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高中数学【配套Word版文档】四.4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用



§ 4.4
2014 高考会这样考

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
1.考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;2.结合三角恒等变换考查

y=Asin(ωx+φ)的性质和应用;3.考查给出图象的解析式. 复习备考要这样做 1.掌握“五点法”作图,抓住函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的特征;

2.理解三种图象变换,从整体思想和数形结合思想确定函数 y=Asin(ωx+φ)的性质.

1. 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点. 如下表所示. x 0-φ ω 0 π -φ 2 ω π 2 π-φ ω π 3π -φ 2 ω 3π 2 2π-φ ω 2π

ωx+φ y= Asin(ωx+φ) 2.

0

A

0

-A

0

函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:

3. 图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+ , k∈Z)成轴对称图形. 2 (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形. [难点正本 疑点清源] 1. 作图时应注意的两点 (1)作函数的图象时,首先要确定函数的定义域. (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根 据周期性作出整个函数的图象.

2. 图象变换的两种方法的区别 由 y=sin x 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) (x∈R)的图象,要 特别注意: 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时, 原图象沿 x 轴的伸缩量的区别. 先 平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位,而先周期变换(伸缩变换)再平移 |φ| 变换,平移的量是 个单位. ω

π π 1. 已知简谐运动 f(x)=2sin?3x+φ? (|φ|< )的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 ? ? 2 T 和初相 φ 分别为__________. π 答案 6, 6 1 π 解析 由题意知 1=2sin φ,得 sin φ= ,又|φ|< , 2 2 π π 得 φ= ;而此函数的最小正周期为 T=2π÷?3?=6. ? ? 6 2. (2012· 浙江改编)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变), 然后向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度, 得到的图象是______. (填 序号)

答案 ①
横坐标伸长2倍

解析 y=cos 2x+1― ― ― ― → ―纵坐标不变― ― ―
向左平移1个单位长度

y=cos x+1― ― ― ― → ― ― ― ―
向下平移1个单位长度

y=cos(x+1)+1― ― ― ― → ― ― ― ― y=cos(x+1). 由此可知图象为①.

π 3. (2011· 大纲全国)设函数 f(x)=cos ωx (ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后, 3 所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于________. 答案 6 π 解析 由题意可知,nT= (n∈N*), 3 2π π ∴n· = (n∈N*),∴ω=6n (n∈N*), ω 3 ∴当 n=1 时,ω 取得最小值 6. π π 4. 把函数 y=sin?5x-2?的图象向右平移 个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短 ? ? 4 1 为原来的 ,所得的函数解析式为__________________. 2 7π 答案 y=sin?10x- 4 ? ? ? π π 7π π 解析 将原函数的图象向右平移 个单位,得到函数 y=sin?5?x-4?-2?=sin?5x- 4 ?的 ? ? ? ? ? 4 ? 1 图象;再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 , 2 7π 得到函数 y=sin?10x- 4 ?的图象. ? ? π 5. 已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ) (|φ|< )的部分图象如图所示,则该简 2 谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为__________. π 答案 6, 6 π 解析 由图象易知 A=2,T=6,∴ω= , 3 π 又图象过(1,2)点,∴sin?3×1+φ?=1, ? ? π π π π ∴φ+ =2kπ+ ,k∈Z,又|φ|< ,∴φ= . 3 2 2 6

题型一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例1 π 已知函数 y=2sin?2x+3?. ? ? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π (3)说明 y=2sin?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. ? ? 思维启迪:(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决.

(2)五点法作图,关键是找出与 x 相对应的五个点. (3)只要看清由谁变换得到谁即可. 解 π 2π (1)y=2sin?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= =π, ? ? 2

π 初相 φ= . 3 π π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin?2x+3?=2sin X. ? ? 3 列表,并描点画出图象: x X y=sin X π y=2sin?2x+3? ? ? π - 6 0 0 0 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

π (3)方法一 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位, 3 π π 得到 y=sin?x+3?的图象,再把 y=sin?x+3?的图象上的点的 ? ? ? ? π 1 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+3?的 ? ? 2 π 图象,最后把 y=sin?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得 ? ? π 到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ? 1 方法二 将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y 2 π π π =sin 2x 的图象; 再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位, 得到 y=sin 2?x+6?=sin?2x+3? ? ? ? ? 6 π 的图象;再将 y=sin?2x+3?的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的 2 ? ? π 倍,得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ? 探究提高 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在作出一个周期上的简

图后,应向两端伸展一下,以示整个定义域上的图象;(2)变换法作图象的关键是看 x 轴 φ 上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用 ωx+φ=ω?x+ω?来确定平移单 ? ? 位.

1 π 已知函数 f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ? (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 解 (1)列表取值: x 1 π x- 2 4 f(x) π 2 0 0 3 π 2 π 2 3 5 π 2 π 0 7 π 2 3 π 2 -3 9 π 2 2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连结,得到一个周期的简图.

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 倍, 4 再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象. 题型二 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2 (1)(2011· 江苏)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0, ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是______. π (2)(2011· 辽宁)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x) 2 π 的部分图象如图所示,则 f( )=__________. 24 思维启迪:(1)由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周期;根 据待定系数法求 φ. (2)将“ωx+φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解. 答案 解析 (1) 6 (2) 3 2

T 7π π π (1)由题图知 A= 2, = - = , 4 12 3 4

2π ∴T=π,ω= =2. π π π ∴2× +φ=2kπ+π,k∈Z,∴φ=2kπ+ (k∈Z). 3 3 π 令 k=0,得 φ= . 3

π ∴函数解析式为 f(x)= 2sin?2x+3?, ? ? ∴f(0)= 2sin π 6 = . 3 2

π 3 π π (2)由图形知,T= =2( π- )= ,∴ω=2. ω 8 8 2 3 3 由 2× π+φ=kπ,k∈Z,得 φ=kπ- π,k∈Z. 8 4 π π π 又∵|φ|< ,∴φ= .由 Atan(2×0+ )=1, 2 4 4 π 知 A=1,∴f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π ∴f( )=tan(2× + )=tan = 3. 24 24 4 3 探究提高 根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来 考虑: 最高点-最低点 ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2 最高点+最低点 ②k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k= ; 2 2π ③ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= (ω>0)来确定 ω; ω φ ④φ 的确定: 由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为- ω φ (即令 ωx+φ=0,x=- )确定 φ. ω π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|< ,ω>0)的图象的 2 一部分如图所示,则该函数的解析式为____________. 答案 π f(x)=2sin?2x+6? ? ?

解析 观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上, 1 π π 11 ∴1=2sin(ω· 0+φ),即 sin φ= .∵|φ|< ,∴φ= .又∵ π 是函数的一个零点,且是图象 2 2 6 12 π 11π π 递增穿过 x 轴形成的零点,∴ ω+ =2π,∴ω=2.∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ? 12 6 题型三 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的综合应用 例3 π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象与 x 轴的交点中,相 2 2π π 邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? 2 (1)求 f(x)的解析式;

π π (2)当 x∈?12,2?时,求 f(x)的值域. ? ? 解 2π (1)由最低点为 M? 3 ,-2?得 A=2. ? ?

π T π 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 ,得 = , 2 2 2 2π 2π 即 T=π,∴ω= = =2. T π 2π 2π 由点 M? 3 ,-2?在图象上得 2sin?2× 3 +φ?=-2, ? ? ? ? 4π 4π π 即 sin? 3 +φ?=-1,故 +φ=2kπ- (k∈Z), ? ? 3 2 11π ∴φ=2kπ- (k∈Z). 6 π π 又 φ∈?0,2?,∴φ= , ? ? 6 π 故 f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π π π π 7π (2)∵x∈?12,2?,∴2x+ ∈?3, 6 ?, ? ? ? 6 ? π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1, 6 6 2 故 f(x)的值域为[-1,2]. 探究提高 本题属三角函数模型的应用,通常的解决方法:转化为 y=sin x,y=cos x 等 函数解决图象、最值、单调性等问题,体现了化归的思想方法;用三角函数模型解决实 际问题主要有两种:一种是用已知的模型去分析解决实际问题,另一种是需要建立精确 的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题,充分 体现了新课标中“数学建模”的本质. π π π 设函数 f(x)=sin?4x-6?-2cos2 x+1. ? ? 8 (1)求 f(x)的最小正周期; 4 (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈?0,3?时,y=g(x)的最 ? ? 大值. 解 = π π π π π (1)f(x)=sin xcos -cos xsin -cos x 4 6 4 6 4 π π 3 π 3 π sin x- cos x= 3sin?4x-3?, ? ? 2 4 2 4

2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =8. π 4 (2)方法一 在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于 x=1 的对称点为(2-x,g(x)). π π 由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上,从而 g(x)=f(2-x)= 3sin?4?2-x?-3? ? ? π π π = 3sin?2-4x-3? ? ? π π = 3cos?4x+3?. ? ? 4 π π π 2π 当 0≤x≤ 时, ≤ x+ ≤ , 3 3 4 3 3 4 因此 y=g(x)在区间?0,3?上的最大值为 ? ? π 3 g(x)max=g(0)= 3cos = . 3 2 4 2 方法二 因区间?0,3?关于 x=1 对称区间为?3,2?,且 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于 x ? ? ? ? 4 2 =1 对称,故 y=g(x)在?0,3?上的最大值即为 y=f(x)在?3,2?上的最大值. ? ? ? ? π π 由(1)知 f(x)= 3sin?4x-3?, ? ? 2 π π π π 当 ≤x≤2 时,- ≤ x- ≤ . 3 6 4 3 6 所以 f(x)max=f(2)= 3 . 2

4 3 因此 y=g(x)在?0,3?上的最大值为 . ? ? 2

利用三角函数的性质求解析式

典例:(14 分)如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位后得 y=f(x), 6 求 f(x)的对称轴方程. 审题视角 (1)图象是 y=Asin(ωx+φ)的图象.(2)根据“五点法”作图的原则,M 可以看

5π 作第一个零点;? 6 ,0?可以看作第二个零点. ? ? 规范解答



(1)由图象知 A= 3,

π 5π 以 M?3,0?为第一个零点,N? 6 ,0?为第二个零点.[2 分] ? ? ? ?

?ω·+φ=0, 3 列方程组? 5π ?ω·6 +φ=π,
π 2π (2)f(x)= 3sin?2?x+6?- 3 ? ? ? ? ? π = 3sin?2x-3?,[9 分] ? ?

π

?ω=2, ? 解之得? 2π [5 分] ? ?φ=- 3 .

2π ∴所求解析式为 y= 3sin?2x- 3 ?.[7 分] ? ?

π π 5 kπ 令 2x- = +kπ(k∈Z),则 x= π+ (k∈Z),[13 分] 3 2 12 2 5 kπ ∴f(x)的对称轴方程为 x= π+ (k∈Z).[14 分] 12 2

第一步:根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或 最高点、最低点. 第二步:将“ωx+φ”作为一个整体,找到对应的值. 第三步:列方程组求解. 第四步:写出所求的函数解析式. 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点及答题规范.

温馨提醒

(1)求函数解析式要找准图象中的“五点”,利用方程求解 ω,φ;(2)讨论性

质时将 ωx+φ 视为一个整体.

方法与技巧 1. 五点法作函数图象及函数图象变换问题 (1)当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五点 法”作正、余弦型函数图象时,应取好五个特殊点,并注意曲线的凹凸方向. (2)在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经 常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少.

2. 由图象确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A、ω、φ 的题型,常常以“五点法”中的第一个零点

?- φ ,0?作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.要善于抓住特殊量 ? ω ?
和特殊点. 3. 对称问题 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为 (x,± A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的 差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离). 失误与防范 1.由函数 y=sin x(x∈R)的图象经过变换得到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,在具体问题中, 可先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但要注意:先伸缩,后平移时 要把 x 前面的系数提取出来. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质是本节考查的重点,也是高考热点,复习时尽可能使用 数形结合的思想方法,如求解对称轴、对称中心和单调区间等. 3.注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间 的确定,基本思想是把 ωx+φ 看做一个整体.在单调性应用方面,比较大小是一类常见 的题目,依据是同一区间内函数的单调性.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:62 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 35 分) π 1. 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ (0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y=sin?x-6?的图象, ? ? 则 φ=________. 答案 11 π 6

11 解析 将函数 y=sin x 向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位得到函数 y=sin(x+φ).只有 φ= π 6 11 π 时有 y=sin?x+ 6 π?=sin?x-6?. ? ? ? ? π 1 2. 把函数 y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),再将图象向右 ? ? 2 π 平移 个单位,那么所得图象的对称轴方程为____________. 3

kπ 答案 x= (k∈Z 2 解析 π 1 由题意得,把函数 y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,得 y= ? ? 2

π π sin?2x+6?,再将图象向右平移 个单位, ? ? 3 π π π kπ 得 y=sin?2?x-3?+6?=sin?2x-2?=-cos 2x,所以对称轴为 x= (k∈Z. ? ? ? ? ? ? 2 x π π 3. 将函数 f(x)=2cos?3+6?的图象向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 g(x) ? ? 4 的图象,则 g(x)的解析式为____________. x π 答案 g(x)=2cos?3+4?-1 ? ? π π 1 解析 g(x)=2cos?3?x+4?+6?-1 ? ? ? ? x π =2cos?3+4?-1. ? ? π 4. 若函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 π,且 f(0)= 3,则 ω 2 =______,φ=______. 答案 2 π 3

解析 ∵T=π,∴ω=2. π π 又 2sin φ= 3,|φ|< ,∴φ= . 2 3 5. 函数 y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示, 则 ω=________. 答案 3 3 2 2π 解析 由图象可以看出 T=π,∴T= π= ,因此 ω=3. 2 3 ω π π π π π 6.已知 f(x)=sin?ωx+3? (ω>0), 6?=f?3?, f(x)在区间?6,3? f? ? ? ? 且 ? ? ? ? ? 上有最小值,无最大值,则 ω=_________________. 答案 14 3

π π + 6 3 π 解析 依题意,x= = 时,y 有最小值, 2 4 π π π π 3π ∴sin?4· 3?=-1,∴ ω+ =2kπ+ (k∈Z). ? ω+ ? 4 3 2 π π 14 π π π ∴ω=8k+ (k∈Z), ∵f(x)在区间?6,3?上有最小值, 无最大值, - < , ω<12.∴ ∴ 即 ? ? 3 3 4 ω

14 令 k=0,得 ω= . 3 7. 设函数 f(x)=sin x-cos x,若 0≤x≤2 011π,则函数 f(x)的各极值之和为________. 答案 解析 2 π π f′(x)=cos x+sin x= 2sin?x+4?,令 f′(x)=0,得 x=- +kπ (k∈Z),∵f(x) ? ? 4

π = 2sin?x-4?, ? ? π π π ∴f?-4+kπ?= 2sin?-4+kπ-4? ? ? ? ? π = 2sin?kπ-2?=- 2· kπ, cos ? ? 当 k 为奇数时,函数取得极大值 2; 当 k 为偶数时,函数取得极小值- 2, 1 8 045 ∵0≤x≤2 011π,∴ ≤k≤ , 4 4 ∴此函数在此区间上各极值的和为 2. 二、解答题(共 27 分) π 8. (13 分)(2012· 陕西)函数 f(x)=Asin?ωx-6?+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两条 ? ? π 对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; π α (2)设 α∈?0,2?,f?2?=2,求 α 的值. ? ? ? ? 解 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,

∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期 T=π,∴ω=2, π ∴函数 f(x)的解析式为 y=2sin?2x-6?+1. ? ? α π (2)∵f?2?=2sin?α-6?+1=2, ? ? ? ? π 1 π ∴sin?α-6?= .∵0<α< , ? ? 2 2 π π π π π π ∴- <α- < ,∴α- = ,∴α= . 6 6 3 6 6 3 x π x π 9. (14 分)已知函数 f(x)=2 3sin?2+4?cos?2+4?-sin(x+π). ? ? ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上 6 的最大值和最小值. 解 π (1)因为 f(x)= 3sin?x+2?+sin x ? ? 3 1 ? cos x+ sin x 2 ?2 ?

= 3cos x+sin x=2? π =2sin?x+3?, ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6 π π π ∴g(x)=f?x-6?=2sin[?x-6?+ ] ? ? ? ? 3 π =2sin?x+6?. ? ? π π 7π ∵x∈[0,π],∴x+ ∈?6, 6 ?, ? 6 ? π π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时,sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? 6 2 3 π π 7π 1 当 x+ = ,即 x=π 时,sin?x+6?=- ,g(x)取得最小值-1. ? ? 6 6 2

B 组 专项能力提升 (时间:35 分钟,满分:58 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) π π π 1. 若将函数 y=tan?ωx+4? (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan?ωx+6?的 ? ? ? ? 6 图象重合,则 ω 的最小值为________. 答案 1 2

π 解析 y=tan?ωx+4? ? ? π π π y=tan?ω?x-6?+4?=tan?ωx+6?, ? ? ? ? ? ? π π π 1 ∴ - ω+kπ= (k∈Z),∴ω=6k+ (k∈Z). 4 6 6 2 1 又∵ω>0,∴ωmin= . 2

π 2. 若函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象 2 → → 如图所示,M,N 分别是这段图象的最高点和最低点,且OM· =0,则 A· ON ω=________. 答案 7 π 6

解析 由题图可知,T=π,所以 ω=2, π π π 易得 sin?2×12+φ?=1,又|φ|< ,所以 φ= , ? ? 2 3 π π 7π 因此 y=Asin?2x+3?,又 M?12,A?,N?12,-A?, ? ? ? ? ? ? π 7π 7 → → 若OM· =0,则 × -A2=0,所以 A= π, ON 12 12 12 因此 A· ω=2× 7 7 π= π. 12 6

3. 电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0, π 1 ω>0,0<φ< )的图象如右图所示,则当 t= 秒时,电流强度是 2 100 ______________安. 答案 -5 T 4 1 1 解析 由图象知 A=10, = - = , 2 300 300 100 2π ∴ω= =100π.∴I=10sin(100πt+φ). T

? 1 ,10?为五点中的第二个点,∴100π× 1 +φ=π. ?300 ? 300 2
π π ∴φ= .∴I=10sin?100πt+6?, ? ? 6 1 当 t= 秒时,I=-5 安. 100 π π π 4. 若 f(x)=2sin(ωx+φ)+m 对任意实数 t 都有 f?8+t?=f?8-t?,且 f?8?=-3,则实数 m 的 ? ? ? ? ? ? 值等于________. 答案 -1 或-5 π π 解析 依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,于是当 x= 时,函数 f(x)取得最 8 8 值,因此有± 2+m=-3,解得 m=-5 或 m=-1. π π 5. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0, ≤φ≤ )的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距 - 2 2 1 离为 2 2,且过点?2,-2?,则函数解析式 f(x)=____________________. ? ?

答案

πx π sin? 2 +6? ? ?

解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为 2 2,可得

?T?2+?1+1?2=2 2,解得 T ? 2?

πx 1 2π π =4,故 ω= = ,即 f(x)=sin? 2 +φ?,又函数图象过点?2,-2?,故 f(2)=sin(π+φ) ? ? ? ? T 2 πx π 1 π π π =-sin φ=- ,又- ≤φ≤ ,解得 φ= ,故 f(x)=sin? 2 +6?. ? ? 2 2 2 6 π 6.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+Acos?6?x-6?? ? ? (x=1,2,3,?,12,A>0)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月 平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5
?a+A=28, ? 解析 由题意得? ? ?a-A=18, ?a=23, ? ∴? ? ?A=5,

π ∴y=23+5cos?6?x-6??, ? ? 1 x=10 时,y=23+5×?-2?=20.5. ? ? 二、解答题(共 28 分) π 7. (14 分)(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ< )的部 2 分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; π π (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ? 解 11π 5π (1)由题设图象知,周期 T=2? 12 -12?=π, ? ?

5π 2π 所以 ω= =2.因为点?12,0?在函数图象上, ? ? T 5π 5π 所以 Asin?2×12+φ?=0,即 sin? 6 +φ?=0. ? ? ? ? π 5π 5π 4π 又因为 0<φ< ,所以 < +φ< . 2 6 6 3 5π π 从而 +φ=π,即 φ= . 6 6 π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,解得 A=2. 6 π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

π π π π (2)g(x)=2sin?2?x-12?+6?-2sin?2?x+12?+6? ? ? ? ? ? ? ? ? π =2sin 2x-2sin?2x+3? ? ? 1 3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ? π =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?. ? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 5π 所以函数 g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ? 8. (14 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=asin ωx+bcos ωx+1 (ω>0,a>0,b>0)的周期为 π, π f?4?= 3+1,且 f(x)的最大值为 3. ? ? (1)写出 f(x)的表达式; (2)写出函数 f(x)的对称中心、对称轴方程; (3)说明 f(x)的图象由函数 y=2sin x 的图象经过怎样的变换得到. 解 (1)f(x)= a2+b2sin(ωx+φ)+1,

2π ∵周期为 π,∴ =π,∴ω=2. ω ∴f(x)=asin 2x+bcos 2x+1. π f?4?=a+1= 3+1,∴a= 3. ? ? 又 a2+b2+1=3,∴b=1. ∴f(x)= 3sin 2x+cos 2x+1 π =2sin?2x+6?+1. ? ? π (2)由 f(x)=2sin?2x+6?+1, ? ? π kπ π 令 2x+ =kπ(k∈Z),得 x= - (k∈Z), 6 2 12 kπ π ∴对称中心为? 2 -12,1? (k∈Z), ? ? π π kπ π 由 2x+ =kπ+ ,得 x= + (k∈Z), 6 2 2 6 kπ π ∴对称轴方程为 x= + (k∈Z). 2 6

π π (3)f(x)=2sin?2x+6?+1 的图象可先由函数 y=2sin x 的图象向左平移 个单位,得到函数 ? ? 6 π π 1 y=2sin ?x+6? 的图象;再将 y=2sin ?x+6? 图象的横坐标缩小到原来的 ,得到 y= ? ? ? ? 2 π π 2sin ?2x+6? 的 图 象 ; 再 将 y = 2sin ?2x+6? 的 图 象 向 上 平 移 一 个 单 位 , 即 得 f(x) = ? ? ? ? π 2sin?2x+6?+1 的图象. ? ?



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