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上海市新中高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析



上海市新中高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、填空题(每小题 3 分,满分 36 分) 1. (3 分)直线 3x﹣y+2=0 的单位法向量是. 2. (3 分)已知一个关于 x,y 的二元线性方程组的增广矩阵是 ,则 x+y=.

3. (3 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2k=72,且 ak+1=18﹣

ak,则正整数 k=.

4. (3 分)已知 =(cosθ,sinθ) , =(

,﹣1) ,则|2 ﹣ |的最大值为.

5. (3 分)三阶行列式

第 2 行第 1 列元素的代数余子式为 10,则 k=.

6. (3 分)已知

= (A,B 均为实数) ,则 AB=.

7. (3 分)两条直线 l1: (m﹣2)x+y+m=0 与 l2:3x+my+m+6=0 平行,则实数 m=. 8. (3 分)设 ,若已知 ,规定两向量 , 之间的一个运算“?”为: ,则 =.

9. (3 分)已知 A(3,0) ,B(0,4) ,动点 P(x,y)在线段 AB 上移动,则 xy 的最大值等 于. 10. (3 分)设 Sn 表示一个公比 q≠﹣1(q∈R)的等比数列的前 n 项和,CardA 表示集合 A 中 的元素个数,设 ,则 CardM=.

11. (3 分)有四个命题: * (1)一个等差数列{an}中,若存在 ak+1>ak>0(k∈N ) ,则对于任意自然数 n>k,都有 an> 0; * * (2)一个等比数列{an}中,若存在 ak<0,ak+1<0(k∈N ) ,则对于任意自然数 n∈N ,都有 an<0;

(3)一个等差数列{an}中,若存在 ak<0,ak+1<0(k∈N ) ,则对于任意自然数 n∈N ,都有 an<0; * (4)一个等比数列{an}中,若存在自然数 k,使 ak?ak+1<0,则对于任意 n∈N ,都有 an?an+1 <0 其中命题正确的序号是. 12. (3 分)在△ ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD 为 BC 边上的高,O 为 AD 的中点, 若 =λ +μ ,则 λ+μ=.

*

*

二、选择题(每小题 4 分,满分 16 分) 13. (4 分)在△ ABC 中,若( A.正三角形 + )?( ﹣ )=0,则△ ABC 为() D.无法确定

B.直角三角形

C.等腰三角形

14. (4 分)已知数列 cos0, 有项之和为() A. B.

cos



cosπ,…,

cos

,…,则该数列的所

C.

D.

15. (4 分)直线 xsinθ+y+3=0 的倾斜角的取值范围是() A.[ ] ∪[ , ] B. [ , ] C.[0, ]∪( , ) D. [0,

,π)
2 2 2 2

16. (4 分) 已知 A (a, a) , B (b, b) (a≠b) 两点的坐标满足 a sinθ+acosθ=1, b sinθ+bcosθ=1, 记原点到直线 AB 的距离为 d,则 d 与 1 的大小关系时() A.d>1 B. d=1 C. d<1 D.不等确定,与 a,b 的取值有关

三、解答题 17. (8 分)直角坐标系 x﹣O﹣y 中, 和 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量,在直角 三角形 ABC 中,若 =2 + , =3 +k ,求 k 的值.

18. (8 分)由于美伊战争的影响,据估计,伊拉克将产生 60~100 万难民,联合国难民署计 划从 4 月 1 日起为伊难民运送食品.第一天运送 1000 t,第二天运送 1100 t,以后每天都比前

一天多运送 100 t,直到达到运送食品的最大量,然后再每天递减 100 t,连续运送 15 天,总 共运送 21300 t,求在第几天达到运送食品的最大量.

19. (10 分)已知数列{an}满足:a1=a2=1,且 an+2= 一切 n∈N 都有 an+2=pan+1+qan,并说明理由.
*

,问是否存在常数 p,q,使得对

20. (10 分)已知直线 l1:mx+4y﹣m﹣2=0,l2:x+my﹣m=0,实数 m 为何值时,l1 与 l2: (1)相交; (2)平行; (3)重合.

21. (12 分)设数列的首项 a1=a(a≠ ) ,an+1= (n∈N ) . (1)求 a2,a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (3)求 (b1+b2+…+bn) .
*

(k∈N ) ,且 bn=a2n﹣1﹣

*

上海市新中高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每小题 3 分,满分 36 分) 1. (3 分)直线 3x﹣y+2=0 的单位法向量是 .

考点: 直线的方向向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由直线 3x﹣y+2=0 可得法向量 =(1,3) ,可得其单位法向量=± .

解答: 解:由直线 3x﹣y+2=0 可得法向量 =(﹣3,1) , 因此其单位法向量=± = .

故答案为:



点评: 本题考查了直线的单位法向量的求法,属于基础题.

2. (3 分)已知一个关于 x,y 的二元线性方程组的增广矩阵是

,则 x+y=6.

考点: 逆矩阵与二元一次方程组. 专题: 计算题. 分析: 首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组 根据方程求解 xy,最后求 x+y. 解答: 解由二元线性方程组的增广矩阵 , ,再

可得到二元线性方程组的表达式



解得



所以 x+y=6 故答案为 6. 点评: 此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,计算量小,属于较容易的题型. 3. (3 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2k=72,且 ak+1=18﹣ak,则正整数 k=4. 考点: 等差数列的性质. 分析: 用 结合等差数列的性质求解.

解答: 解:∵ 又∵ak+1+ak=a1+a2k=18 ∴k=4 故答案是 4 点评: 本题主要考查等差数列前 n 项和公式的选择以及性质的应用.

4. (3 分)已知 =(cosθ,sinθ) , =(

,﹣1) ,则|2 ﹣ |的最大值为 4.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用.

分析: 运用向量的模的公式和数量积的坐标表示,求出向量 a,b 的模和数量积,化简整理, 即可得到最大值. 解答: 解:∵ =(cosθ,sinθ) , =( ∴| |=1,| |=2, ? =
2 2 2

,﹣1) , ﹣θ) , ﹣θ)=8﹣8sin( ﹣θ) ,

cosθ﹣sinθ=2sin(

∴|2 ﹣ | =4| | +| | ﹣4 ? =4×1+4﹣4×2sin( ∵﹣1≤sin( ∴sin( ﹣θ)≤1,
2

﹣θ)=﹣1 时,有最大值,即|2 ﹣ | =16,

∴|2 ﹣ |=4, ∴|2 ﹣ |的最大值为 4, 故答案为:4 点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质:向量的平方即为模的平方,同时考 查三角函数的化简和求值,注意运用两角差的正弦公式,属于中档题

5. (3 分)三阶行列式

第 2 行第 1 列元素的代数余子式为 10,则 k=6.

考点: 三阶矩阵. 专题: 矩阵和变换. 分析: 本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算,即可得到本题结论.

解答: 解:∵三阶行列式

第 2 行第 1 列元素的代数余子式为 10,

∴﹣

=10,

∴﹣[2×(﹣2)﹣k]=10, ∴k=6. 故答案为:6. 点评: 本题考查了行列式的代数余子式,本题难度不大,属于基础题.

6. (3 分)已知

= (A,B 均为实数) ,则 AB=4.

考点: 极限及其运算.

专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用数列极限的运算法则即可得出. 解答: 解:∵ = = ,

∴AB=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了数列极限的运算法则,属于基础题. 7. (3 分)两条直线 l1: (m﹣2)x+y+m=0 与 l2:3x+my+m+6=0 平行,则实数 m=﹣1. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知得 ,由此能求出结果.

解答: 解:∵直线 l1: (m﹣2)x+y+m=0 与 l2:3x+my+m+6=0 平行, ∴ ,

解得 m=﹣1 或 m=3(舍) ∴实数 m=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线的位置关系的合 理运用. 之间的一个运算“?”为: , 则 = (﹣2, 1) .

8. (3 分)设 , 若已知

,规定两向量 ,

考点: 平面向量坐标表示的应用. 专题: 新定义. 分析: 设 =(x,y)由新定义可得 =(x﹣2y,y+2x) ,由向量相等的定义可得

,解之即得答案.

解答: 解:设 =(x,y)由新定义可得

=(x﹣2y,y+2x) ,



,故



解得

即 =(﹣2,1) ,

故答案为: (﹣2,1) 点评: 本题为向量坐标的求解,正确理解新定义并运用向量的基本知识求解是解决问题的 关键,属中档题. 9. (3 分)已知 A(3,0) ,B(0,4) ,动点 P(x, y)在线段 AB 上移动,则 xy 的最大值 等于 3. 考点: 平均值不等式在函数极值中的应用. 专题: 计算题;探究型. 分析: 解出线段 AB 所在直线的方程,由于出现了和为定值的情形,故可以用基本不等式求 最值. 解答: 解:AB 所在直线方程为 + =1,∴ ? ≤ ( + ) = ,∴xy≤3,当且仅当 = , 即 x= ,y=2 时取等号.由题意知,等号成立的条件足备,xy 的最大值等于 3 故答案为 3 点评: 本题考查基本不等式,用基本不等式求最值的题型很多,本题把基本不等式与直线 的方程接合起来使用,题型新颖. 10. (3 分)设 Sn 表示一个公比 q≠﹣1(q∈R)的等比数列的前 n 项和,CardA 表示集合 A 中 的元素个数,设 ,则 CardM=3.
2

考点: 数列的极限;等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由于涉及等比数列{an}的前 n 项和,故求和时,需要进行分类讨论,同时注意极限的 求解方法 解答: 解:当 q=1 时,Sn=n,S2n=2n,∴ ,

当 q≠1 时,Sn=

,S2n=





=



当 q>1 时,

=

=0

当 0<q<1 时,∴

=

=1

M={0, ,1}. ∴CardM=3. 故答案为:3. 点评: 本题的考点是数列的极限,主要考查等比数列的极限问题,运用等比数列的前 n 项 和公式,需要进行分类讨论. 11. (3 分)有四个命题: * (1)一个等差数列{an}中,若存在 ak+1>ak>0(k∈N ) ,则对于任意自然数 n>k,都有 an> 0; * * (2)一个等比数列{an}中,若存在 ak<0,ak+1<0(k∈N ) ,则对于任意自然数 n∈N ,都有 an<0; * * (3)一个等差数列{an}中,若存在 ak<0,ak+1<0(k∈N ) ,则对于任意自然数 n∈N ,都有 an<0; * (4)一个等比数列{an}中,若存在自然数 k,使 ak?ak+1<0,则对于任意 n∈N ,都有 an?an+1 <0 其中命题正确的序号是①②④. 考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 对四个选项逐个加以判别:根据等差数列的通项公式和它的性质,可得①是正确的 而③是不正确的;根据等比数列的通项公式及其性质,可得②和④是正确的.由此不难得出 正确的答案. 解答: 解:对于①,等差数列{an}中,若存在 ak+1>>O(k∈N) , 说明数列的公差 d>0,且第 k 项为正数,说明从第 k 项往后各项均大于 ak 为正数 则对于任意自然数 n>k,都有 an>0,故①是正确的; 对于②,等比数列{an}中,若存在 ak<0,ak+1<O(k∈N) , 根据等比数列奇数项符号相同、偶数项符号也相同的规律, 知此等比数列的所有项均为负数,对于任意 n∈N,都有 an<0,故②是正确的; 对于③,一个等差数列{an}中,若存在 ak<0,ak+1<0(k∈N) , 有可能它的前面有限项为正,而公差为负,如:5,3,1,﹣1,﹣3,﹣5,… 所以结论:对于任意 n∈N,都有 an<O 不成立,故③是不正确的; 对于④,等比数列{an}中,若存在自然数 k,使 ak?ak+1<0, 说明这两项一个为正数,另一个为负数,则它公比 q<0 2 由此,对于任意 n∈N,都有 an.an+1=an q<0,故④是正确的; 故正确的命题是①②④ 故答案为:①②④. 点评: 本题以等差数列和等比数列为例,考查了命题真假的判断,属于基础题.熟练掌握 等差、等比数列的通项与性质,是解决好本题的关键所在. 12. (3 分)在△ ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD 为 BC 边上的高,O 为 AD 的中点, 若 =λ +μ ,则 λ+μ= .

考点: 空间向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题. 分析: 因为 AB=2,BC=3,∠ABC=60°,所以 为 AD 的中点, 且 下来利用 的值为 . 解答: 解:∵AB=2,BC=3,∠ABC=60°, ∴ = ? cos120°=﹣3 =λ , +2μ )? 与 =2λ ? +2μ
2

= , 从而

?

cos120°=﹣3,再根据 O =﹣6λ+18μ=0, 得 λ=3μ. 接





, 可得 与

=2λ

+2μ

=



, 结合

是共线向量, 可算得 λ= , 代入上式得 μ= , 最终得到 λ+μ

∵O 为 AD 的中点, ∴ 可得 =2 =2λ +2μ





=(2λ

=﹣6λ+18μ

∵AD 为 BC 边上的高, ∴ 又∵ ∴ 而

互相垂直

=0,即﹣6λ+18μ=0,得 λ=3μ…① =2λ +2μ , +2μ = , ﹣

=(2λ﹣1) 与

是共线向量,可得 2λ﹣1=0,所以 λ= ,再代入①,得 μ=

∴λ+μ 的值为 故答案为 .

点评: 本题给出一个特殊的三角形 ABC,一条高线 AD 中点为 O,要我们将向量 、 础题.

表示为

的线性组合的形式,着重考查了平面向量平行与共线的充要条件及其表示式,属于基

二、选择题(每小题 4 分,满分 16 分) 13. (4 分)在△ ABC 中,若( A.正三角形 + )?( ﹣ )=0,则△ ABC 为() D.无法确定

B.直角三角形

C.等腰三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 利用平面向量的数量积的运算性质可得( a =0,从而可得答案. 解答: 解:∵在△ ABC 中, ( + )?( ﹣ )= ﹣ =b ﹣a =0,
2 2 2

+

)?(



)=



=b ﹣

2

∴a=b, ∴△ABC 为等腰三角形, 故选:C. 点评: 本题考查三角形形状的判断,考查向量的数量积的运算性质,属于中档题.

14. (4 分)已知数列 cos0, 有项之和为() A. B.

cos



cosπ,…,

cos

,…,则该数列的所

C.

D.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列;三角函数的求值. 分析: 利用 =0.可得该数列为: = ,cos0=1, =0,cosπ=﹣1,

,0,﹣

,0,….利用公比|q|<1 的等比数列的极限=

即可得出.

解答: 解:∵ =0. ∴该数列为: ,0,﹣ ,0,….

=

,cos0=1,

=0,cosπ=﹣1,

∴该数列的所有项之和为=

=



故选:C.

点评: 本题考查了余弦函数的周期性、数列极限的计算方法,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 15. (4 分)直线 xsinθ+y+3=0 的倾斜角的取值范围是() A.[ ] ∪[ , ] B. [ , ] C.[0, ]∪( , ) D. [0,

,π)

考点: 直线的倾斜角. 分析: 先求出直线斜率的取值范围,进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值 范围. 解答: 解:∵直线 y+xsinθ+3=0,∴y=﹣xsinθ﹣3,∴直线的斜率 k=﹣sinθ. 又∵直线 y+xsinθ+3=0 的倾斜角为 α,∴tanα=﹣sinθ. ∵﹣1≤﹣sinθ≤1, ∴﹣1≤tanα≤1, ∴α∈[0, ]∪[ ,π) .

故选:D. 点评: 熟练掌握直线的斜率和三角函数的单调性即值域是解题的关键.基本知识的考查. 16. (4 分) 已知 A (a, a) , B (b, b) (a≠b) 两点的坐标满足 a sinθ+acosθ=1, b sinθ+bcosθ=1, 记原点到直线 AB 的距离为 d,则 d 与 1 的大小关系时() A.d>1 B. d=1 C. d<1 D.不等确定,与 a,b 的取值有关 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 依题意,观察可知直线 AB 的方程为:sinθ?y+cosθ?x﹣1=0,利用点到直线间的距离 计算即可. 解答: 解:依题意,直线 AB 的方程为:sinθ?y+cosθ?x﹣1=0, ∵原点到直线 AB 的距离为 d, ∴d= =1,
2 2 2 2

故选:B. 点评: 本题考查点到直线间的距离,观察得到直线 AB 的方程为:sinθ?y+cosθ?x﹣1=0 是关 键,考查转化思想. 三、解答题 17. (8 分)直角坐标系 x﹣O﹣y 中, 和 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量,在直角 三角形 ABC 中,若 =2 + , =3 +k ,求 k 的值.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的运算可得 ,分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°利用向量的数量积

等于零,建立关系式,再解方程求得所有可能 k 的值. 解答: 解:∵若 ∴ = ﹣ =2 + , =3 +k ,

= +(k﹣1) ,

∵△ABC 为直角三角形, (1)当∠A=90°时, (2)当∠B=90°时, (3)当∠C=90°时, =6+k=0,解得 k=﹣6; =2+k﹣1=0,解得 k=﹣1; =3+k(k﹣1)=0,方程无实解;

综上所述,k=﹣6 或﹣1. 点评: 本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件,分类 讨论是解决问题的关键,属基础题. 18. (8 分)由于美伊战争的影响,据估计,伊拉克将产生 60~100 万难民,联合国难民署计 划从 4 月 1 日起为伊难民运送食品.第一天运送 1000 t,第二天运送 1100 t,以后每天都比前 一天多运送 100 t,直到达到运送食品的最大量,然后再每天递减 100 t,连续运送 15 天,总 共运送 21300 t,求在第几天达到运送食品的最大量. 考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 解:先利用条件把前 n 天每天运送的食品量的通项公式找到,再求出其余每天运送 的食品量的通项公式,再对两个数列分别求和,其和为 21300 就可找到关于 n 的表达式,解 出 n 即可. (注意 1≤n≤15) . 解答: 解:设在第 n 天达到运送食品的最大量. 则前 n 天每天运送的食品量是首项为 1000,公差为 100 的等差数列. an=1000+(n﹣1)?100=100n+900. 其余每天运送的食品量是首项为 100n+800,公差为﹣100 的等差数列. 依题意, 得 1000n+ ×100+ (100n+800) (15﹣n) + × (﹣100)

=21300(1≤n≤15) . 2 整理化简得 n ﹣31n+198=0. 解得 n=9 或 22(不合题意,舍去) . 答:在第 9 天达到运送食品的最大量. 点评: 本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.对数列应用题要分清是求通项 问题还是求和问题.

19. (10 分)已知数列{an}满足:a1=a2=1,且 an+2= 一切 n∈N 都有 an+2=pan+1+qan,并说明理由. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 q=﹣1,使得 an+2=pan+1+qan. 解答: 解:∵an+2= ∴ ,
* *

,问是否存在常数 p,q,使得对

,panan+1+

,由此能推导出存在 p=4,



∵若存在常数 p,q,使得对一切 n∈N 都有 an+2=pan+1+qan, ∴panan+1+ ,①

又 a1=a2=1,令 n=1,代入①,得:p+q=3, a3=pa2+qa1=p+q=3, 令 n=2,代入①得:3p+q=9+2=11, 联立②③得:p=4,q=﹣1, ∴存在 p=4,q=﹣1,使得 an+2=pan+1+qan. 点评: 本题考查满足条件的常数的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数列的递推 公式的合理运用. 20. (10 分)已知直线 l1:mx+4y﹣m﹣2=0,l2:x+my﹣m=0,实数 m 为何值时,l1 与 l2: (1)相交; (2)平行; (3)重合. 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)利用两条直线相交时,由方程组得到的一次方程有唯一解,一次项的系数不等 于 0. (2)利用两直线平行时,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求出 m 的值. (3)利用两直线重合时,一次项系数之比等于常数项之比,求出 m 的值. 2 解答: 解: (1)当 l1 和 l2 相交时,1×4﹣m ≠0, 2 由 4﹣m =0 得:m=﹣2,或 m=2, ∴当 m≠﹣2 且 m≠2 时,l1 和 l2 相交. (2)当 m=﹣2 时,直线 l1:mx+4y﹣m﹣2=0,l2:x+my﹣m=0 可化为:直线 l1:﹣2x+4y=0, l2:x﹣2y+2=0, 此时一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,两直线平行;

(3)当 m=2 时,直线 l1:mx+4y﹣m﹣2=0,l2: x+my﹣m=0 可化为:直线 l1:2x+4y﹣4=0, l2:x+2y﹣2=0, 此时一次项系数之比等于常数项之比,两直线重合 点评: 本题考查两直线相交、重合、平行的条件,体现了转化的数学思想.

21. (12 分)设数列的首项 a1=a(a≠ ) ,an+1= (n∈N ) . (1)求 a2,a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (3)求 (b1+b2+…+bn) .
*

(k∈N ) ,且 bn=a2n﹣1﹣

*

考点: 数列的极限;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.
*

分析: (1)利用 an+1=

(k∈N ) ,分别取 n=1,2 即可得出;

(2)由于 bn=a2n﹣1﹣ (n∈N ) ,可得 bn+1= = (3)由(2)可得 bn= 限的运算法则即可得出.
*

*

=

=



=

,即可证明数列{bn}是等比数列. .再利用等比数列的前 n 项和公式及其数列极

解答: 解: (1)∵an+1=

(k∈N ) ,a1=a.

∴a2=

=a+ ,

=



(2)数列{bn}是等比数列,下面给出证明. ∵bn=a2n﹣1﹣ (n∈N ) , ∴bn+1= = = = . ﹣ = ,公比为 . = ,
*

∴数列{bn}是等比数列,首项 b1= (3)由(2)可得 bn=

∴b1+b2+…+bn=

=





(b1+b2+…+bn)=

=



点评: 本题考查了分段数列的意义、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、数列极限的 运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于难题.



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