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初高中数学推理与证明能力培养的教学衔接对策



初高中数学推理与证明能力培养的教学衔接对策
1 中学生的推理与证明能力的现状调查与分析 1.1 初高中数学课程标准中“推理与证明”的阐述 高中数学课程标准强调“推理与证明”是数学的基本思维过程, 也是人们学 习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理 是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结 果,以及个人的经验和

直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理 常用的思维方法。在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和 提供思路的作用, 有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的 结论 (包括定义、 公理、 定理等) , 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 推理贯穿于数学教学的始终,推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序 渐进的过程。 义务教育数学课程标准对推理能力做了明确的阐述,主要含义是能 通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻找证据、给出证明或 举出反例;能清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理、步步有据。 培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。 合情 推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践 证明, 数学结论的正确性必须通过演绎推理或逻辑证明来保证,即在前提正确的 基础上,通过正确使用推理规则得出结论。 1.2 初高中生的推理与证明能力的状况分析 调查发现: 许多初中数学教师比较重视学生思维的直觉探索性和发现性,经 常精心设计一些适当的学习活动, 引导学生通过观察、 尝试、 估算、 归纳、 类比、 画图等活动发现一些规律,猜测某些结论,有利于发展初中生的合情推理能力。 初中新课标强调“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻 求证据、给出证明或举出反例”。但是,在合情推理能力不断加强的同时演绎推 理能力反而较差。初中新课标弱化几何证明,降低演绎推理难度,圆与三角形相 似等相关知识的演绎证明不作要求,许多学生的逻辑思维能力不强。例如在空间 与图形方面: (1)初中课改教材内容删除了部分繁难的几何证明题,淡化了一些重要的 几何推理与证明技巧,减少了几何定理数量,只要求用 4 条“基本事实”证明 40 条左右的命题,这与高中数学教学中对学生“推理论证”能力的较高要求不 相适应; (2)平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、截三角形两边或延 长线的直线平行于第三边的判定定理、圆内接四边形的判定与性质(有关“四点 共圆”的知识)等初中新课改都不作要求,这样高中立体几何、平面解析几何的 推理与证明会受到影响。 初中数学新教材中大部分新知识的引入往往与学生日常生活实际很贴近, 比 较形象,并遵循从感性认识上升到理性认识的规律,教材叙述方法比较简单,语 言通俗易懂,直观性、趣味性强,结论容易记忆,学生一般都容易理解、接受和 掌握。相对而言,高中数学中的概念抽象,定理严谨,逻辑性强;教材叙述比较 严谨、规范,抽象思维和空间想象能力的要求明显提高。同时知识难度加大,习 题类型多,解题方法灵活多变,计算较为复杂,体现了“起点高、难度大、容量 多”的特点。由于初中学习阶段对数学合情推理过度重视,许多高中生(尤其高

一学生) 极度不适应推理步骤繁多、 论证难度大的高中推理与证明教学。 一般地, 普通高中生在解决数学推理与证明问题时的合情推理是一种不按逻辑程序的思 考, 更是学生把自己的数学解题经验与大胆猜测的方法进行跳跃性地整合,大多 数学生可能不会进行严谨地验证与论证,推理出来的结论一般不可靠的,这就大 大影响了高中数学解题质量。 2 中学生的推理与证明能力培养的数学教学衔接对策 众所周知, 学生的推理与证明能力不是一下子就培养起来的。在平常的教学 中我们时常看到许多老师在初一的时候就对学生提出了较高的要求, 这实际上是 “拔苗助长”、 没有放眼学生的长远发展,也是对培养学生的推理与证明能力的 不自信的结果。只有用科学的方法,关注学生的长远发展才可能有恰当的、有效 的方法助学生成长。在高一的入门教学中,注意放低起点,扎实教好“推理与证 明”相关的课本知识, 对部分初、高中数学主干知识衔接脱节的内容应及时进行 必要的补充,并尽量让学生对补充的内容进行自主讨论和探究。 2.1 在几何教学中培养合情推理和演绎推理能力 在初中“空间与图形”的教学中,教师既要重视演绎推理,又要重视合情推 理。即使在平面图形性质(定理)的教学中,也应当组织学生经历操作、观察、 猜想、证明的过程,做到合情推理与演绎推理相结合。与原来的数学教学大纲相 比, 《标准》加强了空间几何的有关内容,并给学生“利用直观进行思考”提供 了较多的机会, 如生活中的立体图形, 展开与折叠, 从不同的方向看图形等内容。 学生在实际的操作过程中,要不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的 答案。 这个过程中就锻炼了学生的合情推理能力,同时也有助于学生空间观念的 形成。另一方面,教师可以把三角形全等教学作为突破口,扫除几何推理入门障 碍。在推理上要求学生能用三角形全等的知识独立论证,即一次全等,或二次全 等。以及能通过分析,或添辅助线进行推理论证。几何证题中的分析是打开证题 的钥匙, 在初中平面几何阶段教师尽量教会学生分析已知条件和求证结论,把培 养分析能力、掌握分析方法、用综合法写出证明过程作为这一阶段的重点。这样 以后高中立体几何阶段的学习会事半功倍的!



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