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4.1.1《圆的标准方程》课件



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第四章 圆的方程

1

4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程

2

本节课主要学习圆的标准方程和点与圆的位置关系。本课件

在复习直线的倾斜角、斜率的概念、斜率公式和直线的点斜式方

/>程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程和直线的一般式方程 的基础上,以苏轼的著名诗词,《水调歌头 明月几时有》引入新 课,场景处处刻画出圆,激起学生们对圆的研究热情。 以学生探究为主,运用对直线的研究思路,从圆的定义入手推

导出圆的标准方程,并用方程研究点与圆的位置关系。通过例 1
熟悉圆的标准方程和点与圆的位置关系,通过例2、例3探究圆的 标准方程的求法,让学生体会待定系数法和代入法求圆方程。
3

自古以来人们期盼花好
月圆,祈求万事圆圆满 满,圆是怎么定义的? 直线的方程有五种不同 的表示形式,那么如何

求圆的方程呢?

《水调歌头》(苏轼)
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4

圆的标准方程 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

定点

圆心

定长

半径

当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了. 因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.

5

如图,在直角坐标系中,圆心C 的位置用坐标(a,b) 表示,半 径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心C(a,b) 的距离.

则 |MC|= r
圆上所有点的集合

y

M(x,y)
x

P = { M | |MC| = r }

O

C

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

6

圆的标准方程
把 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 称为圆心为A(a, b),半径长 为r 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
2 2 2

说明:
1.特点:明确给出了圆心和半径。 2.三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2
7

点与圆的位置关系 在平面几何中,如何确定点与圆的位置关系?

M M O O O |OM|>r

M

|OM|<r

|OM|=r

8

点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么?

(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2

点M0在圆上 点M0在圆内

(x0-a)2+(y0-b)2>r2

点M0在圆外

9

典例展示
例1.写出圆心为 A(2,?3),半径长等于5的圆的方程,并 判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1) 是否在这个圆上.
解:圆心是

A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准方程是:
2 2

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 左右两边相等,点 M 的坐标适合圆的方程,所以点 M 在这个 1 1
把 M1 (5,?7) 的坐标代入方程 圆上; 把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边不相等,



M 2 的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不在这个圆上.

10

练习 1:已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4),求以 P1P2 为直径的圆的方程, 并判断 M(6,3),Q(8,1)是在圆上?圆外?圆内?
解:由P1P2为直径可知圆心的坐标为(4,6),半径为 ∴圆方程为(x-4)2+(y-6)2=5, 把M、Q两点坐标代入圆的方程(6-4)2+(3-6)2=13>5, (8-4)2+(1-6)2=41>5, ∴M、Q两点均在圆外.

5



11

例2. ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),

C(2, -8),求它的外接圆的方程.

y
分析:不在同一条直线上的 三个点可以确定一个圆,三 角形有唯一的外接圆. 因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它们的坐标都满 足方程。
C(2,-8)
12

A(5,1) O D

x
B(7,-3)

解:设圆方程为

( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

? (5 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 则 ?(7 ? a ) ? (?3 ? b) ? r , ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 . ?

y
A(5,1)

O D

x
B(7,-3)

2 a ? 4 b ? 16, ? 所以 ? ? a ? b ? ?1. ? a ? 2, 关键:确定 ? 圆心和半径 得 ?b ? ?3,
? r ? 5. ?

C(2,-8)
2

所以,所求圆的方程为 ( x ? 2)2

? ( y ? 3) ? 25.

13

用待定系数法求圆方程的基本步骤: (1)设圆方程 ; (2)列方程组; (3)求系数; (4)代入系数写出方程。 几何法 圆心:两条弦的中垂线的交点
O

y
A(5,1)

x
D

B(7,-3)

半径:圆心到圆上一点
C(2,-8)
14

例3: 已知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,-2),且圆心C在直线l: x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.

15

解:因为A(1,1),B(2,-2),所以AB的中点

k AB

?2 ? 1 ? ? ?3 2 ?1

3 1 D( , ? ) 2 2

所以AB的垂直平分线的方程为

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2
即 x ? 3y ? 3 ? 0

?x ? 3y ? 3 ? 0 得 由? ?x ? y ?1 ? 0

? x ? ?3 ? ? y ? ?2
2 2

2 2 r ? AC ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ?5 所以C(-3,-2)

所以所求圆的标准方程为

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25

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练习2.根据下列条件,求圆的方程。 (1)圆心在点C(-2,1),并过点A(2,-2);

(2)圆心在点C(1,3),并与直线3x-4y-6=0相切;
(3)过点 (0,1) 和点 (2,1) , 半径为

5 。

解:(1) (x+2)2+(y-1)2 = 25
(2) (x-1)2+(y-3)2 = 9 (3) (x-1)2+(y+1)2 = 5 或 (x-1)2+(y-3)2 = 5
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求圆的标准方程可分为两种:几何法和待定系数法. 1.几何法 它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径, 代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.常用的几何性质有:圆心

与切点的连线垂直于切线;圆心到切点的距离等于圆的半径;圆的弦垂
直平分线过圆心;两条弦的垂直平分线的交点为圆心等.

2.待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参 数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤

是:先设方程,再列式,后求解.
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1.圆的标准方程.

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

(圆心C(a,b),半径r)

2.点与圆的位置关系的判定.

3.求圆的标准方程的方法:
①待定系数法;②代入法(几何法).

19

课后练习

课后习题

20

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