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两条直线的位置关系及两条直线的交点



两条直线的交点及两条直线的位置 关系

问题引入
二元一次方程组的解有三种不同 情况(唯一解,无解,无穷多解),同 时在直角坐标系中两条直线的位置关 系也有三种情况(相交,平行,重 合),下面我们通过二元一次方程组 解的情况来讨论直角坐标系中两直线 的位置关系.

引入新知
1,两条直线的交点:
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交,由于交点同时在两条直线上,交点坐标一定 是它们的方程组成的方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解;反之,如果方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0

只有一个解,那么以这个解为坐标的点就是直 线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点.

例题解析
例1:求下列两条直线的交点:l1: 3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.

解:解方程组
3x+4y-2 =0 得 2x+y+2 = 0 x= -2 y=2

∴l1与l2的交点是M(- 2,2).

2,两直线互相平行的判定 如果直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2 那么 L1∥L2 ? k1=k2 且b1 ? b2
l1与l2重合 ? k1 ? k2且b1 ? b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立的,缺少这个前提,结论并不成立. 特殊情况下的两直线平行:

两直线的斜率都不存在时,互相平行.

结论:我们把与直线Ax+By+C=0 平行的直线方程 表示成Ax+By+D=0 (D ? C), 其中D待定(平行直线系)

同样可证明与直线y=kx+b平行的 直线可表示为y= kx+ b1

?

如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0 那么
L1∥L2 ? A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0;

l1与l2重合 ? A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2,λ≠ 0
l1与l2相交 ? A1B2-A2B1≠0;

例2.求通过下列各点且与已知直线 平行的直线方程。

1 (1)(?1,2), y ? x ? 1 2
(2)(1,?4),2 x ? 3 y ? 5 ? 0

例题解析
例3 已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状,并给出证明.
1 1 解 : k AB ? ? kCD ? ? 2 2 3 3 k BC ? k DA ? 2 2 ? k AB ? kCD , k BC ? k DA
y

D
C

A
O x

? AB∥CD , BC∥DA 因此四边形ABCD 是平行四边形 .

B

3,两条直线垂直的判定 如果两直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 则 l1 ? l2 ? k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不成立.

特殊情况下的两直线垂直.
当两条直线中有一条直线斜率不存在,另一条 直线的斜率为0时,两直线垂直。

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1或l1, l2一斜率不存在另一斜率 为0

例4.判断下列各组中的两条直线是否垂直 (1)2x-4y-7=0与2x+y-5=0
1 (2)y=3x+1与y= ? x+5 3

(3)2x=7与3y-5=0

如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0. 那么L1⊥L2 ? A1A2+B1B2=0

一般地,我们把与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程表示为Bx-Ay+D=0 ,其中D待 定(垂直直线系)

同样可证明与直线y=kx+b(k ?0)垂直的

1 直线可表示为y= ? x+ b1 k

例5.求通过下列各点且与已知直线垂直 的直线方程: (1)(-1,3),y=2x-3

(2)(1,2),2x+y-10=0

例题解析
例6已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判 断△ABC的形状.
1 ? ( ?1) 1 解 : k AB ? ? ?? 1? 5 2 3?1 k BC ? ?2 2?1 ? k AB ? k BC ? ?1 ? AB ? BC 即?ABC ? 90 0 因此?ABC 是直角三角形.
y

C B

O

x

A

例题解析
例7:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y -7=0的交点,且垂直于直线x+3y-5=0的直线 方程. x+2y-1=0, 得 x=3 解法一:解方程组 y= -1 2x-y-7=0

∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)
又∵设所求直线的方程是 3x-y+D=0

∴代入点(3,-1)得D=-10

∴所求直线方程为 3x-y-10=0

例题解析
解法二:所求直线在直线系 2x-y-7+λ(x+2y-1)=0中 经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0
2? ? ? ? ?3 2? ? 1

解得

λ= 1/7

因此, 所求直线方程为3x-y-10=0.

课内练习
1.两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y 轴上,则m的值是 ( ) (A)0 (B)-24 (C)±6 (D)以上都不对 2.若直线kx-y+1=0和x-ky = 0相交,且交点在 第二象限,则k的取值范围是( ) (A)(- 1,0) (B)(0,1] (C)(0,1) (D)(1,+∞) 3.若两直线(3-a)x+4y=4+3a与2x+(5-a)y=7平行, 则a的值是( ) (A)1或7 (B)7 (C)1 (D)以上都错

课内练习
4. 直线A1x+B1y+C1=0与直线 A2x+B2y+C2=0重合,则必有 (A)A1=A2,B1=B2,C1=C2

A1 B1 C1 ? ? (B) A2 B2 C2 (C)两条直线的斜率相等截距也相等
(D)A1=mA2,B1=mB2,C1=mC2,

(m∈R,且m≠0)

练习 已知直线(a ? 2) x ? (1 ? a ) y ? 3 ? 0



(a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,求?的值

a ? ?1

?l1 , l2相交 ? 唯一解 直线 l1 , l2解方程组?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? ? ? 无解 ?l1 , l2平行 ? ?

课堂小结

?1.两条直线平行或垂直的等价条件; ?2.应用条件, 判定两条直线平行或垂 直; ?3. 应用直线平行的条件, 判定三点共 线.

课后作业

P77 习题2-1 6.



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