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1.4.3正切函数的图象和性质



知识回顾:
函数
y
1

y =sin x
y
1

y =cos x
2?
5? 2

图形 定义域 值域 最值

?? 2

0
-1

?

2

/>
?

3? 2

x

??

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

单调性 奇偶性 周期性

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇函数

[?1,1]

R

[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1
x?[?? ? 2k? , 2k? ]
增函数 减函数

R

x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数

T ? 2?

T ? 2?

正切函数 y = tan x 是周期函数吗? 由诱导公式
tan( x ? ? ) ? tan x, x ? R, x ? k? ?

?
2

,k ? Z

∴ y ? tan x 是周期函数, ? 是它的最小正周期.
? ? ?? 利用正切线画出函数 y ? tan x , x ? ? ? , ? 的图象: ? 2 2?

? ? ?? y ? tan x 利用正切线画出函数 , x ? ? ? , ?的图象: ? 2 2?
y

o1

?

?
2

?

?
4

o

? 4

? 2

x

对正切函数 y

? ? ? ? ? ? k ? , ? k ? ? ??k ? Z ? 的图象进行扩展: ? tan x, 2 2 ? ?

y

正切曲线

3? ? 2

??

?

?
2

o

? 2

?

3? 2

x

正切函数图象的简单画法: 三点两线法。
? ? ? , 1 )、 ? 1? ?? , “三点”: (0,0)、(? 4 ? 4 ?

“两线”:x ?

?
2

和x ? ?

?
2

y
1
?
4

?

?
4

?

3? 2

??

?

? 2

0
-1

? 2

?

3? 2

x

利用正切函数的图象来研究它的性质:

正切函数的性质:
? ? ? 1、定义域: ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

利用正切函数的图象来研究它的性质:

正切函数的性质:

2、值域: R ? ? 当 x 小于 ? k? ?k ? Z ? 且无限接近于 2 ? k? 时, y ? ??
2 ? ? ? ? k? ?k ? Z ?且无限接近于 ? ? k?时, y ? ?? 当 x 大于 2 2

利用正切函数的图象来研究它的性质:

正切函数的性质:

3、周期性: T

??

对任意的 x ? R, 且x ?

?
2

? k? , k ? Z 都有

tan?x ? ? ? ? tan x

利用正切函数的图象来研究它的性质:

正切函数的性质: 4、奇偶性:奇函数 正切曲线关于原点 O 对称.

? ? ? ? ? 任意 x ? ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? ,都有 2 ? 2 ? tan?? x ? ? ? tan x ? 正切函数是奇函数.

利用正切函数的图象来研究它的性质:

正切函数的性质:

5、单调性:

? ? ? ? 正切函数在每个开区间 ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? 2 ? 2 ?
内都是增函数.

例1 求函数 y ? tan( x ?

?
4

) 的定义域。

解:令 z ? x ?

?
4

,

那么函数 y ? tan z 的定义域是:

? ? ? z | z ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 ? ? ? ? ? 所以由 z ? x ? , 可得: x ? ? ? k? 4 2 4
所以函数的定义域是:

? ? ? x | x ? ? k ? , k ? Z ? ? 4 ? ?

例2 比较 tan147 与 tan173? 的大小

?

解:

90? ? 147? ? 173? ? 180?
? ? 且 y ? tan x 在 (90 ,180 ) 内是增函数。

? tan147? ? tan173?

练习:
1.求函数 y

? tan3x 的定义域.

2.不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:

? 13 ? ? 17 ? (2)tan? ? ? ? 与 tan? ? ? ? . (1)tan138 与 tan143 ; ? 5 ? ? 4 ?
?
?

1、
2、

? ? ? k? ,k ?Z? 定义域为: ? x x ? ? 6 3 ? ?
(1)

tan 138 ? tan 143
?

?

? 13 ? 17 ? (2) tan ? ? ? ? > tan ? ?? ? ? ? 5 ? ? 4 ?

例3:求函数y ? 3 tan(2 x ? )的周期. 4 ? 解: 3 tan(2 x ? ) ? 3 tan( 2 x ? ? ? ? )
4

?

?函数的周期T ?
练习: 求下列函数的周期

?

? 3 tan[ 2( x ?

4 ?

2

)?

?
4

]

2

(1) y ? tan 3x

? 总结 : 函数形如y ? A tan(? x ? ? )的周期 T ? |? |

x (2) y ? 5 tan 2

例4.求函数 y ? tan(

?

? ? ? 解:函数自变量x 应满足 x ? ? ? k? , k ? Z


x ? ) 的定义域、周期和单调区间。 2 3
2

?

由于 tan[ ? ( x ? 2) ? ? ] ? tan( ? x ? ? ? ? ) ? tan( ? x ? ? )

1 ? 2k , k ? Z }. { x | x ? 所以, 函数的定义域是 3

2 3 x ? 1 ? 2k , k ? Z 3

2

3

2

3

所以,函数的周期 T=2.

(法2:T=

π( / π / 2) ?2

2

3



由 ? ? ? k? ? ? x ? ? ? ? ? k ? , k ? Z

2

解得

? 5 ? 2k ? x ? 1 ? 2k , k ? Z 3 3

2

3

2

所以,函数的单调递增区间是

5 1 (? ? 2k , ? 2k ), k ? Z 3 3

随堂练习 1、函数y=tan3πx的最小正周期为

1 A、 3

2 B、 3

6 C、

?

A 3 D、

?

?? ? 2、要得到函数y=tan2x的图象,只需将函数 y= tan ? 2x- 3 ? ? ?

的图象 ? A、向左平移 3 ? C、向左平移 6

B、向右平移

?
3

C

D、向右平移

?
6

(1)正切函数的图象

(2)正切函数的性质:
? ? ? x | x ? ? k ? , k ? Z ?定义域: ? ? 2 ? ?

?值域:

R

?周期性:正切函数是周期函数,最小正周期 T ? ?
奇函数 ?奇偶性:
? ? ? 正切函数在开区间 ? ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ?单调性: 2 ? 2 ? 内都是增函数。

作业: P46
6. 7. 8.(1)(2)

3、观察正切曲线,写出满足下列条件的 x 的集合。 (1)

tan x ? 0

(2)

tan x ? 0

(3)

tan x ? 0
y

(1) ( 2) (3)

? ? ? x k ? ? x ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

y ? tan x

?x x ? k? , k ? Z ?
? ? ? ? x ? ? k? ? x ? k? , k ? Z ? 2 ? ?
? ?? 2
??

?? 2

o

? 2

?

??
2

x



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