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2016年希望杯数学竞赛初赛初二试卷



第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 第 1 试试题 2016 年 3 月 20 日 上午 8:30 至 10:00 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. 已 知 ?ABC 和 ?A1B1C1 ,D 和 D1 分 别 是 BC 和 B1C1 的 中 点 , 下 列 条 件 中 能 判 断

?A B C? ?A1B1C1 的是(

r />)

(A) ?C ? ?C1,AC ? A1C1,AD ? A1D1 (B) ?B ? ?B1,AB ? A1B1,AC ? A1C1 (C) AD ? A1D1 , BD ? B1D1,CD ? ?C1D1 (D) ?BAD ? ?B1 A1D1 , AB ? A1B1,AD ? A1D1 2. 在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点。若一次函数 y ? x ? 3 与

y ? kx ? x(k为整数) 的图像的交点是整点,则 k 的不同取值的个数是(



(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 3.A、B 两班共有 90 名学生,且各班男生、女生的人数比分别是 5:6,12:11,那么两班混合 后男生、女生的人数比是( ) (A)1:1 (B)8:7 (C)11:13 (D)22:23 4.已知不等式 x ? 1 ? 2 与不等式 x ? a(a ? 0) 的解集没有公共部分,那么 a 的取值范围是 ( ) (A) 0 ? a ? 1 5.若关于 x 的不等式组 ? (A) ? 1 ? a ? 1 (B) 1 ? a ? 2 (C) 0 ? a ? 2 (D) a ? 1 )

?2 x ? 1 ? 3( x ? 2) , 只有四个整数解,则 m 的取值范围( ?2 x ? m ? 1 ? 0
(B) ? 1 ? m ? 1 (C) ? 1 ? m ? 1

(D) ? 1 ? m ? 1

6.如图 1,在 ?ABC 中,AB=AC,BC=CD,AE=ED=DB,则 ?A ? (


180 11
?

(A) 36

?

(B) 30

?

(C)

180 7

?

(D)

7. LetA ? (n ?1)(n ?1)(n ? 2)(n ? 3)(n ? 4) ?1 and is an arbitrary natural number, if the square root of A+p is rational number , then the value of p is ( (A)2 (B) )

9 4

(C)1

(D)

5 4

8.菱形 ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示,其中点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标 为(0, ),动点 P 从点 A 出发,沿 A→B→C→D→A→B→?的路径,在菱形的边上以每

秒 0.25 个单位长度的速度移动,移动到第 2016 秒时加快速度,仍沿原来的路径,以每秒 1 个单位长度的速度移动,又移动了 2015 秒停止,此时点 P 的坐标为( ) (A)AB 的中点 (B)BC 的中点 (C)CD 的中点 (D)AD 的中点

9.从长度分别是 1,2,3,?,14 的 14 条线段中任取出 n 条线段,其中必有 3 条线段能构成一个三角形,则 n 的最小值是( )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

10. 如 图 3 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 是 坐 标 原 点 , A 是 函 数 1 k y ? ( x ? 0) 图 象 上 一 点 , A O 的 延 长 线 交 函 数 y ? ( x > 0 , k > 0 ) 的 x x 图 象 于 点 C, 点 A 关 于 y 轴 的 对 称 点 为 A′ , 点 C 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 C ′ , 连 接 C C ′ , 交 x 轴 于 点 B , 连 接 A B , A A ′ , A'C ' , 若 由 线 段 AC, CC′ , CA′ , A′ A 所 围 成 的 图 形 的 面 积 等 于 10, 那 么 ?A B C 的面积等于( )
(A)4 (B)6 (C) 2 6 (D) 4 3

二、A 组填空题(每小题 4 分,共 40 分) 11.已知 ab ? 1, bc ? 1, ca ? 1, A ? (abc)
2015

,则 A 的取值范围是



12.若一次函数 y ? kx(k是参数) 与反比例函数 y ? 则 3x1 y2 ? 5x2 y1 ? 。

4 的图像交于点 A ( x1 , y1 ) 和B ( x2 , y2 ) x

(2k ?1 )x ? (k ? 3) ? (k ?11) ? 0 的图像必经过定 13.无论 k 取何值,关于 x 的一次函数
点 14. 。

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ?? ? ) ? (1 ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? ? ? ) ? ( ? ?? ? ) 2 3 2016 2 3 2015 2 3 2016 2 3 2015

=

。 15.周长是 34,三边长都是整数且互不相等的三角形有 16.若 a ? 3 ? 1 ,则 a ? a ? a ? a ? a ? 1 =
5 4 3 2

个。 。

17.As shown in Fig.4, AD ? BC ,and BE ? AC ,AD intersects BE at F,if AF=BC=3,CE=1,then the area of ?ABC is .(英汉词典:intersect 相交) 18.设 a ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 2016 ,则 a 除以 7 所得的余数是
2 2 2 2



19.已知梯形的两条对角线互相垂直,若上底和下底的和是 12,两条对角线的和是 16,则 这个梯形的面积是 。

(x ? 20.若实数 x , y 满足

x 2 ? 2016) ( y ? y 2 ? 2016 ) ? 2016 ,则 x ? y ?



三、B 组填空题(每小题 8 分,共 40 分) 21.在平面直角坐标系中,已知点 A(2,3)点 B(3,1),将点 A 绕点 B 顺时针旋转 90 度到 点 C,则点 C 的坐标是 ,直线 AC 关于 x 轴对称的直线的解析式是 。 22.有一张正方形纸片,第一次将它裁成两张,第二次从得到的两张纸片中取出一张,将它 裁成两张,第三次从得到的三张纸片中取出一张继续如此剪裁,??这样共裁了 99 次,且 每次都是沿不过多边形顶点的直线裁,则得到的所有多边形纸片的内角的和是 ,其 中边数最多的多边形最多有 条边。 23.关于 x 的三次四项式 ax ? bx ? cx ? d ,当 x 依次取 1,2,3,4 时,多项式的值分别是
3 2

1 1 1 1, , , , 则a?b ? 2 3 4

,c+d=


?

24. Rt ?ABC 三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c ,若 ?C ? 90 ,

1 1 1 ? ? ?0, a b a?b

c ? 10 ? 2 5 ,则 a ?

, S?ABC ?



25.如图 5,在正方形 ABCD 中,M 是对角线 BD 上一点,若 AB= 2 ,则 MD+2MC 的最小值 是 ,此时 ?BMC ? 度。



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