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2015高考数学母题题源系列--专题01 三角函数图像与性质 文(含解析)



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三角函数图像与性质

【母题来源】2015 新课标 1-文 8 【母题原题】函数 f ( x) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减区间为( ) (A) (k? ? (C) (k ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

(B

) (2k? ?

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4

1 3 1 3 , k ? ), k ? Z (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 4 4

【答案】D 【考点定位】三角函数图像与性质

【试题解析】

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 由 五 点 作 图 知 , ? , 解 得 ? =? , ? = , 所 以 f ( x) ? cos(? x ? ) , 令 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
2 k? ? ? x ?

?
4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 1 3 < x < 2k ? , k ? Z ,故单调减区间为( 2k ? , 2k ? ) , 4 4 4 4

k ? Z ,故选 D.
【命题意图】本题主要考查函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的图像与性质,是中档题. 【方法、技巧、规律】本题考查函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的图像与性质,先利用五点作图法列出关于 ?,? 方程, 求出 ?,? ,或利用利用图像先求出周期,用周期公式求出 ? ,利用特殊点求出 ? ,再利用复合函数单调性求 其单调递减区间,是中档题,正确求 ?,? 使解题的关键. 【探源、变式、扩展】高考对三角函数的考查重点在三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系、三角函 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 1 页

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数的图像与性质、两角和与差的三角公式、二倍角公式及其变形、三角函数应用,其中三角公式、三角函数图像 与性质、三角函数应用是考查的热点,难度为容易题或中档题. 【变式】 【2015 届内蒙古巴彦淖尔市一中上期期中考试】函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |? 象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图像,则只要将 f ( x) 的图像()

?
2

)的图

A.向右平移 C.向左平移 【答案】A

? ?
6 6

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向左平移

?
12

个单位长度

?

12

个单位长度

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1. 【 2015 届 四 川 省 成 都 示 范 性 高 中 12 月 月 考 】 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), x ? R ( 其 中

A ? 0, ? ? 0,?

?
2

?? ?

?
2

) ,其部分图像如下图所示,将 f ( x) 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,再 )

向右平移 1 个单位得到 g ( x) 的图像,则函数 g ( x) 的解析式为(

A. g ( x) ? sin

?
2

( x ? 1)

B. g ( x) ? sin

?
8

( x ? 1)

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C. g ( x) ? sin( 【答案】B

?
2

x ? 1)

D. g ( x) ? sin(

?
8

x ? 1)

2. 【2015 届浙江省东阳市 5 月模拟】设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,

? ? 0, ? ? ? ? ) 的图象关于直

? 2

? 2

线x?

2? 对称,它的最小正周期为 ? ,则( 3
1 2



A. f ( x) 的图象过点 (0, )

B. f ( x) 在 ?

? ? 2? ? , ? 上是减函数 ?12 3 ? ?? ? ,0 ? ?6 ?

C. f ( x) 的一个对称中心是 ? 【答案】C

? 5? ? ,0 ? ? 12 ?

D. f ( x) 的一个对称中心是 ?

3. 【 2015 届 浙 江 省 第 二 次 考 试 五 校 联 考 】 为 得 到 函 数 f ( x) ? cos x ? 3 sin x , 只 需 将 函 数

y ? 2 cos x ? 2 sin x
A.向左平移 【答案】C





5? 12

B.向右平移

5? 7? 7? C.向左平移 D.向右平移 12 12 12

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4. 【2015 届上海市闵行区下学期二模】函数 y ? sin x 的定义域为 ? a, b ? ,值域为 ? ?1, ? ,则 b ? a 的最大值是 2

? ?

1? ?

( (A) ?

) (B)

4? 3

(C)

5? 3

(D) 2? .

【答案】B

5. 【2015 届四川省资阳市高三第三次模拟考试理科数学试卷】已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 ,
| ? |?

?
2

)的部分图象如图所示,下列说法正确的是(



(A) f ( x) 的图象关于直线 x ? ? (B) f ( x) 的图象关于点 (?

2? 对称 3

5? , 0) 对称 12 ? 个单位得到函数 f ( x) 的图象 2

(C)将函数 y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 的图象向左平移

? (D)若方程 f ( x) ? m 在 [? , 0] 上有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 (?2, ? 3] 2

【答案】D

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? ? 5? y ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) ? f ( x) ,故错. 2 6 6 ? 2? ? ? 2? ? 对 (D) , 由? ? x ? 0得? ? 2 x ? ? ,结合函数 y ? 2sin x (? ? x ? ) 的图象可知,?2 ? m ? 3 2 3 3 3 3 3
? 时,方程 f ( x) ? m 在 [? , 0] 上有两个不相等的实数根,故正确. 2

6. 【2015 届内蒙古赤峰市宁城县高三 3 月统一考试(一模)理科数学试卷】函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中

| ? |?

?
2

)的图象如图所示,为了得到 y ? sin ?x 的图象,只需把 y ? f ( x) 的图象上所有点(



? 个单位长度 6 ? (C)向右平移 个单位长度 6
(A)向左平移 【答案】C

(B)向右平移 (D)向左平移

?
12

个单位长度 个单位长度

?

12

7. 【2015 届江苏高考南通密卷三】函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, 且 | ? |? 为.

?
2

) 的部分图像如图所示,则 f (0) 的值

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【答案】 ? 3 【解析】由题意得:
| ? |? T ? ? 2? ? ? ? ? ? (? ) ? T ? ? ? ? ? ? 2 ,由 f (? ) ? ?2 得: ? +? ? ? +2k? (k ? Z ) ,因为 4 6 12 T 12 6 2 3

?
2

) ,所以 ? ? ?

?

, f (0) ? 2sin ? ? ? 3.

8. 【2015 年期中备考总动员高三数学模拟卷】已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ?

1 ,下列结论中:①函数 2
2 cos 2 x 2

f ( x) 关于 x ?

?
8

对称; ②函数 f ( x) 关于 (?

?
8

, 0) 对称; ③函数 f ( x) 在 (0, ) 是增函数, ④将 y ?

?

8

的图像向右平移 【答案】③④

3? 可得到 f ( x) 的图像.其中正确的结论序号为. 8

9. 【2015 年期中备考总动员模拟卷【四川】 】已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

)的

部分图象如图所示, P 是图象的最高点, Q 为图象与 x 轴的交点, O 为坐标原点,若 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 7 页

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OQ ? 4, OP ? 5 , PQ ? 13.

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式, ( 2 )将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y ? g ( x) 的图象,当 x ? (?1,2) 时,求函数

h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的值域.
【答案】 (1) f ( x) ? 2sin(

?

x? ) 6 3

?

(2) (?1,3)

10. 【2015 届北京市海淀区一模】已知函数 f ( x) ? sin 2 ( x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期及其图象的对称轴方程;

π ). 4

π ? x) 的单调递减区间. 3 kπ π ? 7? 【答案】 (1) π , x ? (2) [k? ? ? (k ? Z) , , k? ? ](k ? Z ) . 2 4 12 12
(2)求 f ( 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 8 页

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