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沭阳县2014-2015学年高一下学期期中调研测试数学试题



n Sa ? 2 a8 ? 15 7, a ? ? ?16 nn 2 4 5

2014~2015 学年度第二学期期中调研测试

高一数学试题
本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题—第 14 题) 、解答题(第 15 题—第 20 题) 。本卷 满分 160 分,考试时间为 120 分钟。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置 ........ 上 . .

x ?1 ? 0 的解集是 ▲ . x?2 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ? 1 ,则 a3 ?
1.不等式 3.在等比数列 ?an ? 中, , ,则 a6 ? ▲








4.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 则 cos C ?




5.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, a ? 2, A ? 45?, B ? 60?, 则 b ? 6.在等差数列 中,
?



,则数列

的前 项和 ▲ ▲





7.在 ?ABC 中, A ? 60 , AC ? 3 , AB ? 2 ,那么 BC 的长度为 8.若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 的解集是 ?1, 2 ? ,则 a =
2

. .

9.在 ?ABC 中, a ? 2b cos C, 则 ?ABC 的形状为






10.已知数列 {an } 是等差数列,且 a2 ? a5 ? a8 ? ? ,则 sin a5 ? 11. 若等比数列 {an } 的各项均为正数, 且 a1 ,




1 a ? a10 a3 , 2a2 成等差数列, 则 9 ? 2 a7 ? a8




12.已知等差数列 {an } 中, a1 ? ?3, 11a5 ? 5a8 , 则前 n 项和 Sn 的最小值为
?


?

13. 已知向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , 且 a 与 b 的夹角等于 120 ,b 与 c 的夹角等于 135 ,

c ? 3 ,则 a ?





14.数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,

1 1 2 ? ? 2 ? 4, 记 Sn ? a12 ? a2 an?1 an


2 ? an , 若 S 2 n?1 ? S n ?

m 30

对任意 n ? N * 恒成立,则正整数 m 的最小值是



1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? n2 ? 2n. (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )证明 {an } 是等差数列.

16. (本题满分 14 分) 在 半 径 为 R 的 圆 的 内 接 四 边 形 ABCD 中 , AB ? 2
? , BC ? 4 , ?ABC ? 120 ,

AD ? CD ? 10 . 求: (Ⅰ ) AC 的长及圆的半径 R ; (Ⅱ )四边形 ABCD 的面积. D

C A B

17. (本题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n , 数列 {bn } 为等比数列,且

b1 ? 1, b2 S2 ? 16 , b3S3 ? 60 .
求: (Ⅰ )数列 {an } 与 {bn } 的通项公式;

2

(Ⅱ )

1 1 ? ? S1 S2

?

1 . Sn

18. (本题满分 16 分) 如图,一船由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为 ? ,前进 5km 后到达 B 处,测 得岛 M 的方位角为 ? .已知该岛周围 3km 内有暗礁,现该船继续东行. (Ⅰ )若 ? ? 2? ? 60? ,问该船有无触礁危险? (Ⅱ )当 ? 与 ? 满足什么条件时,该船没有触礁的危险?

M

A

B

C

19. (本题满分 16 分)
2 * 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? N ) ,若不等式 f ( x) ? 2 x 的解集为 (1, 4) ,且方程

f ( x) ? x 有两个相等的实数根.
(Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ )若不等式 f ( x) ? mx 在 x ? (1, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ )解不等式 f ( x) ? mx.(m ? R)

3

20. (本题满分 16 分) 如图,将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并 擦去中间一段,得图(2).如此继续下去,得图(3)……,记第 n 个图形的边长 an 、周长为

bn .
(Ⅰ )求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; ( Ⅱ) 若 第 n 个 图 形 的 面 积 为 Sn , 试 探 求 Sn , Sn?1 ? n ? 2? 满 足 的 关 系 式 , 并 证 明

Sn ?

2 3 . 5

(1)

(2)

(3)

4

n Sa ? 2 a8 ? 15 7, a ? ? ?16 nn 2 4 5

2014~2015 学年度第二学期期中调研测试

高一数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置 ........ 上 . .

x ?1 ? 0 的解集是 ?x | x ? ?2或x ? 1? . x?2 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ? 1 ,则 a3 ?
1.不等式 3.在等比数列 ?an ? 中, , ,则 a6 ? 32

4




1 . 4

4.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 则 cos C ? ?

5.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, a ? 2, A ? 45?, B ? 60?, 则 b ? 6.在等差数列 中,
?

3.

,则数列

的前 项和

n2 .

7.在 ?ABC 中, A ? 60 , AC ? 3 , AB ? 2 ,那么 BC 的长度为 7 . 8.若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 的解集是 ?1, 2 ? ,则 a =
2

3

. .

9. 在 ?ABC 中, a ? 2b cos C, 则 ?ABC 的形状为 等腰三角形 10.已知数列 {an } 是等差数列,且 a2 ? a5 ? a8 ? ? ,则 sin a5 ? 11. 若等比数列 {an } 的各项均为正数, 且 a1 ,

3 . 2

1 a ? a10 a3 , 2a2 成等差数列, 则 9 ? 3? 2 2 . 2 a7 ? a8

12.已知等差数列 {an } 中, a1 ? ?3,11a5 ? 5a8 , 则前 n 项和 Sn 的最小值为
?

-4


?

13. 已知向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , 且 a 与 b 的夹角等于 120 ,b 与 c 的夹角等于 135 ,

c ? 3 ,则 a ?

6 .
1 m 2 2 ? 4 ? 1, 记S n ? a12 ? a 2 ?? ? a n , 若 S 2 n?1 ? S n ? 2 30 an

14.数列 {a n }满足 a1 ? 1, a n ?1

对任意 n ? N * 恒成立,则正整数 m 的最小值是 10 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)

5

设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? n2 ? 2n. (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )证明 {an } 是等差数列. 15.解: (Ⅰ )因为 Sn ? n2 ? 2n, 所以a1 ? S1 ? 3. ………………………………………2 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 2n ? [(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 2n ? 1, …………………5 分 则当 n ? N ,都有 an ? 2n ? 1.
*

……………………………………8 分 ……………12 分

(Ⅱ )因为 an?1 ? an ? 2(n ? 1) ? 1 ? (2n ? 1) ? 2,

所以 {an } 是首项为 3,公差为 2 的等差数列. ………………………………………14 分 16. (本题满分 14 分) 在 半 径 为 R 的 圆 的 内 接 四 边 形 ABCD 中 , AB ? 2
? , BC ? 4 , ?ABC ? 120 ,

AD ? CD ? 10 . 求: (Ⅰ ) AC 的长及圆的半径 R ; (Ⅱ )四边形 ABCD 的面积.

D

C A
16.解: (Ⅰ )在 ? ABC 中,由余弦定理得:

B

1 AC ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 22 ? 42 ? 2 ? 2 ? 4 ?? ? 2 7. ………4 分 2
由正弦定理得:

2R ?

AC 2 7 4 21 2 21 ? ? ,R ? . sin ?ABC 3 3 3 2

…………………………7 分

(Ⅱ )设 AD ? m, CD ? n, m ? n ? 10
2 2 2 在 ? ACD 中,由余弦定理得, AC ? m ? n ? mn ? ? m ? n ? ? 3mn. 2

…………9 分

即 28 ? 100 ? 3mn,? mn ? 24.

…………11 分

6

则 S?ACD ?

1 1 mn sin 60? ? 6 3, S?ABC ? ? 2 ? 4 ? sin120? ? 2 3. 2 2

…………13 分

所以四边形 ABCD 的面积为 8 3.

…………………………14 分

17. (本题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n , 数列 {bn } 为等比数列,且

b1 ? 1, b2 S2 ? 16 , b3S3 ? 60 .
求: (Ⅰ )数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ )

1 1 ? ? S1 S2

?

1 . Sn

17.解(Ⅰ )设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d ? 0 ,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1.

依题意有 ?

?(6 ? d )q ? 16,
2 ?(9 ? 3d )q ? 60.

………………………3 分

6 ? d ?? ? ?d ? 2 ? 5 解得 ? 或? (舍去). ?q ? 2 ? q ? 10 ? 3 ?
故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 2n?1 . (Ⅱ )? Sn ? 3 ? 5 ?

……………………………5 分

………………………………………7 分 ……………………………9 分

? (2n ? 1) ? n(n ? 2),
?

?

1 1 ? ? S1 S2

?

1 1 1 1 ? ? ? ? Sn?1 Sn 1? 3 2 ? 4

1 1 ? (n ? 1)(n ? 1) n(n ? 2)

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ?

1 ? ?1 1 ?? ? 1 ?? ? ??? ? ? ? ………………12 分 ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??
……………………14 分

1? 1 1 1 ? n(3n ? 5) ? ?1 ? ? ? . ?? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4(n ? 1)(n ? 2)
18. (本题满分 16 分)

如图,一船由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为 ? ,前进 5km 后到达 B 处,测 得岛 M 的方位角为 ? .已知该岛周围 3km 内有暗礁,现该船继续东行.

7

(Ⅰ )若 ? ? 2? ? 60? ,问该船有无触礁危险? (Ⅱ )当 ? 与 ? 满足什么条件时,该船没有触礁的危险?

18. (Ⅰ )在△ABM 中可知,AB=BM=5, 从而 MC= 5sin 60 ?
?

……………………4 分 ……………………8 分

5 3 ? 3 ,没有触礁危险。 2

(Ⅱ )设 CM=x,在△ABM 中由正弦定理得,

AB BM ? , ……12 分 sin ?AMB sin ?MAB
……………………14 分



5 sin(? ? ? )

?

x 5cos ? cos ? ,解得 x ? , cos ? cos ? sin(? ? ? )

所以当

5cos ? cos ? ? 3 时没有触礁危险. sin(? ? ? )

……………………16 分

19. (本题满分 16 分)
2 * 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? N ) ,若不等式 f ( x) ? 2 x 的解集为 (1, 4) ,且方程

f ( x) ? x 有两个相等的实数根.
(Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ )若不等式 f ( x) ? mx 在 x ? (1, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ )解不等式 f ( x) ? mx.(m ? R) 19. (Ⅰ )由题意,1,4 是方程 ax ? ? b ? 2? x ? c ? 0 的两根,且 a ? 0,
2

2?b ? 1? 4 ? ? ?b ? 2 ? 5a ? a ,? ? , ……………………………2 分 由韦达定理得, ? ?c ? 4 a ?1? 4 ? c ? a ?

8

因为方程 f ( x) ? x 有两个相等的实数根,所以 ? b ? 1? ? 4ac ? 0,
2

消去 b, c 得 a ? 1 或

1 (舍去) , b ? ?3, c ? 4. ……………………………4 分 9
……………………………5 分

所以 f ? x ? ? x2 ? 3x ? 4.

(Ⅱ )由题意,不等式 x2 ? ? m ? 3? x ? 4 ? 0 在 x ? (1, ??) 上恒成立, 设 g ? x ? ? x2 ? ? m ? 3? x ? 4, 其图像的对称轴方程为 x ?
2

m?3 . …………6 分 2

m?3 ? m ? 3 ? 16 ? ? m ? 3? ? 1 即 m ? ?1 时,有 g ? 当 ? 0, 得 ?1 ? m ? 1; ………8 分 ?? 2 4 ? 2 ? m?3 ? 1 即 m ? ?1 时,有 g ?1? ? 2 ? m ? 0, 得 m ? ?1; 2 综上, m ? 1.

2 (Ⅲ )方程 x ? ? m ? 3? x ? 4 ? 0 的判别式 ? ? m ? 3 ? ? 16
2

………10 分

当 ? ? 0 即 ?7 ? m ? 1 时,不等式的解集为 R; 当 ? ? 0 时: m ? ?7 时,不等式的解集为 ?x | x ? ?2?;

………12 分 ………13 分 ………14 分

m ? 1 时,不等式的解集为 ?x | x ? 2?;
当 ? ? 0 即 m ? ?7或m ? 1 时,不等式的解集为

? m ? 3 ? m 2 ? 6m ? 7 m ? 3 ? m2 ? 6m ? 7 ? ? ? x | x ? 或 x ? ? ?. 2 2 ? ? ? ?

………16 分

20. (本题满分 16 分) 如图,将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并 擦去中间一段,得图(2).如此继续下去,得图(3)……,记第 n 个图形的边长 an 、周长为 bn . (Ⅰ )求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; ( Ⅱ)若 第 n 个图 形的 面积 为 Sn , 试探 求 Sn , Sn?1, ? n ? 2? 满足 的关系 式, 并证 明

: Sn ?

2 3 . 5

20.解: (Ⅰ )由题意

(1)

(2)

(3)

知,从第 2 个图形起,每一个图形的边长均为上一个图形边长的 , 所以数列 {an } 是首项为

1 3

9

1,公比为

1 ?1? 的等比数列,则 an ? ? ? 3 ? 3?

n ?1

.

………2 分

设第 n 个图形的边数为 cn ,因为第 1 个图形的边数为 3,从第 2 个图形起,每一个图形的边 数均为上一个图形边数的 4 倍,则 cn ? 3 ? 4n?1. ………4 分
n ?1

?1? 因此,第 n 个图形的周长 bn = an ? cn ? ? ? ? 3?
(Ⅱ ) S1 ?

n ?1

? ?3? 4

4? ? ? 3? ? ? ? ? 3?

n ?1

. ………6 分

3 ,当 n ? 2 时, 4
2

………8 分

n ?1 n ?1 ? 3 2? 3 ?? 1 ? ? 3 3 ?4? n?2 Sn ? Sn?1 ? cn?1 ? ? ? a ? S ? 3 ? 4 ? ? ? S ? ? ?? ? ? n ?1 ? ? . ………12 分 ? 4 n ? ? n?1 4 3 16 ? ? ?9? ? ? ? ? ? ?

S n ? S1 ? ? S 2 ? S1 ? ? ? S3 ? S 2 ? ?
2 3 3 3 3 ?4 ? 4 ? ? 4 ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 4 16 ? ?9 ? 9 ? ? 9 ? n ?1 4 ? ?4? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 3 3 9 ? ? ?9? ? ? ? ? ? 4 4 16 1? 9

? ? S n ? S n ?1 ? ?4? ?? ? ?9?
n ?1

? ? ? ?

2 3 3 3 ?4? ? ? ?? ? 5 20 ? 9 ?
? Sn ? 2 3 . 5

n ?1

,

………………………………15 分

………………………………16 分

10



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