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河北省唐山市开滦第二中学2014-2015学年高二数学上学期期中试卷 理



数学理试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 页至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 页 至第 6 页。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分.) 1.在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2.点(1,-1)到直线 3x-4y+3=0 的距离为( ) A.2 B.1 2 C. 5 D. 6 5

3.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,1,?2), B(1,0,1), 则 A. 2 B. 2 2 C. 10

AB
=( ) D. 2 10

?

4.过点 A( 3,1) 且倾斜角为 60°的直线方程为(



A. y ? 3x ? 2

B. y ? 3x ? 2

y?
C.

3 x?2 3

y?
D.

3 x?2 3


5.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积为( A. 4? B. 3? C. 2? D. ? ( )

6.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于

A.1

1 B. 3 ?

2 C. 3 ?

D. ?2

7.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( ) A.若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n B.若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n C.若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α ⊥β D.若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β 8. 若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如 4 3 示,则此几何体的体积等于( ) A. 30 B. 12

下图所

3 2

C. 24
正视图 侧视图

D. 4

3
1

俯视图

9.已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为(

)

1 A. 6 1 C. 3

B.

3 6

D.

3 3
)

10.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(

A.4

20 B. 3

26 C. 2

D.8

11.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的 最小值为( ) A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.4 2 )

12.正四面体的外接球和内切球的半径的关系是(

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上) 13.若直线 a ∥ b 且 a ? 平面? ,则 b 与 ? 的关系是__________. 14.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,二面角 B ? A1 D1 ? C1 的大小为__________. 15 . 三 棱 锥 P ? ABC 的 四 个 顶 点 均 在 同 一 球 面 上 , 其 中 △ ABC 为 等 边 三 角 形 , PA ? 平面ABC ,

PA ? 2 AB ? 2a ,则该球的体积是

. .
2

16.当 k>0 时,两直线 kx-y=0, 2 x+ky-2=0 与 x 轴围成的三角形面积的最大值为

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 。 17. (本题 10 分)已知两条直线

l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,求: (1)过点 P 且过 l3 : x ? 2 y ?1 ? 0 的直线 l 的方程。

原点的直线方程; (2)过点 P 且垂直于直线

18. (本题 12 分)已知三角形的三个顶点是 A(4,0) ,B(6,6) ,C(0,2) . (1)求 AB 边上的高所在直线的方程; (2)求 AC 边上的中线所在直线的方程. 19. (本题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,若 E 、

F 分别为 PC 、 BD 的中点.
(Ⅰ) 求证: EF //平面 PAD ;
P E D F A B C

(Ⅱ) 求证:平面 PDC ? 平面 PAD ;

20 . (本题 12 分 )如 图, 在三 棱锥 V ? ABC 中 , VC ? 底 面 ABC , AC ? BC, D 为 AB 的 中点 ,

AC ? BC ? VC ? a .
(1)求证: AB ? 平面 VCD ; (2)求点 C 到平面 VAB 的距离。

21. (本题 12 分)如图,在直三棱柱中 (1)求异面直线

A1B1C1 -ABC 中,AB ? AC, AB=AC=2, AA1 =4,点 D 是 BC 的中点.

A1B 与 C1D 所成角的余弦值; ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值. (2)求平面

3

?BAE ? 90? , ?ABE 为等腰直角三角形, 22. (本题 12 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为正方形,
且 AD ? AE . (1)证明:平面 AEC ? 平面 BED . (2)求直线 EC 与平面 BED 所成角的正弦值.

4

参考答案

∴AB 边上的高所在直线的斜率 k=﹣ , ∴AB 边上的高所在直线的方程为 y﹣2=﹣ (2)∵AC 边的中点为(2,1) , ,整理,得 x+3y﹣6=0.--------6 分

∴AC 边上的中线所在的直线方程为

,整理,得 5x﹣4y﹣5=0. --------12 分

19. (说明:证法不唯一,适当给分)证明: (1)取 AD 中点 G,PD 中点 H,连接 FG,GH,HE, 由题意:

FG / /

1 1 AB, HE / / CD,? AB / /CD,? FG / /HE 2 2
--------4 分 --------6 分

?四边形EFGH 是平行四边形, ? EF / /GH

又 GH ? 平面PAD, EF ? 平面PAD , EF //平面 PAD

(2)? 平面 PAD ? 底面 ABCD , 平面PAD ? 平面ABCD ? AD,

CD ? AD, CD ? 平面ABCD ,? CD ? 平面PAD ,--------10 分
又 CD ? 平面PDC ,? 平面 PDC ? 平面 PAD --------12 分 --------2 分 --------4 分

20.解: (1)因为 VC ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC ,所以 VC ? AB 又因为在 ?ABC 中, AC ? BC , D 为 AB 的中点,所以 CD ? AB 又 VC ? 平面 VCD , CD ? 平面 VCD ,且 VC ? CD ? C , 所以 AB ? 平面 VCD ------------------------------------------6 分

(2)法一:因为 AB ? 平面 VCD 且 AB ? 平面 VAB ,所以平面 VCD ? 平面 VAB , 又因为平面 VCD ? 平面 VAB ? VD , 所以点 C 到 VD 的距离 h 即为点 C 到平面 VAB 的距离, --------8 分 在直角三角形 VCD 中,由 VD ? h ? VC ? DC

h?


VC ? DC ? VD

a?

2 a 2 ? 3a 3 6 a 2

3 a 所以点 C 到平面 VAB 的距离为 3 .

--------12 分

法二:设点 C 到平面 VAB 的距离为 h , 据

VV-ABC ? VC-VAB
3 a 3

--------8 分

1 1 1 3 ? a?a?a ? ? 3 4 即3 2

?

2a h
,得

?

2

h?

3 a 所以点 C 到平面 VAB 的距离为 3 .
? ? ?

--------12 分

21. 解: (1) 以 { AB, AC, AA1 } 为单位正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz , ------1 分 则 A(0,0,0) , B(2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D(1,1,0) , C1 (0,2,4) .

? A1 B ? (2,0,?4) , C1 D ? (1,?1,?4)

?

?

--------3 分

A B? C1 D ? cos ? A1 B, C1 D ?? 1 ? A1 B C1 D
? ?

?

?

18 20 18

?

3 10 10

--------5 分

3 10 ? 异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为 10 . --------6 分
? ??? ? m ? ( x, y , z ) , ABA ADC AC ? (0, 2,0) 1 的的一个法向量,设平面 1 的法向量为 (2) 是平面

? AD ? (1,1,0) , AC1 ? (0,2,4) ,

?

?

?x ? y ? 0 ? 2 y ? 4 z ? 0 ,取 z ? 1 ,得 y ? ?2 , x ? 2 , 由 m ? AD , m ? AC1 得 ?
? ?

?

?

所以平面 ADC1 的法向量为 m ? (2,?2,1) .
1 所成二面角为 ? . 设平面 ADC1 与 ABA

?

--------9 分

???? ? ???? ? AC ? m ?4 2 ? cos ? ? cos ? AC , m ?? ? ? ? 2?3 3 AC m
, --------11 分

sin ? ?


5 5 3 .所以平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为 3 .

--------12 分 D O C

22.解法一: (1)由已知有 AE⊥AB,又 AE⊥AD, 所以 AE⊥平面 ABCD,所以 AE⊥DB, 又 ABCD 为正方形,所以 DB⊥AC, 所以 DB⊥平面 AEC, --------3 分 ? 而 BD 平面 BED 故有平面 AEC⊥平面 BED. --------5 分 (2)设 AC 与 BD 交点为 O,所以 OE 为两平面 AEC 和 BED 的交线. 过 C 作平面 BED 的垂线,其垂足必在直线 EO 上, 即∠OEC 为 EC 与平面 BED 所成的角. --------8 分 设正方形边长为 2 a ,则 OA= 2a ,AE=2 a , 所以 OE= 6a ,EC= 2 3a ,

A E 图1

B

2 2 所以在三角形 OEC 中,由余弦定理得 cos∠OEC= 3 ,
1 故所求为 sin∠OEC= 3

---11 分 z D C

--------12 分

解法二:以 A 为原点,AE、AB、AD 分别为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系. --------1 分 (1)设正方形边长为 2,则 E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? (0,2,2), BD =(0,-2,2), AE =(2,0,0), ED =(-2,0,2), ??? ? ???? ??? ? ??? ? BD ? AC ? 0 BD ? AE ? 0, 从而有 ,
--------3 分

A E x 图2

B

y

即 BD⊥AC,BD⊥AE, 所以 BD⊥平面 AEC, 故平面 BED⊥平面 AEC. --------5 分 (2)设平面 BED 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?



? ??? ? ? ?n ? ED ? 0 ? ? ? ??? ? ?n ? BD ? 0

?z ? x ? ? y ? z n ? ,得 ,故取 ? (1,1,1)

--------9 分

n ? EC 1 cos ? n, EC ?? ? ??? ? | n || EC | 3 --------11 分 而 EC =(-2,2,2),所以
设直线 EC 与平面 BED 所成的角为 ? ,

? ??? ? ? ??? ? | n ? EC | 1 ? ? sin ? ?| cos ? n, EC ?|? ? ??? | n || EC | 3 则有

--------12 分



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