∈[﹣2,9]; (3)y=x2﹣2x﹣3,x∈(﹣1,2]; (4)y= .

考点: 专题: 分析:

函数的值域。1457182 计算题。 (1)求二次函数 y=﹣x2+x+2 的值域可先求最值,由最值结合图象,写出值域. (2)求一次函数 y=3﹣2x 在闭区间上的值域,要先求最值,由最值写出值域. (3)求二次函数 y=x2﹣2x﹣3 在某一区间上的值域,要结合图象,求出最值,再写出值域. 6

(4)求分段函数 y 的值域,要在每一段上求出值域,再取其并集,得出分段函数的值域. 解答: 解: (1)二次函数 y=﹣x2+x+2; 其图象开口向下,对称轴 x= ,当 x= 时 y 有最大值 ; 故函数 y 的值域为: (﹣∞, ) ; (2)一次函数 y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];单调递减, 在 x=﹣2 时,y 有最大值 7;在 x=9 时, y 有最小值﹣15; 故函数 y 的值域为:[﹣15,7]; (3)二次函数 y=x2﹣2x﹣3,x∈(﹣1,2]; 图象开口向上,对称轴 x=1,当 x=1 时,函数 y 有最小值﹣4; 当 x=﹣1 时,y 有最大值 0; 所以函数 y 的值域为:[﹣4,0) ; (4)分段函数 y= 当 x≥6 时,y=x﹣10≥﹣4; 当﹣2≤x<6 时,y=8﹣2x, ∴﹣4<y≤12; 所以函数 y 的值域为:[﹣4,+∞)∪(﹣4,12]=[﹣4,+∞) . 点评: 本组 4 个题目求函数的值域,都是在其定义域上先求其最值,根据最值,直接写出其值域;它们都是基础题. ;

8.已知函数 f(x)=22x+2x+1+3,求 f(x)的值域. 考点: 分析: 解答: 函数的值域。1457182 注意利用 22x=(2x)2 这个式子,很容易把这个看似不识的函数转化为我们再熟悉不过的二次函数. 解:令 t=2x,则 t>0,f(x)=(2x)2+2?2x+3=t2+2t+3, 令 g(t)=t2+2t+3(t>0) , 则 g(t)在[﹣1,+∞)上单调递增, 故 f(x)=g(t)>g(0)=3, 故 f(x)的值域为(3,+∞) . 点评: 二次函数求最值是我们再熟悉不过的函数了,问题的关键是能否把我们不熟悉的函数转化为我们熟悉的二次函数.而且采用 换元法转化函数的时候,一定要注意换元后变量的范围.

9.已知 f(x)的值域为

,求 y=

的值域.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值域。1457182 计算题。 根据 f(x)的值域,应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围,进而求得 y 的值域. 解;∵ ≤f(x)≤ , ∴﹣ ≤﹣2f(x)≤﹣ ,

7

∴ ≤1﹣﹣2f(x)≤ ∴ ≤y≤ ∴y 的值域为:[ , ] 点评: 本题考查不等式的性质.

10.设

的值域为[﹣1,4],求 a、b 的值.

考点: 分析: 解答:

函数的值域。1457182 由题意 f(x)的定义域为 R,可利用判别式法求值域的技巧求参数的值. 解:令 y= 即 yx2﹣ax+2y﹣b=0①,

当 y=0 时,有①x=﹣ ∈R,此时,a,b 是任意的 当 y≠0 时,有①,方程有根,可得△=a2﹣4y(2y﹣b)≥0 即 8y2﹣4by﹣a2≤0,又函数的值域是 y∈[﹣1,4], 所以﹣1 和 4 是方程 8y2﹣4by﹣a2=0 的两根,由韦达定理得 a=±4 综上得 a=±4 点评: ,b=6 即所求 本题考查函数的值域问题,属基本题. ,b=6.

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