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库区中学寒假数学作业



库区中学数学寒假作业 数学专题复习一 一、 【教材分布】七上第二、三、七章 二、 【知识框架】 八上第五章 实数

? ? ? ? ?正整数 ?正整数 ? ? ? ? ?正有理数 ? ? ?正分数 ?正实数 ? ?整数 ?零 ?负整数 ? ?有理数 ? ? ? ? ?正无理数 ? ? ? ? ? 实数 ? ?分数 ?正分数? 有限小数或无限循环小数 实数还可以

分为 ?零 ? ? ? ? ? ? ?负整数 ?负分数 ? ? ? ? ?负有理数 ? ? ?负实数 ? ?正无理数? ?负分数 ?无理数 ? ? ? 无限不循环小数 ? ? ? ?负无理数 ?负无理数 ? ? ?
三、 【知识点】 1.有理数的意义⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 . 构成一一对应. ⑵ 实数 a 的相反数为________. 若 a , b 互为相反数,则 a ? b = ⑶ 非零实数 a 的倒数为______. 若 a , b 互为倒数,则 ab =

.[来源:学*科*网

? ? ⑷ 绝对值 a ? ? ? ?

( a ? 0) ( a ? 0) . ( a ? 0)
的形式,其中 1≤ a <10 的数,n 是整数.

⑸ 科学记数法:把一个数表示成

⑹ 一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.这时,从 左边第一个不是 2.数的开方 ⑴ 任何正数 a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根 a 叫 _______________. 没有平方根,0 的 算术平方根为______. . 的数起, 到 止, 所有的数字都叫做这个数的有效数字.

⑵ 任何一个实数 a 都有立方根,记为 ⑶

? a2 ? a ? ? ?


(a ? 0) . (a ? 0)
统称实数.

3. 实数的分类 四、 【热身训练】

1.(2009 年内蒙古包头)国家体育场“鸟巢”建筑面积达 25.8 万平方米,将 25.8 万平方
1

米用科学记数法(四舍五入保留 2 个有效数字)表示约为( A. 26 ?10 平方米
4

) D.2.6 ?10 平方米
6

B. 2.6 ?10 平方米
4

C. 2.6 ?10 平方米
5

2.(2009 年山西太原)在数轴上表示 ?2 的点离开原点的距离等于( A.2 B. ?2 C. ?2 ) .

) D. 4

3.(2009 年黑龙江哈尔滨)36 的算 术平方根是( A.6 4.(2009 年湖北黄冈) ? B.±6 C. 6

D.± 6

1 1 =_________; (? 5)0 =_________; ? 的相反数是_________. 4 3
2

5.(2009 年湖南怀化)若 a ? 2 ? b ? 3 ? ? c ? 4 ? ? 0, a ? b ? c ? 则 6.在实数-



2 ? ,0, 3 ,-3.14, , 4 ,-0.1010010001?(每两个 1 之间依次多 1 3 2
B.2 个 C.3 个 D.4 个
2

个 0) ,sin30°这 8 个实数中,无理数有( )[来源:学科网 ZXXK] A.1 个

7.若 m ? n ? n ? m ,且 m ? 4 , n ? 3 ,则 (m ? n) ?
2



8.已知 x 、y 是实数,且 3x ? 4 +(y -6y+9)=0,若 axy-3x=y,则实数 a 的值是( ) A.

1 4

B.-

1 4

C.

7 4

D.-

7 4

五、 【例题分析】 【例 1】1. 3 的平方根是 2. 81 ?
?2

;

1 ( ? ) ? 4 算术平方根是 3
;

; 81 的算术平方根是

64 的立方根是

.

3.实数上的点 A 和点 B 之间的整数点有
A B

? 2
4.在 3.14, A.1

7

-

22 , ? 3 , 3 64 ,? 这五个数中,无理数的个数是 7
B.2 C.3 D.4

2

【例 2】计算:(1) 32 ? 3

1 ? 2; 2

(2) ( 6 ? 2 15) ? 3 ? 6

1 ; 2

(3) 六、 【反馈巩固】

32 ? (2 ? 2 ) 2 ; (4) 18 ? 2 ?2 ? 2 ?2 ?

1 2 ?1

? ( 2 ? 1) 0 ;

1.在下列实数中,无理数是 ( A.5 B.0 )

) C. 7 D.

14 5

2.下列运算中,错误的是( .. A .

2?
2

3 ?

6
2? 3

B .

1 2 ? 2 2

C .

2

? 2

3? 2

5

2

D. ( 2 ? 3) ?

A 3.设 26 ? a ,则下列结论正确的是( ) C B (第 4 题)

A. 4.5 ? a ? 5.0 C. 5.5 ? a ? 6.0

B. 5.0 ? a ? 5.5 D. 6.0 ? a ? 6.5

4.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,则网格上的三角形 ABC 中,边长为 无理数的边数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ) ( )

5.已知 (1 ? m ) 2 ? n ? 2 ? 0 ,则 m ? n 的值为( A. ?1 B. ?3 C. 3

D. 不能确定

6.如图,数轴上表示 1, 3 的对应点分别为点 A,点 B.若点 B 关于点 A 的对称点为点 C, 则点 C 所表示的数是 A. 3 ? 1 C. 2 ? 3 B. 1? 3
O C A 1 B
3

2

D. 3 ? 2

8.应中共中央总书记胡锦涛的邀请,中国国民党主席连战先生,中国亲民党主席宋楚瑜 先生分别从台湾到大陆参观访问,先后都到西安,都参观了新建的“大唐芙蓉园” ,该
3

园的占地面积约为 800 000m ,若按比例尺 1∶2000 缩小后,其面积大约相当于( A. 一个篮球场的面积 C. 《陕西日报》的一个版面的面积 B. 一张乒乓球台台面的面积 D. 《数学》课本封面的面积

2

)

9 .某装饰 公司要在如 图所示 的五角星形 中,沿边每 隔 20 厘米装一盏闪光 灯.若

BC ? ( 5 ?1) 米,则需安装闪光灯
A.100 盏 C.102 盏 B.101 盏 D.103 盏 B

A C

10. “数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点 P 所表示的数是 2 ” ,这种说明 问题的方式体现的数学思想方法叫做( (A)代入法 (B)换元法 ) (C)数形结合 (D)分类讨论

11. ?5 的相反数是

,4的平方根是

. (第 n 个数). .

12.按规律填空: 2 ,2, 6 ,2 2 , 10 ,?,

13. 函数[M]表示不超过 M 的最大整数,如[-2.5]=-3,[2.5]=2,则[ ? 10 ]= 14.用计算器比较大小: 3 11 “<” ). 5 (填“”>“=”

15.如图,正方体的棱长为 2 cm,用经过 A 、 B 、 C 三点的平面截这个正方体,所得截 面的周长是 16.计算: cm . A C

1 2

? 3 2 ? sin 45?
2

17.计算: ? 2 ? 8 ? | ?2 2 | ?12sin 45?

B 第 15 题

18.如图是一个长 8m、宽 6m、高 5m 的仓库,在其内壁的 A (长的四等分点)处有一只壁 虎、 B (宽的三等分点)处有一只蚊子.则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少 m.
B 4

18 题图

A

19.计算: (1 ? tan 60 ) ?
?

?1? ? 1? 2005 2005 ? ? ? ? ? ? 0.25 ? 4 ?2? ? 5?

?2

0

20.某校数学课外活动探究小组,在老师的引导下进一步研究了完全平方公式.发现以下 规律: 对于任意正数 a、b, 都有 a+b≥2 ab 成立. (1) 你能结合实数的性质说明理由吗?请试试. (2) 某同学在做一个面积为 3 600cm ,对角线相互垂直的四边形风筝时,运用上述 规律,求得用来做对角线用的竹条至少需要准备 xcm. 则 x 的值是( A. 120 2 21 作图题 在数轴上画出表示 ? 8 的点 B. 60 2 C. 120 )
2

D. 60

-4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4

22 下图是由 7?7 个边长为单位 1 的正方形组成的大的正方形, 每个正方形的顶点称为格点,请连结下图的格点. (1) 使所得的线段 AB 是有理数 ; (2) 使所得的线段 CD 是无理数; (3)使所得的新正方形的面积为 5.

23.如图(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒,现将其剪开展成平面图,如图(2)所示. 已知展开图中每个正方形的边长为 1. (1)求在该展开图中可画出最长线段的长度?这样的线段可画几条? (2)试比较立体图中 ?BAC 与平面展开图中 ?B?A?C ? 的大小关系? 解: A C B

C?

A?
第 23 题图(1)

B?
5

第 23 题图(2)

24.若一个矩形的短边与长边的比值为 金矩形.

5 ?1 (黄金分割数) ,我们把这样的矩形叫做黄 2

(1) 操作: 请你在如图所示的黄金矩形 ABCD (AB>AD) 以短边 AD 为一边作正方形 AEFD; 中, (2)探究:在(1)中的四边形 EBCF 是不是黄金矩形?若是,请予以证明;若不是,请 说明理由; (3)归纳:通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结论(不需要证明
D C

A

B

数学专题复习二 一、教材分布 八下第 8、9 章

三角形

二、全等三角形知识点梳理及练习 (一) 、全等三角形知识点梳理
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足: (1)形状相同的图形; (2)大小相等的图形;

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形。 2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等; (2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等。 (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
6

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等, 因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) (3)已知条件中有一边一角对应相等,可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

(二) 练习 一、填空题 1.已知,如图,AD=AC,BD=BC,O 为 AB 上一点,那么,图中共有 全等三角形. 对

2. 如图, △ABC≌△ADE, AB= 则, ∠BAD=40°,则∠BAC= °.

, ∠E=∠

. 若∠BAE=120°,

7

3.把两根钢条 AA?、BB?的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽 的工具(卡钳), 如图, 若测得 AB=5 厘米,则槽宽为 米.

4.如图,∠A=∠D,AB=CD,则△ ≌△ ,根据是 . 5.如图,在△ABC 和△ABD 中,∠C=∠D=90,若利用“AAS”证明△ABC≌ △ABD,则需要加条件 或 ; 若利用“HL”证明△ABC≌ △ABD,则需要加条件 ,或 . 6.△ABC≌△DEF,且△ABC 的周长为 12,若 AB=3,EF=4,则 AC= . 7.工人师傅砌门时,如图所示,常用木条 EF 固定矩形木框 ABCD,使其不 变形,这是利用 ,用菱形做活动铁门是利用四边形 的 。

8. 如图 5, 在Δ AOC 与Δ BOC 中, AO=OB, 若 ∠1=∠2, 加上条件 则有Δ AOC≌Δ BOC。



8

9. 如图 6, AE=BF, AD∥BC, AD=BC, 则有Δ ADF≌

, DF= 且





10.如图 7,在Δ ABC 与Δ DEF 中,如果 AB=DE,BE=CF,只要加上∠ 或 ∥ ,就可证明Δ ABC≌Δ DEF。

=

11.如图,BE=CF,AB=DE,添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△ DFE ( ) (A)BC=EF (B)∠A=∠D (C)AC∥DF (D)AC=DF

12. 已知,如图,AC=BC,AD=BD,下列结论,不正确的是( (A)CO=DO(B)AO=BO (C)AB⊥BD (D)△ACO≌△BCO



13. 在△ABC 内部取一点 P 使得点 P 到△ABC 的三边距离相等, 则点 P 应是 △ABC 的哪三条线交点. ( ) (A)高 (B)角平分线 (C)中线 (D)垂直平分线已知 14.下列结论正确的是 ( )

9

(A)有两个锐角相等的两个直角三角形全等; (B)一条斜边对 应相等的两个直角三角形全等; (C)顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等; (D)两个等边三 角形全等. 15.下列条件能判定△ABC≌△DEF 的一组是 ( ) (A)∠A=∠D, ∠C=∠F, AC=DF (B)AB=DE, BC=EF, ∠A=∠D (C)∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F (D)AB=DE,△ABC 的周长等于 △DEF 的周长 16.已知,如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是角平分线,BE=CF,则下列说法 正确的有几个 ( )

(1)AD 平分∠EDF;(2)△EBD≌△FCD; (3)BD=CD;(4)AD⊥BC. (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 三、解答题: 1.如图,AB=DF,AC=DE,BE=FC,问:Δ ABC 与Δ DEF 全等吗?AB 与 DF 平 行吗?请说明你的理由。

2. 如图, 已知 AB=AC, AD=AE, 与 CD 相交于 O, ABE 与Δ ACD 全等吗? BE Δ 说明你的理由。

10

3. 已知如图,AC 和 BD 相交于 O,且被点 O 平分,你能得到 AB∥CD,且 AB=CD 吗?请说明理由。

4. 如图,A、B 两点是湖两岸上的两点,为测 A、B 两点距离,由于不能直接 测量,请你设计一种方案,测出 A、B 两点的距离,并说明你的方案的可行性。

三、相似三角形知识点及训练 (一)知识点梳理
1.相似三角形定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于” 。 3.相似三角形的相似比:相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原 三角形相似。 5.相似三角形的判定定理: (1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相 似, (简叙为两角对应相等两三角形相似) 。 (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那 么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。 ) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例, 那么这两个三角形 相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。 ) 6.直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应
11

高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于 相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2 9、三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:

类型 全等三角形的判定 相似三角形 的判定 SAS 两边对应成 比例夹角相 等

斜三角形 SSS 三边对应成 比例 AAS(ASA) 两角对应相 等

直角三角形 HL 一条直角边 与斜边对应 成比例

(二)训练
一、选择题: 1.下列命题中是真命题的是???????????????( (A)直角三角形都相似; (C)锐角三角形都相似; (B)等腰三角形都相似; (D)等腰直角三角形都相似. )

2.如果 ?ABC ∽ ?A1 B1C1 , AB ? 4, A1 B1 ? 6 ,那么 ?ABC 的周长和 ?A1 B1C1 的周 长之比是??????????????( (A) 1 : 3 ; (B) 2 : 3 ; (C) 4 : 9 ; )
A

(D) 3 : 2 .
D B
第3题图

3. 如图, 在△ ABC 中,DE ∥ BC ,DE 分别与 AB 、AC 相交于点 D 、 E ,若 EC ? 1, AC ? 3 则 DE ︰ BC 的值为 ( (A) ).

E C

2 ; 3

(B)

1 ; 2

(C)

3 ; 4

(D)

1 . 3

[来源:Zxxk.Com]

4. 已知 ?ABC ≌ ?DEF ,若 ?ABC 的各边长分别 3、4、5, ?DEF 的最大角的 度数是?????????????? ( (A) 30°; (B) 60 ° ; (C) ). 90° ; (D) 120°. ) .
[来源:学科网]

5.在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,下列命题中不正确的是(
12

(A)若 DE//BC,则

AD AE ? ; DB EC AD DE ? ; AB BC

(B)若

AD AE ? ,则 DE//BC; DB EC AD DE ? ,则 DE//BC . AB BC

(C)若 DE//BC,则

(D)若

6.在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,DE∥BC,且 DE 平分△ABC 的面积,则 DE∶BC 等于 ???????????????????????( (A) )

1 ; 2

(B)

1 ; 3

(C)

2 ; 2

(D)

3 . 3

二、填空题: 7. 在 ?ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 边上,DE//BC,且 DE=2,BC=5,CE=2,则 AC = 8.若△ABC∽△DEF,∠A=64°、∠B=36°则△DEF 别中最小角的度数是___________. 9. 如果线段 AB=4cm,点 P 是线段 AB 的黄金分割点,那么较短线段 BP= 10. 若两个相似三角形的周长比是 4:9,则对应中线的比 是 .
D O C

-

cm

11.如图, 在等边△ABC 中,AC ? 9 , O 在 AC 上, AO ? 3 , 点 且 点 P 是 AB 上一动点,联接 OP,以 O 为圆心,OP 长为半径画 弧交 BC 于点 D, 联接 PD,如果 PO ? PD ,那么 AP 的长 是 .
' ' '
'

A

P 第11题图

B

12. 如图,将 ?ABC 沿直线 BC 平移到 ?A B C ,使点 B 和
' C 重 合 , 连 结 AC ' 交 AC 于 点 D , 若 ?ABC 的 面 积 是 36 , 则 ?C ' D C 的 面 积



.

13.如图,在 △ ABC 中, P 是 AC 上一点,联结 BP ,要使 △ ABP ∽△ ACB ,还需要 补充一个条件.这个条件可以是 .. .

A D B C(B' )

A'

A P

C'
13


第 13 题图



第 12 题图

14. 在平面直角坐标系内,将 △ AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 ,得到 △ A?OB? .若点 A 的
?

坐标为(2,1)点 B 的坐标为(2,0) ,则点 A? 的坐标为



15.如果两个相似三角形的对应角平分线的比是 2︰3,其中较大的一个三角形的面积是 36cm ,那么另一个三角形的面积是_____________cm
2 2

16. 如图,点 D 是 Rt ?ABC 的斜边 AB 上的点, DE ? BC , 垂足为点 E, DF ? AC , 垂足为点 F,若 AF=15,BE=10, 则四边形 DECF 的面积是 . 17.在△ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 上,AD=3,BD=2 , AC=10,EC=4,则 S ?ADE : S ?ABC ? . A F

C E B D
第 16 题图

18. 如图, 梯形 ABCD 中,AB ∥ CD ,?B ? ?C ? 90? , 点 F 在 BC 边上, AB ? 8, CD ? 2, BC ? 10 ,若△ABF 与



D △FCD 相似,则 CF 的长为 三、简答题 19. 如图,在 △ ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是线 段 BC 延长线上一点,过点 A 作 AF ∥ BC 交 ED 的延长线于点 F ,联结 AE,CF . 求证: (1)四边形 AFCE 是平行四边形; (2) FG ? BE ? CE ? AE .
[来源:学科网 ZXXK]

. B F
第 18 题图

C

F G D

A

B

C

E

20.如图,已知在 ?ABC 中,点 D 、E 分别在 AB 、 AC 上,且 AD ? AB ? AE ? AC ,

CD 与 BE 相交于点 O .
14

A D O E

(1)求证: ?AEB ∽ ?ADC ; (2)求证:

BO DO ? . CO EO

21.如图,已知点 E 是矩形 ABCD 的边 CB 延长线上一点,且 CE ? CA ,联结 AE , 过点 C 作 CF ? AE ,垂足为点 F ,连结 BF 、 FD . (1)求证: ?FBC ≌ ?FAD ; (2)连结 BD ,若 cos ?FBD ?

3 ,且 BD ? 10 ,求 FC 的值. 5

A

D

F

E

B

C

22.已知:如图, AM 是△ ABC 的中线,∠ DAM =∠ BAM , CD ∥ AB . 求证: AB = AD + CD . A

B 四、解答题(本大题共 3 题,23-24 每题 12 分,25 题 14 分,满分 38 分)

M D

C

? 23. 如图,在 Rt ?ABC 中, ?ACB ? 90 , CD ? AB ,垂足为点 D , E 、 F 分别

是 AC 、 BC 边上的点,且 CE ? (1)求证:

1 1 AC , BF ? BC . 3 3

AC CD ? ; (2)求 ? EDF 的度数. BC BD
15

C E F

A
D

B

24.如图,直线 y ? ?2 x ? n ( n > 0 )与 x轴、y轴 分别交于点 A、B , S ?OAB ? 16 , 抛物线 y ? ax2 ? bx(a ? 0) 经过点 A ,顶点 M 在直线 y ? ?2 x ? n 上. (1)求 n 的值; (2)求抛物线的解析式; (3)如果抛物线的对称轴与 x 轴交于点 N ,那么在对称轴上找一 点 P ,使得

?OPN 和 ?AMN 相似,求点 P 的坐标.

y
B

四、解直角三角形知识点及训练 (一)知识点梳理

O

A

考点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下:∠C=90° ? ∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下: ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
16

x

?BC= AB

1 2

∠ACB=90° 可表示如下: D 为 AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边 c 的平方,即 a ? b ? c
2 2 2

? CD= AB=BD=AD

1 2

5、射影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它 们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90°
CD 2 ? AD ? BD
AC2 ? AD ? AB

?
CD⊥AB

BC2 ? BD ? AB

6、常用关系式 由三角形面积公式可得: AB ? CD=AC ? BC

考点二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a,b,c 有关系 a ? b ? c ,
2 2 2

那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念
1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为 sinA,即 sin A ?

?A的对边 a ? 斜边 c ?A的邻边 b ? 斜边 c ?A的对边 a ? ?A的邻边 b

②锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为 cosA,即 cos A ? ③锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为 tanA,即 tan A ?
17

④锐角 A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为 cotA,即 cotA ? 2、锐角三角函数的概念 锐角 A 的正弦、余弦、正切、都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值
三角函数 sinα 30° 45° 60°

?A的邻边 b ? ?A的对边 a

1 2

2 2 2 2
1

3 2
1 2

cosα

3 2 3 3

tanα

3

4、各锐角三角函数之间的关系 (1)互余关系 sinA=cos(90° —A),cosA=sin(90° —A) (2)平方关系 (3)倒数关系 (4)弦切关系 tanA=cot(90° —A),cotA=tan(90° —A)

sin 2 A ? cos2 A ? 1
tanA ? tan(90° —A)=1 tanA=

sin A cos A

5、锐角三角函数的增减性 当角度在 0° ~90° 之间变化时, (1)正(切)弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余(切)弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

考点四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除 直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c (1)三边之间的关系: a ? b ? c (勾股定理)
2 2 2

18

(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系:

a b a b b a b a , cos A ? , tan A ? , cot A ? ; sin B ? , cos B ? , tan B ? , cot B ? c c b a c c a b (二)训练 sin A ?
一、填空题(10*4=40) 1、如下图,表示甲、乙两山坡的情况, _____坡更陡。(填“甲” “乙”)
1 3 ? ? 1 2 4

3 ??





2 、 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C = 90 ° , 若 AC = 3 , AB = 5 , 则 cosB=_________ , sinB=_____ ,tanB=_________ 。 3、在 Rt△ABC 中,∠C=90°.若 sinA=

1 ,则 sinB=______ ,tanB=_________ 。 2

4、在△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,则 tanB=_____。 5、一个斜坡的坡度 i=1: 3 ,则坡角α 的正切值为_________;若某人沿斜坡直线行进 100 米,则垂直高度上升了________米。 6、△ABC 中,∠C=90°,斜边上的中线 CD=6,sinA= 二、选择题(8*5=40) 1、在 ?ABC 中, ?C ? 90? ,AB=15,sinA= A、45 B、5

1 ,则 S△ABC=______。 3

1 ,则 BC 等于( ). 3 1 1 C、 D、 5 45
) .

2、如果 ? 是锐角,且 cos ? ?
(A)

9 25

(B)

4 5

4 ,那么 sin ? 的值是( 5 3 16 (C) (D) 5 25

3、等腰三角形底边长为 10 ㎝,周长为 36cm,那么底角的余弦等于(
(A)

) .

5 13

(B)

12 13

(C)

10 13

(D)

5 12


4、在 Rt△ABC 中,已知 a 边及∠A,则斜边应为 ( A、 B、 C、
19

D、

5、在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,下列式子中正确的是( ) . sin A ? sin B (B) sin A ? cos B (C) tan A ? tan B (D) cos A ? cos B (A) 6、李红同学遇到了这样一道题: 3 tan(α +20°)=1,你猜想锐角α 的度数应是( A.40° B.30° C.20° D.10° ) )

7、在△ABC 中,若 tanA=1,sinB= A.△ABC 是等腰三角形 C.△ABC 是直角三角形

2 ,你认为最确切的判断是( 2
B.△ABC 是等腰直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形

8、在 Rt ?ABC 中, ?B ? 30? , ?C ? 90? , AD 平分 ? A 交 BC 于 D,则 DB : CB = ( A. 1:2 B. 1: 3 C. 2:3 D.



3: 2

三、计算题(4*10=40)

1、 3 cos30°+ 2 sin45°+sin60°? tan 30°

2、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,a=4,c=8.解这个直角三角形。

3、如图,△ABC 中,∠B=45°,∠C=60°,AB= 3 2 ,AD⊥BC 于 D,求 CD 的长。
A

B

D

C

4、如图,河对岸有铁塔 AB.在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30°,向塔前进 14 米到达 D, 在 D 处测得 A 的仰角为 45°,求铁塔 AB 的高(保留准确值) 。

20

数学专题复习三

代数式

一、教材分布七上第 5、6 章 七下第 14 章 八上第 2、3 章 八下第 7 章 二、知识点及练习

1、代数式的初步知识
(一)【知识梳理】 :
1. 代数式的分类: 有理式 代数式 无理式 2. 代数式的有关概念 (1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母 连结而成的式子叫代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式. (2)有理式: 和 统称有理式。 (3)无理式: 3.代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。 求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简,要先化简再求 值。

(二)【练习】 :
1. a,b 两数的平方和用代数式表示为( A. a ? b
2 2


2

B. (a ? b)2
2

C. a ? b

D. a ? b
2

2. 当 x=-2 时,代数式- x +2x-1 的值等于(



A.9 B.6 C.1 D.-1 3. 当代数式 a+b 的值为 3 时,代数式 2a+2b+1 的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4. 一种商品进价为每件 a 元,按进价增加 25%出售, 后因库存积压降价,按售价 的九折出售,每件还盈利( ) A.0.125a 元 B.0.15a 元 C.0.25a 元 D.1.25a 元 5.如图所示,四个图形中,图①是长方形,图②、③、 ④是正方形,把图①、②、 ③三个图形拼在一起(不重合) ,其面积为 S,则 S=______________;图④的面积 P 为_____________,则 P_____s。

a+b 2a ① b b ② b a 21 ③ a



a+b

(三)【经典考题剖析】 :
1. 判别下列各式哪些是代数式,哪些不是代数式。 (1)a -ab+b ; (2)S=
2 2

1 (a+b)h; (3)2a+3b≥0; (4)y; (5)0; (6)c=2 ? R。 2

2. 抗“非典”期间,个别商贩将原来每桶价格 a 元的过氧乙酸消毒液提价 20%后出售, 市政府及时采取措施,使每桶的价格在涨价一下降 15%,那么现在每桶的价格是 _____________元。 3.一根绳子弯曲成如图⑴所示的形状,当用剪刀像图⑵那样沿虚线把绳子剪断时,绳子 被剪成 5 段;当用剪刀像图⑶那样沿虚线 b(b∥a)把绳子再剪一次时,绳子就被剪 成 9 段,若用剪刀在虚线 ab 之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与 a 平行)这样一共 剪 n 次时绳子的段数是( ) a b a

⑶ ⑵ ⑴ A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 D.4n+5 2 3 3 3 2 4. 有这样一道题, “当 a= 0.35,b=-0.28 时,求代数式 7a -6a b+3a +6a b-3a b- 3 2 10a +3 a b-2 的值” .小明同学说题目中给出的条件 a=0.35,b=-0.28 是多余的,你 觉得他的说法对吗?试说明理由.

5. 按下列程序计算,把答案填在表格内,然后看看有什么规律,想想为什么会有这个 规律?

x ? 平方 ? ? x ? ? x ? ? x ? 答案
输入 x 输出答案 3 1 2 1 -2

(1)填写表内空格:

1 3

... ...

(2)发现的规律是:____________________。 (3)用简要的过程证明你发现的规律。

(四)【训练】 :
1. 下列各式不是代数式的是( ) A.0
B.4x2-3x+1 C.a+b= b+a D、

2 y

2. 两个数的和是 25,其中一个数用字母 x 表示,那么 x 与另一个数之积用代数式表示 为( )A.x(x+25)B.x(x—25)C.25x D.x(25-x) x y 2 3. 若 ab 与 a b 是同类项,下列结论正确的是( )
22 第1步 第2步 第3步

A.X=2,y=1;B.X=0,y=0;C.X=2,y=0;D.X=1,y=1 4. 小卫搭积木块,开始时用 2 块积木搭拼(第 1 步) , 然后用更多的积木块完全包围原来的积木块(第 2 步) ,如图反映的是前 3 步的图案,当第10 步结 束后,组成图案的积木块数为 ( ) A.306 B.361 C.380 D.420 5. 科学发现:植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征,都非常吻合于一 个奇特的数列——著名的裴波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,?? 仔细观察以上数列,则它的第 11 个数应该是 .
2 2 6. 若x=-2,则3x -x+2x +3x=



7. 一串有黑有白,其排列有一定规律的珠子,被盒子遮住一 部分如图所示,则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗.

8. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:

⑴ 第 4 个图案中有白色地面砖 ⑵ 第 n 个图案中有白色地面砖 9. 下面是一个有规律排列的数表:

块; 块.

上面数表中第 9 行,第 7 列的数是_________. 10. 观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律: ⑴在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式;

??
①1=12; ②1+3=22; ③1+2+5=32;

④ 23







??

⑵通过猜想写出与第 n 个点阵相对应的等式.

2、整式
(一)【知识梳理】 :
1.整式有关概念 (1) 单项式: 只含有 的积的代数式叫做单项式。 单项式中____________ 叫做这个单项式的系数;单项式中____________叫做这个单项式的次数; (2)多项式:几个 的和,叫做多项式。____________ 叫做常数项。 多项式中____________的次数, 就是这个多项式的次数。 多项式中____________ 的个数,就是这个多项式的项数。 2.同类项、合并同类项 (1) 同类项: ________________________________ 叫做同类项; (2) 合并同类项: ________________________________ 叫做合并同类项; (3)合并同类项法则: 。 (4)去括号法则:括号前是“+”号,________________________________ 括号前是“-”号,________________________________ (5)添括号法则:添括号后,括号前是“+”号,插到括号里的各项的符号都 ; 括号前是“-”号,括到括号里的各项的符号都 。 3.整式的运算 (1)整式的加减法:运算实质上就是合并同类项,遇到括号要先去括号。 (2)整式的乘除法: ①幂的运算:

a m ? a n ? a m? n ; a m ? a n ? a m?n ;(a m ) n ? a mn ;(ab) n ? a nb n 1 a 0 ? 1, a ? p ? p (a ? 0, p为整数) a
②整式的乘法法则:单项式乘以单项式: 。 单项式乘以多项式: m(a ? b) ? 单项式乘以多项式: (m ? n)(a ? b) ? ③乘法公式: 平方差: 完全平方公式: 。 。

。 。

a、b型公式: ? a)( x ? b) ? x2 ? (a ? b) x ? ab (x
24

④整式的除法:单项式相除:把它们的系数、相同字母分别相除,作为商的因 式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式,相 同字母相除要用到同底数幂的运算性质。 多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的 商相加.

(二)【练习】 :
1 1. 代数式- 4x 2 y2 + xy3 -1有___项, 每项系数分别是 __________. 2 a b+2 5 2-b 2. 若代数式-2x y 与 3x y 是同类项,则代数式 3a-b=_______

3. 合并同类项: ⑴-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4bc;(2)-7x 2 y ? 5xy 2 ? 4 x2 ? 3xy 2 4. 下列计算中,正确的是( ) 3 3 6 2 3 2 2 2 A.2a+3b=5ab;B.a?a =a ;C.a ÷a =a ;D. (-ab) =a b 5. 下列两个多项式相乘,可用平方差公式( ) . ①(2a-3b) (3b-2a) ;②(-2a +3b) (2a+3b) ③(-2a +3b) (-2a -3b) ;④(2a+3b) (-2a-3b) . A.①②;B.②③ ;C.③④ ;D.①④

(三)【经典考题剖析】 :
1.计算:-7a b+3ab -{[4a b-(2ab -3ab)]-4ab-(11ab b-31ab-6ab }
2 2 2 2 2 2

2. 若 x3m =4,y3n =5, 求(x2m)3+(yn)3-x2m?yn 的值.
3. 已知:A=2x +3ax-2x-1, B=-x +ax-1,且 3A+6B 的值与 x 无关,求 a 的值.
2 2

(四)【训练】 :
1. 下列计算错误的个数是( )
⑴x3 +x3 =x 3+3; m6 ? m6 =2m6; a ? a 3 ? a 5 =a 0?3?5 =a 8 ; ⑷(-1) 2 (-1) 4 (-1)3 =(-1) 2? 4?3 =(-1)9 ⑵ ⑶
A.l 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2. 计算: (3a 2 -2a+1)-(2a 2 +3a-5) 的结果是( ) A.a -5a+6; B.a -5a-4;
2 2

C.a +a-4;

2

D. a +a+6

2

3 3. 若 x 2 +ax=(x+ )2 +b ,则 a、b 的值是( ) 2
25

9 9 9 3 A. a=3,b= ; B.a=3,b=- ; C.a=0, b=- ; D.a=3, b=4 4 4 2

4. 下列各题计算正确的是( ) 8 4 3 8 -8 100 99 10 5 -2 4 A、x ÷x ÷x =1 B、a ÷a =1 C. 3 ÷3 =3 D.5 ÷5 ÷5 =5 5. 若 3a 3 b n -5a m b 4 所得的差是 单项式. m=___. 则 n=_____, 这个单项式是____________. 6. -

? ab2 c3
2

的系数是______,次数是______.

7. 求值: (1-

1 1 1 1 1 ) (1- 2 ) (1- 2 )?(1- 2 ) (1- 2 ) 2 3 9 2 4 10
2

8. 化学课上老师用硫酸溶液做试验,第一次实验用去了 a 毫升硫酸,第二次实验用去 2 了 b 毫升硫酸,第三次用去了 2ab 毫升硫酸,若 a=3.6,b=l.4.则化学老师做 三次实验共用去了多少毫升硫酸? 9. ⑴观察下列各式:

⑵由此可以猜想:( ⑶证明你的结论:

b n ) =____(n 为正整数,且 a≠0) a

10. 阅读材料,大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题:1+2+3+4+5+?
1 +100=?经过研究,这个问题的一般性结论是 1+2+3+4+5+?+n= n(n+1),其中 n 是 2 正整数.现在我们来研究一个类似的问题: 观察下面三个特殊的等式: 1?2+2?3+3?4+?+n(n+1)=?

1?2= 2?3= 3?4=

1 (1?2?3-0?1?2) 3 1 (2?3?4-1?2?3) 3 1 (3?4?5-2?3?4) 3

26

1 将这三个等式的两边分别相加,可以得到 1?+2?3 3?4= ?3?4?5=20 3

读完这段材料,请你思考后回答: ⑴1?2+2?3+3?4+?+100?101=_________. ⑵1?2+2?3+3?4+?+n(n+1)=___________. ⑶1?2?3+2?3?4+??+n(n+1)(n+2)=______-. (只需写出结果,不必写中间的过程)

3、因式分解
(一)【知识梳理】 :
1.分解因式:把一个多项式化成 的形式,这种变形叫做把这个多项式分解 因式. 2.分解困式的方法: ⑴提公团式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提 出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公 因式法. ⑵运用公式法:平方差公式: ; 完全平方公式: ; (3)十字相乘法 (4)分组分解法 3.分解因式的步骤: (1)分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公团式,然 后再考虑是否能用公式法分解. (2)在用公式时,若是两项,可考虑用平方差公式;若是三项,可考虑用完全平方 公式;若是三项以上,可先进行适当的分组,然后分解因式。 4.分解因式时常见的思维误区: 提公因式时,其公因式应找字母指数最低的,而不是以首项为准.若有一项 被全部提出,括号内的项“ 1”易漏掉.分解不彻底,如保留中括号形式,还能 继续分解等

(二)【练习】 :
1.下列各组多项式中没有公因式的是( ) 2 2 3 A.3x-2 与 6x -4x B.3(a-b) 与 11(b-a) C.mx—my 与 ny—nx D.ab—ac 与 ab—bc 2. 下列各题中,分解因式错误的是( )
A.x 2 ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1) ;B.1 ? 4 y 2 ? (1 ? 2 y)(1 ? 2 y) C.81x 2 ? 64 y 2 ? (9 x ? 8 y)(9 x ? 8 y); D.(?2 y) 2 ? x 2 ? (?2 y ? x)(2 y ? x)

3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是()

27

A.9 x 2 ? 49 y 2 C.9 x ? 49 y
2 2

B. ? 9 x 2 ? 49 y 2 D. ? (9 x 2 ? 49 y 2 )
2 2

4. 分解因式:x +2xy+y -4 =_____ 5. 分解因式: (1) 9n 2 ? ? (2) x2 ? y 2 ?

?2 ; 2a 2 ? ?

?2
; 公式

; (3) 25x2 ? 9 y 2 ?

(4) (a ? b)2 ? 4(a ? b)2 ; (5)以上三题用了

(三)【经典考题剖析】 :
1. 分解因式:
3 2 (1) 3 y ? xy 3 ; 2) x ? 18x ? 27 x ; 3) x ? 1? ? x ? 1 ; 4) ? x ? y ? ? 2 ? y ? x ? ( 3 ( ? ( 4 x
2 2 3

2. 分解因式: (1) x2 ? 3xy ?10 y 2 ; (2) 2 x3 y ? 2 x2 y 2 ?12 xy3 ; (3) x ? 4
2

?

?

2

? 16 x 2

3. 计算: (1) ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ? 1 ?? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ? 2 ?? 2 ?? 3 ? ? 9 ?? 10 ?
2 2 2 2 2 2 2

(2) 2002 ? 2001 ? 2000 ? 1999 ? 1998 ? ? ? ? ? 2 ? 1 分析: (1)此题先分解因式后约分,则余下首尾两数。 (2)分解后,便有规可循,再求 1 到 2002 的和。

2 2 2 4. 分解因式: (1) 4 x ? 4 xy ? y ? z ; (2) a ? a ? 2b ? 2a b
3 2

5. (1)在实数范围内分解因式: x ? 4 ;
4

(2)已知 a 、 b 、 c 是△ABC 的三边,且满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ,
2 2 2

求证:△ABC 为等边三角形。
28

(四)【训练】 :
1. 若 9 x2 ? mxy ? 16 y 2 是一个完全平方式,那么 m 的值是( A.24 B.12 C.±12 2. 把多项式 ab ? 1 ? a ? b 因式分解的结果是( ) A. ? a ?1??b ?1?
2

) D.±24 D. ? a ?1??b ?1? )

B. ? a ?1??b ?1?

C. ? a ?1??b ?1?

3. 如果二次三项式 x ? ax ? 1 可分解为 ? x ? 2?? x ? b ? ,则 a ? b 的值为( A.-1
48

B.1

C.-2

D.2 )

4. 已知 2 ? 1 可以被在 60~70 之间的两个整数整除,则这两个数是( A.61、63 5. 计算:1998?2002= 6. 若 a ? a ? 1 ? 0 ,那么 a
2 2001

B.61、65
2

C.61、67 , 27 ? 46 ? 27 ? 23 =
2

D.63、65 。

? a 2000 ? a1999 =



2 2 n 7. m 、 满足 m ? 2 ? n ? 4 ? 0 , 分解因式 x ? y ? ? mxy ? n ? =

?

?



8. 因式分解: (1) x ? 3x
2

?

?

2

2 2 ? 2 ? x 2 ? 3x ? ? 8 ; (2) a ? b ? 2ab ? 2b ? 2a ? 1

2 (3) ? x ? 1?? x ? 2?? x ? 3?? x ? 4? ? 1; (4) 1 ? a

?

??1 ? b ? ? 4ab
2

9. 观察下列等式:

13 ? 12

13 ? 2 3 ? 32 13 ? 23 ? 33 ? 6 2 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 ??
想一想,等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系?猜一猜可引出什么规 律?用等式将其规律表示出来: 。 10. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边,且满足 a ? b c ? b ? a c ,试判断△ABC 的形
4 2 2 4 2 2

状。阅读下面解题过程:
29

解:由 a ? b c ? b ? a c 得:
4 2 2 4 2 2

a 4 ? b4 ? a 2 c 2 ? b2 c 2

① ② ③ ④ ;若不正确,请指出错在哪一步? ;本题

?a

2

? b 2 ?? a 2 ? b 2 ? ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
2 2 2

即a ?b ? c

∴△ABC 为 Rt△。 试问:以上解题过程是否正确: (填代号) ;错误原因是 的结论应为 。

4、分式
(一)【知识梳理】 :
1.分式有关概念 (1)分式:分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说: ①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有 在同时满足____________,且____________这两个条件时,分式的值才是零。 (2)最简分式:一个分式的分子与分母______________时,叫做最简分式。 (3)约分:把一个分式的分子与分母的_____________约去,叫做分式的约分。将 一个分式约分的主要步骤是:把分式的分子与分母________,然后约去分子与 分母的_________。 (4)通分:把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分 式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。 (5)最简公分母:通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母 叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时,注意以下几点:①当分母是多项 式时,一般应先 ;②如果各分母的系数都是整数时,通常取它们的 系数的 作为最简公分母的系数;③最简公分母能分别被原来各分 式的分母整除;④若分母的系数是负数,一般先把“-”号提到分式本身的前边。 2.分式性质: (1)基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个 ,分式 的值 .即:

A A? M A ? M ? ? (其中M ? 0) B B?M B ? M

(2)符号法则:____ 、____ 与__________的符号, 改变其中任何两个,分式的 值不变。即: 3.分式的运算:

?a a a ?a ? ?? ?? b ?b b ?b
注意:为运算简便,运用分式 的基本性质及分式的符号法
30

? a b a?b ? ? ? 则: ? ?同分母 ? c c c ?加减 ? ①若分式的分子与分母的各项 a c ad ? bc ? ?异分母 ? ? 系数是分数或小数时,一般要 ? ? b d bd ? ? 化为整数。 a c ac ? ? 乘 ? ? ②若分式的分子与分母的最高 ? ? ? b d bd 分式运算 ?乘除 ? 次项系数是负数时,一般要化 a c a d ad ? ?除 ? ? ? ? 为正数。 ? ? b d b c bc ? ? n ?乘方 ( a )n ? a (n为整数) ? b bn ? (1)分式的加减法法则: (1)同分母的分式相加减, ,把分子相加减; (2) ? ? 异分母的分式相加减,先 ,化为 的分式,然后再按 进 行计算 (2)分式的乘除法法则:分式乘以分式,用_________做积的分子,___________ 做积的分母,公式:_________________________;分式除以分式,把除式的分 子、分母__________后,与被除式相乘,公式: ; (3)分式乘方是____________________,公式_________________。 4.分式的混合运算顺序,先 ,再算 ,最后算 ,有括号先算括号内。 5.对于化简求值的题型要注意解题格式,要先化简,再代人字母的值求值.

(二)【练习】 :
1. 判断对错: ①如果一个分式的值为 0,则该分式没有意义( ②只要分子的值是 0,分式的值就是 0( ) ③当 a≠0 时, 分式 2. 在 3x, 0, )

1 =0 有意义 ( a

) ④当 a=0 时, ; 分式

1 =0 无意义 ( a




x? y 1 2 x2 1 2 x2 , x ? 13, , , , 中,整式和分式的个数分别为( 3 2 3 x x? y ?

A.5,3 3. 若将分式

B.7,1

C.6,2

D.5,2

a?b (a、b 均为正数)中的字母 a、b 的值分别扩大为原来的 2 倍,则 ab 1 1 ;C.不变;D.缩小为原来的 2 4


分式的值为( ) A.扩大为原来的 2 倍 ;B.缩小为原来的

4.分式

9 ? x2 约分的结果是 x2 ? 6 x ? 9

5. 分式

x y , ,7( y ? 2) 的最简公分母是 4( x ? y)( y ? 2) 6( y ? x)(2 ? y)



(三)【经典考题剖析】 :
31

1. 已知分式 2. 若分式

x ?5 x ? 4x ? 5
2

分式有意 义; x=______时, 当 分式的值为 0. , 当 x≠______时, )

x2 ? x ? 2 的值为 0,则 x 的值为( x ?1

A.x=-1 或 x=2 B、x=0 C.x=2 3.(1) 先化简,再求值: (

D.x=-1

3x x x2 ?1 ? )? ,其中 x ? 2 ? 2 . x ?1 x ? 1 x

x2 ? 2 x 1 ? (1 ? ) 化简,然后请你自选一个合理的 x 值,求原式的值。 (2)先将 x ?1 x
(3)已知

x y z x? y?z ? ? ? 0 ,求 的值 3 4 6 x? y?z

4.计算

a2 ? 4 1 x2 ? 2 x ?1 ? x ? 4 ? ? a ? 2? ? ? x ? 2; (1) ; (2) (3) ?1 ? ? ?? 2 a?2 a?2 x?2 ? x x ? 2 ? x ? 2x

(4) ?

?2 1 1 2 4 2 ?x? y ?? x ? y ? ? ? ; (5) ? ? x ? y ?? ? ? 2 1? x 1? x 1? x 1? x4 x ?? ? 3x x ? y ? 3x

5. 阅读下面题目的计算过程:

2 ? x ? 1? x ?3 2 x ?3 ? = ? 2 x ? 1 1 ? x ? x ? 1?? x ? 1? ? x ? 1?? x ? 1?
= ? x ? 3? ? 2 ? x ?1?





= x ? 3 ? 2x ? 2 ③ = ?x ?1 ④ (1)上面计算过程从哪一步开始出现错误,请写出该步的代号 (2)错误原因是
32

。 。

(3)本题的正确结论是



(四)【训练】 :
1. 当 x 取何值时,分式(1)

3 3x ? 2 2 ; (2) ; (3) 有意义。 2x ?1 2x ?1 x ?4

2. 当 x 取何时,分式(1)

x ?3 2x ? 3 ; (2) 的值为零。 3x ? 5 x?3

3. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。 (1)

2n ( ) ab ? b2 a ?b ; (2) 2 ? ? 2 m ? 2 3(m ? 2) ab ? b ( )

4. 若 a ? b ? 7; ab ? 12 ,则

a 2 ? b2 = ab



5. 已知

1 1 2 x ? 3 xy ? 2 y 的值为 ? ? 3 。则分式 x y x ? 2 xy ? y



6. 先化简代数式 (

a 2 ? b2 a ? b 2ab ? )? 然后请你自取一组 a、b 的值代入求值. a 2 ? b 2 a ? b (a ? b)(a ? b) 2

7. 已知△ABC 的三边为 a,b,c, a 2 ? b 2 ? c 2 = ab ? bc ? ac ,试判定三角形的形状.

8. 计算:
(1) 1 ? (a ?

3? x ? 5 ? 1 2 a2 ? a ? 1 ; (2) ??x ? 2? ) ? 2 ? 1? a a ? 2a ? 1 x?2 ? x ?2?

(3)

? 1 x 1 m?n m n? n2 ? m n ? 2 ? ; (4) ? 2 ? 2 ?? 2 x 2 ? 4x ? 4 x ? 4 2x ? 4 m ? n2 ? n ?1 ? m ? 2m n ? n

33

9. 先阅读下列一段文字,然后解答问题:
1 1 1 1 2 1 已知:方程 x ? ? 1 的解是x1 =2,x 2 ? ? ; 方程 x ? ? 2 的解是x1 =3,x 2 ? ? ; x 2 2 x 3 3 1 3 1 方程 x ? ? 3 的解是x1 =4,x 2 ? ? ; x 4 4 1 4 1 方程 x ? ? 4 的解是x1 =5,x 2 ? ? ; x 5 5

问题:观察上述方程及其解,再猜想出方程:x-10 =10 10. 阅读下面的解题过程,然后解题: 已知

10 的解,并写出检验. 11

x y z 求 (a、b、c互相不相等), x+y+z 的值 ? ? a ?b b ?c c ?a x y z =k, ? ? a ?b b ?c c ?a

解:设

则x ? k (a ? b); y ? k (b ? c), z ? k (c ? a); 于是x+y+z=k (a ? b ? b ? c ? c ? a) ? k ? 0 ? 0

仿照上述方法解答下列问题: 已知:

y?z z?x x? y x? y?z ? ? ( x ? y ? z ? 0), 求 的值。 x y z x? y?z

5、数的开方和二次根式
(一)【知识梳理】 :
1.平方根与立方根 2 (1)如果 x =a, 那么 x 叫做 a 的 。 一个正数有 零的平方根是 ; 没有平方根。 个平方根, 它们互为 ;

(2)如果 x =a,那么 x 叫做 a 的 。一个正数有一个 有一个 的立方根;零的立方根是 ; 2.二次根式 (1) (2)

3

的立方根;一个负数

34

(3) (4)二次根式的性质
2 ① 若a ? 0, 则( a) ?

;③ ab ?

(a ? 0, b ? 0)

② a2 ? a ? ?

?a ( ? ?a (

) )

;④

a a ? (a ? 0, b ? 0) b b
,在合并同类二次根式;

(5)二次根式的运算 ①加减法:先化为

②乘法:应用公式 a ? b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;

③除法:应用公式

a a ? (a ? 0, b ? 0) b b

④二次根式的运算仍满足运算律,也可以用多项式的乘法公式来简化运算。

(二)【练习】1.填空题 :

2. 判断题

35

3. 如果 (x-2) 2 =2-x 那么 x 取值范围是() A、x ≤2 B. x <2 C. x ≥2 D. x>2 4. 下列各式属于最简二次根式的是( ) A. x 2 +1 B. x 2 y5 C. 12
D. 0.5
2 ;④ 27和 3 是同类二次根式的是( 3

5. 在二次根式:① 12, ② 23 ③



A.①和③ B.②和③ C.①和④ D.③和④

(三)【经典考题剖析】 :
1. 已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c, 且 a、b、c 满足 a -6a+9+ b ? 4 ? | c ? 5 |? 0 , 试判断△ABC 的形状.
2

2. x 为何值时,下列各式在实数范围内有意义 (1) ?2 x ? 3 ; (2)

1? x ; x2 ? 1

(3)

1 x?4

3.找出下列二次根式中的最简二次根式:

27 x , x 2 ? y 2 , 2ab2 , 0.1x ,

a 1 1 x2 ? y , ? 21, ? x , ? , 2 a b 2

4.判别下列二次根式中,哪些是同类二次根式:

3, 75, 18,

1 1 1 2 a , 2, , , 8ab3 (b ? 0), ?3b 27 25 50 3 2b

5. 化简与计算 ① 675 ;② 4 ? 4 x ? x 2 ( x ? 2) ;③
36

1 1 m2 ? 4m ? 4 7 ;④ ? (m ? ? ) 2 16 25 m ? 6m ? 9 2

(四)【训练】 :
1. 当 x≤2 时,下列等式一定成立的是( ) A、 C、

? x ? 2?

2

? x?2
2? x ? 3? x

B、

? x ? 3?

2

? x ?3

? x ? 2 ?? x ? 3? ?

D、 3 ? x ? 3 ? x 2? x 2? x

2. 如果 (x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是() A、x ≤2 B. x <2 C. x ≥2 D. x>2 )

3. 当 a 为实数时, a 2 =-a 则实数 a 在数轴上的对应点在(

A.原点的右侧 B.原点的左侧 C.原点或原点的右侧 D.原点或原点的左侧 4. 有下列说法:①有理数和数轴上的点—一对应;②不带根号的数一定是有理数;③ 负数没有立方根;④- 17 是 17 的平方根,其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

5. 计算 a 3 +a 2

1 所得结果是______. a

6. 当 a≥0 时,化简 3a2 = 7.计算 (1) 、

2 2 x9 5 ? 5

x 2? 9

、 x ; (2)

?

5? 2

30 02

? ?5 2 ? ?
40 02

(3) 2 3 3 2 、 ?

?

?;
2

7 (4) 5 4 6 ? 、 8 2

1 ? 2 3

2 2 8. 已知: x、y为实数,y= x -4+ 4-x +1 ,求 3x+4y 的值。

x-2

37

9. 实数 P 在数轴上的位置如图所示:化简 ( p ?1)2 ? (P ? 2)2

10. 阅读下面的文字后,回答问题:小明和小芳解答题目: “先化简下式,再求值: a+ 1-2a+a 2 其中 a=9 时” ,得出了不同的答案,小明的解答: 原式= a+ 1-2a+a 2 = a+(1-a)=1,小芳的解答:原式= a+(a-1)=2a-1=2?9-1=17 ⑴___________是错误的; ⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质:________

数学专题复习四

不等式

一、教材分布 八上第 6 章 二、知识点、 (一)不等式的概念
1、不等式 :用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等 式的解。 对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个 不等式的解集。 求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 3、用数轴表示不等式的方法

(二)、不等式基本性质
1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

(三)、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念 一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且不等式的两边都是整式,这 样的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤: (1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将 x 项的系数化为 1

(四)、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念
38

几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。 当任何数 x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。

三、测试题
(一) 、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.已知“①x+y=1;②x>y;③x+2y;④x —y≥1;⑤x<0”属于不等式的有( A.2 个 B. 3 个 C.4 个 ) D. 5 个 2.不等式 2 x ? 6 ? 0 的解集在数轴上表示正确的是(
2

).

3 0 ?3 3 0 A B 3. 如果 a>b,那么下列不等式中不成立的是(
A. a―3>b―3 B.

?3

?3
)

0
C

3

?3

0
D

3

a b > 3 3

C.―3a>―3b

D.―a<―b

4. 如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为 ( ) A.x<4 B.x<2 C. 2<x<4 D.x>2 5.不等式组 ?

?? x ≤ 2 的整数解共有( ?x ? 2 ? 1



-2

0 2 ( 第 4 题)

4

A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 6.某种肥皂原零售价每块 2 元,凡购买 2 块以上(包括 2 块),商场推出两种优惠销售办 法.第一种:一块肥皂按原价,其余按原价的七折销售;第二种:全部按原价的八折销 售.你在购买相同数量肥皂的情况下,要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多,最 少需要买( )块肥皂.A.5 B.4 C.3 D.2 (二) 、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 7. x 与 3 的和不小于 6,用不等式表示为 8. 当 x 时,代数式 x ? 3 的值是正数。 9. 解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是 。 .

?3

0

2


10、 A 点 (-5, y1 ) B 、 (-2, y 2 ) 都在直线 y ? ?2 x 上, y1 与 y 2 的关系是 则 11.不等式组 1 ? 2 x ? 1 ? 3 的解集是 12.将 43 本书分给各小组.每组 8 本还有剩余;每组 9 本,却又不够.这个班共 小组. 三.解答题(共 52 分)
39



13、解下列不等式(组) ,并把它们的解集表示在数轴上(18 分)

(1) 10 ? 4( x ? 3) ? 2( x ? 1)

?3( x ? 2) ? x ? 4 ? (2) ? x x ? 1 ?3 ? 4 ?1 ?

14.(本题 10 分)某次知识竞赛共有 20 道题, 每题答对得 10 分, 答错或不答都扣 5 分, 小明得分要超过 90 分,他至少要对多少道题? .. 15. (本题 10 分)某校长暑假将带领该校 “三好学生”去北京旅游,甲旅行社说: “如 果校长买全票一张,则其余的学生可享受半价优惠.”乙旅行社说: “包括校长在内全部按 票价的六折优惠.”若全票价为 2400 元,两家旅行社的服务质量相同,根据“三好学生” ...... 的人数你认为选择哪一家旅行社才比较合算? ... 16. (本题 14 分)好日子商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示: 类别 进价(元/台) 售价(元/台) 冰箱 2 320 2 420 彩电 1 900 1 980

(1) 按 国家政策,农民购买“家电下 乡” 产品可享受售价 13%的政府 补贴. 农民田大伯到该商场购买了冰箱、 彩电各一台, 可以享受多少元的政府补贴? (2)为满足农民需求,商场决定用不超过 85 000 元采购冰箱、彩电共 40 台, 且冰箱的 5 数量不少于彩电数量的 . 6 ①请你帮助该商场设计相应的进货方案; ②哪种进货方案商场获得利润最大(利润=售价 ? 进价) ,最大利润是多少?

专题复习五 一、 教材分布 二、 知识点梳理 七上第 1 章

几何初步知识 七下 9、10、15 章 八下 11 章

1.在八面体顶点数 V、面数 F、棱数 E 中,V+F-E=( ) A.16 B.6 C.4 D.2 2.如图,直线 AB、CD 相交于点 O,在这两条直线上,与点 O 的距离为 3cm 的 点有( )
A. 2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
40

A

D

C

B

A

B

C

D E

3.如图所示,图中共有几条线段( ) A. 4 B. 5 C . 10 D.15 4.已知 AB=21cm, BC=9cm, B、 三点在同一条直线上, A、 C 那么 AC 等于 ( ) A.30cm B . 15cm C. 30cm 或 15cm D. 30cm 或 12cm D C 5.如图,在正方形 ABCD 中,点 P 在对角线 BD 上运动,当点 P 运动到何处时, PA+PC 最小,在图中画出此时点 P 的位置。

A

B

6. 如图所示, 直线 MN 表示一条河流, 在河流两旁有两点 A、 表示两块稻田, B 要在河岸边某一位置开渠引水灌溉稻田,问在河岸哪个位置开渠使水到两块地 的距离之和最小? A

M

N

B 7、下列说法中,正确的是( ) A、相等的角为对顶角 B、对顶角不可能是直角 C、两直线相交,有三对对顶角相等。 D、对顶角相等。 8、以下两条直线互 相垂直的是( ) ①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角; ②两条直线相交所成的四个角相等; ③两条直线相交,有一组邻补角相等; ④两条直线相交,对顶角互补. A、 ①③ B、 ①②③ C、 ②③④ D、 ①②③④ 9、在时刻为 8:30 时,时钟上的时针和分针之间的夹角为( ) A.85? B.75? C.70? D.60? 10、两个角的大小之比为 7:3,它们的差是 72? ,则这两个角的关系是( ) A.相 等 B.互补 C.互余 D.无法确定 11、从钝角的顶点,在其内部引一条射线,那么图形中出现( ) A.2 个锐角 B.1 个锐角 C.至少 2 个锐角 D.至少 1 个锐角
[

41

12、下列语句:①由两条射线组成的图形叫做角;②角可以看成是一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形;③因为平角的两边成一条直线,所以一条直线可以 看作是平角;④一个角至少可以用两种 方法表示.其中不正确的个数是( ) A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个 13、在∠AOB 的内部任取一点 C,作射线 OC,则一定存在( ) A.∠AOB>∠AOC B.∠AOC>∠BOC C.∠BO C>∠AOC D.∠AOC = ∠BOC 14、已知∠1 与∠2 互补,∠3 与∠4 互补,且∠1 =∠3,那么( ) A.∠2>∠4 B.∠2<∠ 4 C.∠2 =∠4 D.∠2 与∠4 大小不定 15.若∠1 与∠2 互补,则∠1+∠2= ,若∠1 与∠2 互余,∠1+∠2= 。 16. 30°角的余角为 ,补角为 ,70°39′ 的余角为 ,补角为 . 17.如图 1:O 是直线 AB 上一点,OC 是∠AOB 的平 分线, ①∠AOD 的补角是________ ____ ②∠AOD 的余角是____________ ③∠DOB 的补角是____________ 18. 见图 2, 若∠1 与∠2 互补, ∠3 与∠2 互补, 则______=_______根据是: _________ 19.如图 3,O 是直线 AB 上的一点,OD 平分∠AOB ,∠COE=90°,则∠BOD=∠
[来

20、 如图 5 ,OC 是∠AOB 的角平分线,∠CAO=90° ,∠CBO=90° ,比较∠ACO 与∠BCO 的大小。

21、一个角的余角和它的补角之比是 3:7,求这个角的度数.

22、若时钟由 2 点 30 分走到 2 点 50 分,问时针、分针各转过多大的角度?

23.在同一平面内,两条直线可能的位置关系是 ( (A) 平行. (B) 相交. (C) 相交或平行. 24.判定两角相等,不正确的是 ( ) (A) 对顶角相等. (B) 两直线平行,同位角相等. (C) ∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学+科+网]

) (D) 垂直.

42

(D) 两条直线被第三条直线所截,内错角相等. 25.两个角的两边分别平行,其中一个角是 60°,则另一个角是 ( ) (A)60°. (B)120°. (C) 60°或 120°. (D) 无法确定. 26.下列语句中正确的是( ) (A)不相交的两条直线叫做平行线. (B)过一点有且只有一条直线与已知直线平行. (C)两直线平行,同旁内角相等. (D)两条直线被第三条直线所截,同位角相等. 27.下列说法正确的是( ) (A)垂直于同一直线的两条直线互相垂直. (B)平行于同一条直线的两条直线互相平行. (C)平面内两个角相等,则他们的两边分别平行. (D)两条直线被第三条直线所截,那么有两对同位角相等. 28.已知 AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC 平分∠BAD,那么图中与∠AGE 相等的 角有( (A)5 个. (B)4 个. (C)3 个. (D)2 个.

)

[来源:学科网 ZXXK]

(第 6 题图)
29. 如 果 a∥b, b∥c,则______∥______,因为________. 30.在同一平 面内,如果 a⊥b,b⊥ c,则 a c,因为 . 31.填注理由: 如图,已知:直线 AB,CD 被直线 EF,GH 所截,且∠1=∠2, 试说明:∠3+∠4=180°. A 解:∵∠1=∠2 ( ) 3 G 又∵∠2=∠5 ( ) ∴∠1=∠5 ( ) ∴AB∥CD ( ) ∴∠3+∠4=180° ( ) 32.如图,直线 a、b 被直线 c 所截,且 a∥b, 1
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C 4 H 2 5 D F

E

B

c
1 3

a

2

43

b

若∠1=118° ,则∠2=

度.

33.已知:如图,∠1=40°,∠2=65°,AB∥DC,求∠ADC 和∠A 的度数.

D 2

C

1 A B

34.已知:如图 AD∥BE,∠1=∠2,求证:∠ A=∠E.
D 1 E

3 2 A B C

35.如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行?并说明判定的依据. (1)∠1=∠C (2)∠2=∠4 (3)∠2+∠5=180° (4)∠3=∠B (5)∠6=∠2
B
l4 1

A

F 4 2 D 5 E 6 1 3 C

36.已知:如图,∠1=∠4,∠2=∠3,求证: l1 // l 2 .
5 2 3 4 l3 l2

l1

37.已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK 平分∠DOH, 求∠KOH 的度数.

44

E

G

A 1

3

B

C

2

O

D

F

H

K

38.已知:如图,CD 平分∠ACB,AC∥DE,CD∥EF,试说明 EF 平分∠DEB.
A D F B E

C

39.如图,CD∥BE,试判断∠1,∠2,∠3 之间的关系.
A

2 1 C 3 B E D

40.已知:如图, AB∥DF,BC∥DE,求证:∠1=∠2.
B 1 E C 2 D F

A

45

数学专题复习六 方程与方程组 一、教材分布 七上第 8 章、七下第 12 章、九上第 3 章 二、一元一次方程知识点梳理及测试 (一)一元一次方程的概念
1、方程 含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质 (1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。 (2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零) ,所得结果仍是等式。 4、一元一次方程 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一 0 a 元一次方程,其中方程 ax ? b ? (x为未知数, ? 0) 叫做一元一次方程的标准形式,a 是未知数 x 的系数,b 是常数项。

(二)七年级上第八章一元一次方程测试题
1、下列方程中是一元一次方程的是〔 〕 2 A、2x-y=1 B、3x +x=2 C、(3x-1)/2=7 D、1/y - 2=0 2、解方程 3x-5=-x+2,移项正确的是〔 〕 A、3x-x=2-5 B、3x-x=2+5 C、-3x-x=5-2 D、3x+x=2+5 3、解方程 2-

3x ? 7 x?7 ?? ,去分母,得〔 4 5



A、2-5(3x-7)=-4(x+7) B、40-15x-35=-4x-68 C、40-5(3x-7)=-4x+68 D、40-5(3x-7)=-4(x+7) 4、解是 x=-2 的方程是〔 〕 A、3(x-1)=9 B、5x+10=0.5 C、1/2 x-1=x D、(3x-1)/3=1-x 5、已知等式 x=y,a、b、m、n 为任意有理数,则下列等式中,不一定成立的是〔 〕 A、x+a=y+a B、x-m=y-m C、-xn=-yn D、x/b=y/b 6、若方程 ax=5+3x 的解为 x=5,则 a 等于〔 〕 A、80 B、4 C 、16 D、12 7、已知︱x-2︱=3,则 x 的值是〔 〕 A、-1 B、5 C 、-1 或 5 D、以上答案都不对 8、小华在某月的日历上圈出相邻的几个数,算出这四个数的和是 36,那么这个数阵 的形式是〔 〕 9、某同学买了 1 元邮票和 2 元邮票共 12 枚,花了 20 元钱,求该同学买的 1 元邮票和 2 元邮票各多少枚?若设该同学买 x 枚,列出的方程错误的是〔 〕 A、x+2(12-x)=20 B、2(12-x)-20=x C、2(12-x)=20-x D、x=20-2(12-x) 10、某商店同时卖出两套服装,每套均卖 168 元,以成本计算,其中一套盈利 20%, 另一套亏本 20%,则在这次买卖中,该商店〔 〕 A、不赔不赚 B、赚 37.2 元 C、赚 14 元 D、赔 14 元
46

11、当 x= 时,代数式 3+x/3 与 1-x 互为相反数。 3-2k 12、若 x +2k=3 是关于 x 的一元一次方程,则 k= . 13、某商品降价 10%后单价为 180 元,则降价前它的单价是 元。 14、一个两位数,二个数位上数字之和为 x,若个位上的数为 2,则这个两位数 是 . m-1 n-5 2m+1 -n+ 3 15、如果单项式 5a b 与 a b 是同类项,则 mn= . 16、已知三角形三个角的比是 2︰3︰4,则最大角的度数是 . 2 17、当 x=-2 时,二次三项式 2x +mx+4 的值等于 18,那么当 x=2 时,该二次三项式的 值等于 . 2 18、已知由等式(x+2)y=x+2 得 y=1 不成立,则 x -2x+1= . 19、已知 M=-2/3x+1,N=1/6x-5,若 M+N=20,则 x 的值为 . 21、解下列方程: (1)0.6x=1/5 x-3 (2)2(x-1)-3(x+1)=-6

(3)

1 ? 2 x 3x ? 1 ? ?3 3 7

(4)

0.05 ? 0.2 x x ? 1? 0.02 0.5

22、某同学在解方程

2x ?1 x ? a ? ? 1 去分母时,方程右边的(-1)没有乘 3,因而 3 3

求得的解为 x=2,请你求出 a 的值,并正确地解方程。

23、小明利用暑假到一家餐馆干零杂工,讲好干 7 个星期,老板付他一辆新自行车外 加 200 元,后因他只干了 4 个星期,老板给他一辆新自行车外加 20 元钱,一辆新的自行 车值多少钱?

24、3 月 21 日是植树节,七年级 170 名学生去参加义务植树活动,如果男生平均一天 能挖树坑 3 个,女生平均一天能种树 7 棵,正好使每个树坑种一棵树,问该年级的男、女 生学生各多少人? 25、某个体户进了 40 套服装,以高出进价 40 元的售价卖出了 30 套,后因换季,剩 下的 10 套服装以原售价的六折售出,结果 40 套服装共收款 4320 元,问每套服装进价是 多少元?这位个体户是赚了还是亏了? 26、甲、乙两班学生到集市上购买苹果,苹果的价格如下:
47

购买苹果 数 每千克价 格

不超过 30 千 克 3元

30 千克以上但不超过 50 千克 2.5 元

50 千克以 上 2元

甲班分两次共购买苹果 70 千克(第二次多于第一次) ,共付出 189 元,乙班则一次购 买苹果 70 千克。 (1)乙班比甲班少付出多少元? (2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克?

三、一元二次方程知识点梳理及测试 (一)知识点
1、一元二次方程 含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二 次方程。 2、一元二次方程的一般形式

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数 x 的二次多项式,等 2 式右边是零,其中 ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系
数;c 叫做常数项。

3、一元二次方程的解法
(1) 、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方 法适用于解形如 ( x ? a) 2 ? b 的一元二次方程。根据平方根的定义可知, x ? a 是 b 的平 方根,当 b ? 0 时, x ? a ? ? b , x ? ?a ? b ,当 b<0 时,方程没有实数根。 (2) 、配方法 配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他 领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 a ? 2ab ? b ? (a ? b) ,把
2 2 2

公式中的 a 看做未知数 x,并用 x 代替,则有 x ? 2bx ? b ? ( x ? b) 。 (3) 、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
2 2 2

一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的求根公式:
2

? b ? b 2 ? 4ac 2 x? (b ? 4ac ? 0) 2a
(4) 、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一 元二次方程最常用的方法。

4、一元二次方程根的判别式
根的判别式
2 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 中 , b ? 4ac 叫 做 一 元 二 次 方 程
2

48

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的判别式,通常用“ ? ”来表示,即 ? ? b 2 ? 4ac ? >0 时-------------------------- ? =0 时---------------------------- ? <0 时-----------------

5、一元二次方程根与系数的关系
如果方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1,x2 , 那么 x1 ? x 2 ? ?

b c x , 1 x2 ? 。 a a

也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以 二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

(二) 、一元二次方程单元测试
1、已知两圆的半径为 R、r 分别为方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根,两圆的圆心距为 1,两圆
2

的位置关系为(

) A、外离 B、内切 C、相交 D、外切
2

2 2、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不相等的实数根为,则 b ? 4ac 满足的

条件是(

)A、 b ? 4ac ? 0 B、 b ? 4ac >0 C b ? 4ac <0 D b ? 4ac ≥0
2 2 2 2

3、已知方程 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根分别为 x1 、 x2 ,则 x1 ? x2 ? x1 ? x2 的值为 (
2



A、-7 B、-3 C、7 D、3 4、某商场第一季度的利润是 82.75 万元,其中一月份的利润是 25 万元,若平均利润平均 月增长率为 x,则依据题意列方程为( ) A、 25(1 ? x) ? 82.75
2

B、

25 ? 50 x ? 82.75 C、 25 ? 75 x ? 82.25 D、 251 ? (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? 82.75
2

?

?

5、若 a 为方程 ( x ? 17) 2 ? 100的一根,b 为方程 ( y ? 4) ? 17 的一根,且 a 、b 都是 正数,则 a-b 的值为(
2

)A、5 B、6 C、 82

D、 10 ? 17 )

6、关于 x 的方程 (a ? 6) x ? 8x ? 6 ? 0 有实数根,则整数 a 的最大值是( A、6 B、7 C、8 D、9 7、关于 x 的方程 (a ? 5) x ? 4 x ? 1 ? 0 有实数根,则 a 满足(
2



A、 a ? 1 B、a>1 且 a≠5 C、a≥1 且 a≠5
2

D、a≠5 )A、该方程有两个相等的

8、已知关于 x x ? x ? 1 ? 0 的方程,下列判断正确的是(

实数根 B、该方程有两个不相等的实数根 C、该方程无实数根 D、该方程的根的情况不能 确定 9、两圆的圆心距 a=5,她们的半径分别是一元二次方程 x ? 5x ? 4 ? 0 的两个根,这两
2

49

个圆的位置关系是( ) 10、已知关于 x 的一元二次方程根是 1,写出一个符合条件的方程(



11、已知关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? x ? 1 ? 0 有实数根,则 m 的取值范围是 ( )
2

12、若 n(n≠0)是关于 x 的方程 x ? mx ? 2n ? 0 的根,则 m+n 的值为( 13、若实数 a 满足 a ? 2a ? 1 ? 0 ,则 2a ? 4a ? 5 ? (
2 2



) )

14、若 (m ? n)(m ? n ? 5) ? 6 ,则 m+n 的值为(
2

15、已知 x1=-1 是方程 x ? m x ? 5 ? 0 的一个根,求 m 的值及方程的另一根 x2

16 、 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? 1 ? 0(a ? 0) 有 两 个 相 等 的 实 数 根 , 求

ab2 的值。 (a ? 2) 2 ? b 2 ? 4

17、2009 年我市实现国民生产总值 1376 亿元,计划全市国民生产总值以后三年都以相同 的增长率去实现,并且 2011 年全市国民生产总值要达到 1726 亿元。 (1)求全市的国民生产总值的平均增长率(精确到 1﹪到) (2)求 2010 年至 2012 年全市三年可实现国民生产总值多少亿元?(精确到 1 亿元)

18、某公司投资新建了一商场,共有商铺 30 间。据预测,当每间的年租金定为 10 万元时, 可全部租出,每间的年租金每增加 5000 元,少租出商铺 1 间,该公司要为租出的每间商 铺每年各种费用 1 万元,未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元。 (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时,能租出多少间。 (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金—各种费用)为 275 万元?

19、方程 (m ? 2) x m 并求此方程的解。

2

?5m?8

(m ? 3) x ? 25 ? 0 ,当 m 为何值时,该方程是一元二次方程?

50

四、分式方程知识点及测试
(一)知识点
1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” 。它的一般解法是: (1)去分母,方程两边都乘以最简公分母 (2)解所得的整式方程 (3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零, 就是原方程的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法:换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有 某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。

(二)分式方程测试题
1、(2010 福建宁德)我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道 — 温(州)福(州)铁 — 路全长 298 千米.将于 2009 年 6 月通车,通车后,预计从福州直达温州的火车行驶 时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短 2 小时. 已知福州至温州的高速公路长 331 千米,火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的 2 倍.求通车后火车从福州 直达温州所用的时间.

3、 (2010 广西南宁 10 分)南宁市 2006 年的污水处理量为 10 万吨/天,2007 年的污水处 理量为 34 万吨/天,2007 年平均每天的污水排放量是 2006 年平均每天污水排放量的 1.05 倍,若 2007 年每天的污水处理率比 2006 年每天的污水处理率提高 40% (污水处理率 污水处理量 ? ) . 污水排放量 (1) 求南宁市 2006 年、 2007 年平均每天的污水排放量分别是多少万吨? (结果保留整数) (2)预计我市 2010 年平均每天的污水排放量比 2007 年平均每天污水排放量增加 20% , 按照国家要求 “2010 年省会城市的污水处理率不低于 70% ” 那么我市 2010 年每天污 , ... 水处理量在 2007 年每天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨,才能符合国 .. 家规定的要求?

4、 (2010 广西玉林课改,3 分)甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲 队单独工作 2 天完成总量的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了 1 天,总量全 部完成.那么乙队单独完成总量需要( ) A.6 天 B.4 天 C.3 天 D.2 天 5、 (2010 河北课改,2 分)炎炎夏日,甲安装队为 A 小区安装 66 台空调,乙安装队为 B 小区安装 60 台空调, 两队同时开工且恰好同时完工, 甲队比乙队每天多安装 2 台. 设
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乙队每天安装 x 台,根据题意,下面所列方程中正确的是( ) 66 60 66 60 66 60 66 60 A. ? B. C. ? D. ? ? x x?2 x?2 x x x?2 x?2 x 6、 (2010 吉林长春课改,5 分)张明与李强共同清点一批图书,已知张明清点完 200 本图 书所用的时间与李强清点完 300 本图书所用的时间相同,且李强平均每分钟比张明多 清点 10 本,求张明平均每分钟清点图书的数量.

7、 (2010 江苏南通课改, 分) 3 有两块面积相同的试验田, 分别收获蔬菜 900kg 和 1500kg, 已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少 300kg,求第一块试验田每亩收获蔬菜多 少千克.设一块试验田每亩收获蔬菜 x kg,根据题意,可得方程( )

900 1500 ? x ? 300 x 900 1500 ? C. x x ? 300
A.

900 1500 ? x x ? 300 900 1500 ? D. x ? 300 x
B.

8、 (2010 辽宁 12 市课改,8 分)进入防汛期后,某地对河堤进行了加固.该地驻军在河 堤加固的工程中出色完成了任务.这是记者与驻军工程指挥官的一段对话: 你们是用 9 天完成 4800 米 长的大坝加固任务的? 我们加固 600 米后,采用新的加固模 式,这样每天加固长度是原来的 2 倍.

9、 (2010 辽宁沈阳课改,10 分)甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程, 乙队先单独做 2 天后,再由两队合作 10 天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工 4 程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的 ,求甲、乙两个施工队单独完成此项工 5 程各需多少天?

10、 (2010 山东济宁课改,3 分)南水北调东线工程已经开工,某施工单位准备对运河一 段长 2240m 的河堤进行加固,由于采用新的加固模式,现在计划每天加固的长度比原 计划增加了 20m,因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短 2 天,若设现在计 划每天加固河堤 x m,则得方程为 .

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11、 (2010 山东聊城课改,10 分)某超级市场销售一种计算器,每个售价 48 元.后来, 计算器的进价降低了 4% ,但售价未变,从而使超市销售这种计算器的利润提高了 5% . 这 种 计 算 器 原 来 每 个 进 价 是 多 少 元 ? ( 利 润 ? 售 价 ? 进 价 , 利 润 率

?

利润 ?100% ) 进价

12、 (2010 山东青岛课改,3 分)某市在旧城改造过程中, 需要整修一段全长 2400m 的道路. 为 了减少施工对城市交通所造成的影响,实际工作效率比原计划提高了 20%,结果提前 8 小时完成任务.求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修 x m,则根据题意 可得方程 . 13、 (2010 山东日照课改,7 分)今年 4 月 18 日,我国铁路实现了第六次大提速,这给旅 客的出行带来了更大的方便.例如,京沪线全长约 1500 公里,第六次提速后,特快 列车运行全程所用时间比第五次提速后少用 1

7 小时.已知第六次提速后比第五次提 8

速后的平均时速快了 40 公里, 求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少?

14、 (2010 山东泰安课改, 分) 9 某书店老板去图书批发市场购买某种图书. 第一次用 1200 元购书若干本,并按该书定价 7 元出售,很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本 书的批发价已比第一次提高了 20%,他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本.当按定 价售出 200 本时,出现滞销,便以定价的 4 折售完剩余的书.试问该老板这两次售书总体 上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其它因素)?若赔钱,赔多少?若赚钱,赚多少?

15、(2010 山东威海课改,7 分)甲、乙两火车站相距 1280 千米,采用“和谐”号动车组 提速后,列车行驶速度是原来速度的 3.2 倍,从甲站到乙站的时间缩短了 11 小时, 求列车提速后的速度.

16、 (2010 四川德阳课改,8 分)某公司投资某个工程项目,现在甲、乙两个工程队有能 力承包这个项目.公司调查发现:乙队单独完成工程的时间是甲队的 2 倍;甲、乙两 队合作完成工程需要 20 天;甲队每天的工作费用为 1000 元、乙队每天的工作费用为 550 元.根据以上信息,从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队、应付工程
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队费用多少元?

17、 (2010 广东深圳课改,8 分)A、B 两地相距 18 公里,甲工程队要在 A、B 两地间铺设 一条输送天然气管道,乙工程队要在 A、B 两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队 每周比乙工程队少铺设 1 公里,甲工程队提前 3 周开工,结果两队同时完成任务,求 甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道?

18、 (2010 甘肃庆阳课改,3 分)轮船先顺水航行 46 千米再逆水航行 34 千米所用的时 间,恰好与它在静水中航行 80 千米所用的时间相等,水的流速是每小时 3 千米,则 轮船在静水中的速度是 千米/时.

五、二元一次方程组知识点及训练
(一)知识点
1、二元一次方程 含有两个未知数,并且未知项的最高次数是 1 的整式方程叫做二元 一次方程,它的一般形式是---------------------------------2、二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组 两个(或两个以上)二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。 4 二元一次方程组的解 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未 知数的值,叫做二元一次方程组的解。 5、二元一次方正组的解法(1)代入法(2)加减法 6、三元一次方程 把含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。 7、三元一次方程组 由三个(或三个以上)一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程 组。

(二)测试题
1.二元一次方程组的有关概念 二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1? 的整式方程叫做二 元一次方程.
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二元一次方程的解集:适合一个二元一次方程的每一对未知数的值,叫做这个二元一次方 程的一个解.对于任何一个二元一次方程,令其中一个未知数取任意一个值,都能求出与 它对应的另一个未知数的值.因此,任何一个二元一次方程都有无数多个解.由这些解组 成的集合,叫做这个二元一次方程的解集. 二元一次方程组及其解:两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.一般 地,能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一 次方程组的解. 2.二元一次方程组的解法 代入消元法:在二元一次方程组中选取一个适当的方程,将一个未知数用含另一个未知数 的式子表示出来,再代入另一个方程,消去一个未知数得到一元一次方程,求出这个未知 数的值,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法. 加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分 别相加或相差,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种求二元一次方程组的 解的方法叫做加减消元法,简称加减法. 3.二元一次方程组的应用 对于含有多个未知数的问题, 利用列方程组来解, 一般比列一元一次方程解题容易得多. 列 方程组解应用问题有以下几个步骤: (1)选定几个未知数; (2)依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程,组成方程组; (3)解方程组,得到方程组的解; (4)检验求得未知数的值是否符合题意,符合题意即为应用题的解. 1.若 2xm+n-1-3ym-n-3+5=0 是关于 x,y 的二元一次方程,则 m=_____,n=_____. 2.在式子 3m+5n-k 中,当 m=-2,n=1 时,它的值为 1;当 m=2,n=-3 时,它的值是 _____. 3.若方程组 的解是 ,则 a+b=_______. 4.已知方程组 的解 x,y,其和 x+y=1,则 k_____. 5.已知 x,y,t 满足方程组 ,则 x 和 y 之间应满足的关系式是_______. 6. (2008,宜宾)若方程组 的解是 ,那么│a-b│=_____. 7.某营业员昨天卖出 7 件衬衫和 4 条裤子共 460 元,今天又卖出 9 件衬衫和 6 条裤子共 660 元,则每件衬衫售价为_______,每条裤子售价为_______. 8. (2004,泰州市)为了有效地使用电力资源,我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点, 每天 8:00 至 21:00 用电每千瓦时 0.55 元( “峰电”价) ,21:00 至次日 8:00? 用电每 千瓦时 0.30 元( “谷电”价) ,王老师家使用“峰谷”电后,? 五月份用电量为 300kW?h, 付电费 115 元,则王老师家该月使用“峰电”______kW?h. 9.二元一次方程 3x+2y=15 在自然数范围内的解的个数是() A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.已知 是方程组 的解,则 a+b 的值等于() A.1B.5C.1 或 5D.0 11.已知│2x-y-3│+(2x+y+11)2=0,则() A. B. C. D. 12.在解方程组时,一同学把 c 看错而得到 ,正确的解应是那么 a,b,c 的值是() A.不能确定 B.a=4,b=5,c=-2 C.a,b 不能确定,c=-2D.a=4,b=7,c=2 13. (2008,河北)如图 4-2 所示的两架天平保持平衡,且每块巧克力的质量相等,? 每 个果冻的质量也相等,则一块巧克力的质量是()
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A.20gB.25gC.15gD.30g 14.4 辆板车和 5 辆卡车一次能运 27t 货,10 辆板车和 3 辆卡车一次能运 20t 货,设每辆 板车每次可运 xt 货,每辆卡车每次能运 yt 货,则可列方程组() 15.七年级某班有男女同学若干人,女同学因故走了 14 名,? 这时男女同学之比为 5:3, 后来男同学又走了 22 名,这时男女同学人数相同,那么最初的女同学有() A.39 名 B.43 名 C.47 名 D.55 名 17.甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则 ah 相遇;若同向而行,则 bh 甲追 上乙,那么甲的速度是乙的速度为() A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 18.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺,总务处每发一封信都只用一张信 笺,教务处每发出一封信都用 3 张信笺,结果,总务处用掉了所有的信封,? 但余下 50 张信笺,而教务处用掉所有的信笺但余下 50 个信封,则两处各领的信笺张数,? 信封个数 分别为() A.150,100B.125,75C.120,70D.100,150 20. (2008,山东省)为迎接 2008 年奥运会,? 某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印” 和奥运会吉祥物“福娃” .该厂主要用甲、乙两种原料,? 已知生产一套奥运会标志需要甲 原料和乙原料分别为 4 盒和 3 盒,? 生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为 5 盒和 10 盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为 20000 盒和 30000 盒,? 如果所进原料全部用 完,求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套?

21. (2008, 重庆市) 为支持四川抗震救灾, 重庆市 A, C 三地现在分别有赈灾物资 200t, B, 100t,80t,需要全部运往四川重灾地区的 D,E 两县.根据灾区的情况,这批赈灾物资运 往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20t. (1)求这批赈灾物资运往 D,E 两县的数量各是多少? (2)若要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60t,A 地运往 D 县的赈灾物资为 xt(x 为整数) , B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于 A 地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍,其余的赈灾物 资全部运往 E 县,且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 25t.则 A,B? 两地的赈灾物资 运往 D,E 两县的方案有几种?请你写出具体的运送方案: (3)已知 A,B,C 三地的赈灾物资运往 D,E 两县的费用如表所示: 为及时将这批赈灾物资运往 D,E 两县,某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用,在 (2)问的要求下,该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少? A地 运往 D 县的费用/ (元/t) 运往 E 县的费用/ (元/t 220 250 B地 200 220 C地 200 210

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