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陕西省西工大附中2014届高三上学期第一次适应性训练数学(理)试题Word版含答案



2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第一次适应性训练

数 学(理科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本 大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 1+ 3i A. ?8

?

?

3

?(

) C. ?8i D. 8i )

B. 8

? ? ? ? ? ? ? ? ? | 2. 若向量 a ,b 满足 | a |? 1 , b |? 2 , a ? (a ? b) , a 与 b 的夹角为 且 则 ( ? 2? 3? 5? A. B. C. D. 2 3 4 6
3. ?
? 1 ? x

? 2x 2 ? 的展开式中常数项是(
?

?

5

) D. ?10

A.5

B. ?5

C.10

4.把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数 y ? e x 的反 函数图像重合,则 f(x)=( A. ln x ? 1 ) C. ln( x ? 1) D. ln( x ? 1)

B. ln x ? 1

9 , 底面是边长为 3 4 的正三角形,若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) 5? ? ? ? A. B. C. D. 12 3 4 6

5. 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直, 体积为

6.已知抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点与双曲线 曲线的离心率为( ) 2 5 4 15 A. B. 5 15

x2 ? y 2 ? 1 的一个焦点重合,则该双 a2

C.

2 3 3

D. 3

7.在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和 为奇数的共有( ) A.36 个 B.24 个 C.18 个 D.6 个

8.已知等差数列 ?an ? 中,S n 为其前 n 项和,若
a1 ? ?3 , S5 ? S10 ,则当 S n 取到最小值时 n 的值为



) A.5

B.7

C.8

D.7 或 8

9.定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图 5? ? ? 5? ? ? 输出的 s 值, ? 2 cos ? ? ? 2 tan ? 的值为 则 ( ) 3 ? ? 4 ? ? A.4 B.3 C.2 D.―1 10.右图是两组各 7 名同学体重(单位: kg )数据的茎叶图.设 1 , 2 两组 数据的平均数依次为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (注:标准差 s ?
1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] , n



其中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均数) A.x1 ? x2 ,s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 B.x1 ? x2 ,s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二.填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每 小题 5 分,共 25 分) 11.若 ? x 2 dx ? 9, 则常数T的值为
0 T

;

12.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排 列的规律, n 行 第 (n≥3) 从左向右的第 3 个数为 . 13.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ?
π ,则 B ? 3



k=

14.若直线 l : y ? kx ? 1 被圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 截得的弦最短,则 ;

15.选做题(请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 评阅记分) ? A (极坐标系与参数方程) 极坐标系下曲线 ? ? 4 sin ? 表示圆, 则点 A(4, ) 到 6 圆心的距离为 ; B(几何证明选讲)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? .

C(不等式选讲)若关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 存在实数解,则实数 a a 的取值范围是 . 三. 解答题: 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 (本大题共 6 小题, 共 75 分) 16. (本小题共 12 分)已知在等比数列 {a n } 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1 的 等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? a n (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 S n .

17. (本小题 12 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c (Ⅰ)叙述并证明正弦定理; (Ⅱ)设 a ? c ? 2b , A ? C ?

?
3

,求 sin B 的值.

18. (本小题 12 分)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学 从中任取 3 道题解答. (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题 3 4 的概率都是 , 答对每道乙类题的概率都是 , 且各题答对与否相互独立.用 X 表 5 5 示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望.

19. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ? 底面 ABCD,AB//DC, AD ? DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上任一点. (Ⅰ)求证:无论 E 点取在何处恒有 BC ? DE ; ??? ??? ? (Ⅱ)设 SE ? ?EB ,当平面 EDC ? 平面 SBC 时, 求 ? 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下求二面角 A ? DE ? C 的 大小.

20. (满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,短轴长为 4,且有一个焦 点与抛物线 y 2 ? 4 5 x 的焦点重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)已知经过定点 M(2,0)且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点, 试问在 x 轴上是否另存在一个定点 P 使得 PM 始终平分 ?APB ?若存在求出 P 点 坐标;若不存在请说明理由.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 与 x ? 切线斜率;
?1 ? (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ,1? 上 ?3 ? 单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 f ( x) 的图像 C1 与函数 g ( x) 的 图像 C2 交于 P、Q 两点,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,证明:C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不可能平行.

1 2 ax ? 2 x . 2

1 处的切线相互平行,求 a 的值及 2

2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第一次适应性训练

数学(理科)参考答案
一、选择题:1.A 2.C 3.D 10.C 二、填空题:11.3; 12. 4.D 5.B 6.C 7.B 8.D 9.A

n2 ? n ? 6 ; 2

13.

? ; 4

14.1;

15.A. 2 3 ;

B. 3 ;

C. (??, 0) ? ( 1 , ??) 3

三、解答题: 16. 【解】(Ⅰ)设公比为 q,则 a2 ? q , a3 ? q 2 ,∵ a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差 : 中项,∴ 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) ? 2q ? 1 ? (q 2 ? 1) ? q ? 2 ,∴ an ? 2n ?1 (Ⅱ) bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2n?1 则 Sn ? [1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)] ? (1 ? 2 ? ? ? 2n?1 )
n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? ? ? n 2 ? 2n ? 1 2 1? 2

17. 【解】(Ⅰ)设 ?ABC 的外接圆半径为 R : a b c 正弦定理: ? ? ? 2 R (证明从略) sin A sin B sin C (Ⅱ)由正弦定理 a ? c ? 2b ? sin A ? sin C ? 2sin B A?C A?C ? ?? B ? ? 2sin cos ? 2sin B ? 2sin ? ? ? cos ? 2sin B 2 2 6 ?2 2?
B B B B 3 B 13 , cos ? ? 4sin cos ? sin ? 2 2 2 2 4 2 4 B B 3 13 39 ∴ sin B ? 2sin cos ? 2 ? ? ? 2 2 4 4 8 ? 3 cos
3 C6 5 ? 3 C10 6 (II)X 的所有可能的取值为:0,1,2,3

18. 【解】 :(I) p ? 1 ?

4 ?2? 1 ? 2 ? 4 28 1 3 2 1 , P( X ? 1) ? C2 ? ? ? ? ? ? ? P ( X ? 0) ? ? ? ? ? 5 5 5 ? 5 ? 5 125 ? 5 ? 5 125 57 2 3 3 1 1 3 2 4 P( X ? 2) ? C2 ? ? ? C2 ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125 36 2 3 3 4 P( X ? 3) ? C2 ? ? ? 5 5 5 125 ∴X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 28 57 36 P 125 125 125 125 4 28 57 36 ∴ EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ?2 125 125 125 125

2

2

19. 【解】(Ⅰ)∵BC ? BD,∴BC ? 平面 SBD,而 DE ? 面 SBD,∴ BC ?DE : ??? ??? ? (Ⅱ)设 E(x, y, z) , SE ? ? EB ? (x, y, z ? 2) ? ?(1 ? x,1 ? y, ?z) ? ? 2 ? ? ? ? E? , , ? ,取平面 EDC 的一个法向量 n1 ? (2, 0, ??) , ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ??? ??? ? ∵ SC ? (0, 2, ?2) , SB ? (1,1, ?2) ,取平面 SBC 的一个法向量 n 2 ? (1,1,1) ? ? 平面 EDC ? 平面 SBC ? n1 ? n 2 ? 0 ? ? ? 2 ? (Ⅲ)当 ? ? 2 时, E( 2 , 2 , 2 ) ,取平面 ADE 的一个法向量 n1 ? (0,1,1) , 3 3 3 ? ? ? n1 ? n 2 1 ? ? , 取平面 CDE 的一个法向量 n 2 ? (1, 0, ?1) ,则 cos ? ? ? | n1 | ? | n 2 | 2 ∴二面角 A ? DE ? C 为 120° 20. 【解】 : (Ⅰ) ∵椭圆的短轴长为4, 2b ? 4 ? b ? 2 , ∴ 又抛物线 y 2 ? 4 5 x
x2 y 2 ? 1. 的焦点为 ( 5, 0) , c ? 5 , a 2 ?b2 ?c2 ? 9 , ∴ 则 ∴所求椭圆方程为: ? 9 4

(Ⅱ)设 l : x ? my ? 2 ,代入椭圆方程整理得: (4m2 ? 9) y 2 ? 16my ? 20 ? 0 16m ? ? y1 ? y2 ? ? 4m 2 ? 9 ? 则? ,假设存在定点 P(t ,0) 使得 PM 始终平分 ?APB , ? y y ? ? 20 ? 1 2 4m 2 ? 9 ? y y 则 kPA ? kPB ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? y1 (my2 ? 2 ? t ) ? y2 (my1 ? 2 ? t ) ? 0 x1 ? t x2 ? t ? 2my1 y2 ? (2 ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ? m(2t ? 9) ? 0 , ∴ 对 于 ?m ? R 恒 成 立 , ∴ 9 t? , 2 ?9 ? 故存在定点 P 的坐标为 ? , 0 ? . ?2 ? 1 21. 【解】(Ⅰ) y ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? ln x ? ax 2 ? 2 x , : 2 1 则 h?( x) ? ? ax ? 2 x 1 ∵在 x ? 1 与 x ? 处的切线相互平行, 2 a ∴ h?(1) ? h?( 1 ) ? ?a ? 3 ? ? ? 4 ? a ? ?2 , k ? h?(1) ? 5 2 2 1 ,1) 上单调递减 (Ⅱ) h( x) 在区间 ( 3 ? h?( x) ? 0 在区间 ( 1 ,1) 上恒成立 3
1 x

? ax ? 2 ? 0 ? a ?

1 x2

? 2 ,∵ x ? ( 1 ,1) ,∴ 3 ? x 3

1 x2

? 2 ? 15 , x

只要 a ? 15 (Ⅲ) f ?( x) ? 1 , g ?( x) ? ax ? 2 x 假设有可能平行,则存在 a 使 2 a ?x ?x ? ?x ?x ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2 f ? ? 1 2 ? ? g? ? 1 2 ? ? x1 ? x2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2( x1 ? x2 ) a 2 ? ? ( x1 ? x2 2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( 1 ax12 ? 2 x1 ) ? ( 1 ax2 2 ? 2 x2 ) = y1 ? y2 2 2 x1 ? x2 2 x x = ln x1 ? ln x2 ? ln 1 ,不妨设 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? t >1 x2 x2 2(t ? 1) 2(t ? 1) 则方程 ? ln t 存在大于 1 的实根,设 ? (t ) ? ? ln t t ?1 t ?1 ?(t ? 1) 2 ? 0 ,∴ ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,这与存在 t>1 使 ? (t ) ? 0 矛盾. 则 ? ?(t ) ? t (t ? 1)



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