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9.8曲线与方程课时训练



§ 9.8
一、选择题(每小题 7 分,共 35 分)

曲线与方程
)

1.f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的( A.充分不必要条件 C.充要条件 2.方程(x-y) +(xy-1) =0 的曲线是( A.一条直线和一条双曲线 C.两个点
2 2

>B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.两条双曲线 D.以上答案都不对

3.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一 动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( A.椭圆 C.抛物线 ) B.双曲线 D.圆

4.有一动圆 P 恒过定点 F(a,0)(a>0)且与 y 轴相交于点 A、B,若△ABP 为正三角形,则点 P 的轨迹为( A.直线 ) B.圆 C.椭圆 D.双曲线

5.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平 面内的轨迹是( A.直线 ) B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6.过点 P(1,1)且互相垂直的两条直线 l1 与 l2 分别与 x、y 轴交于 A、B 两点,则 AB 中点 M 的轨迹方程为____________. 7.点 P 到点(1,1)和到直线 x+2y=3 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为____________.

x 8.P 是椭圆 a

2

2

?

y b

2

2

→ → =1 上任意一点, F 1 , F 2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ=PF1+

→ PF2,则动点 Q 的轨迹方程是______________. 9.已知两条直线 l1:2x-3y+2=0 和 l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与 l1、 l2 都相交,且 l1 、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,则圆心的轨迹方程是 ____________.

三、解答题(共 41 分) 10.(13 分)设圆 C:(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程. 11.(14 分)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切.求动圆圆心 M 的轨迹方程. 12.(14 分)已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; → → (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P,Q,交直线 l1 于点 R,求RP· 的最小值. RQ 答案 1.C 2. C 3. A 4. D 5. D 6. x+y-1=0 7. 2x-y-1=0 8. x2 y2 =1 2+ 4a 4b2

9. (x+1)2-y2=65 10. 解 如图所示,设 OQ 为过 O 的一条弦,P(x,y)为其中点,则 CP⊥OQ. 方法一 直接法. 1 设 OC 的中点为 M?2,0?, ? ? 1 1 则|MP|= |OC|= , 2 2 1 1 得方程?x-2?2+y2= , ? ? 4 其中 0<x≤1. 方法二 定义法. 1 ∵∠OPC=90° ,∴动点 P 在以 M?2,0?为圆心,OC 为直径的圆上. ? ? 1 1 用圆的方程得解:?x-2?2+y2= (0<x≤1). ? ? 4 方法三 代入法. 设弦与圆 C 的另一交点为 Q(x1,y1),

?x= 2 , 则? y ?y= 2
x1
1

? ?x1=2x, ?? ?y1=2y. ?

又∵(x1-1)2+y2=1, 1

∴(2x-1)2+(2y)2=1 (0<x≤1).
?|MC1|=R+1 ? 11. 解 设动圆半径为 R,则? , ? ?|MC2|=R+3

∴|MC2|-|MC1|=2<6. ∴动点 M 的轨迹是以(-3,0),(3,0)为焦点,实轴长为 2 的双曲线的左支,由 a=1, c=3,得 b2=c2-a2=8,

y2 ∴动圆圆心的轨迹方程为:x2- =1 (x<0). 8

12. 解 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x2=4y. (2)由题意知,直线 l2 的方程可设为 y=kx+1 (k≠0), 与抛物线方程联立消去 y,得 x2-4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4. 2 又易得点 R 的坐标为?-k,-1?, ? ? 2 2 → → ? RP· =?x1+k ,y1+1?·x2+k ,y2+1? RQ ? ?? ? 2 2 =?x1+k??x2+k?+(kx1+2)(kx2+2) ? ?? ? 2 4 =(1+k2)x1x2+? k+2k?(x1+x2)+ 2+4 ? ? k 2 4 =-4(1+k2)+4k?k+2k?+ 2+4 ? ? k 1 2 =4?k +k2?+8. ? ? 1 ∵k2+ 2≥2,当且仅当 k2=1 时取等号, k → → → → RP· ≥4×2+8=16,即RP· 的最小值为 16. RQ RQ



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