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高中定积分教案



定积分教案
课题:汽车行驶的路程 教学目标: 1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程; 2.感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近) 。 3.了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点; 教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限) . 教学难点:过程的理解. 教学过程: 一.创设情景 复习:1.连续函

数的概念;2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤; 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反 之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢? 二.新课讲授 问题:汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 S ? vt .如果汽车 作变速直线运动,在时刻 t 的速度为 v ? t ? ? ?t ? 2 (单位:km/h) ,那么它在 0≤ t ≤1(单
2

位:h)这段时间内行驶的路程 S (单位:km)是多少? 分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路 程问题, 化归为匀速直线运动的路程问题. 把区间 0 ,1 分成 n 个小区间, 在每个小区间上, 由于 v ? t ? 的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间 上行驶路程的近似值,在求和得 S (单位:km)的近似值,最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S (单位:km)的精确值. (思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思 想方法求出匀变速直线运动的路程) . 解:1.分割 在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 0 ,1 等分成 n 个小区间:

?

?

?

?

?

?

? 1 ? ?1 2? ? n ?1 ? 0 , ? , ? , ? ,?, ? ,1? ? ? n? ?n n? ? n ?
记第 i 个区间为 ?

i i ?1 1 ? i ?1 i ? ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 ?t ? ? n n n ? n n?

把汽车在时间段 ? 0 ,

? ?

1 ? ?1 2? ? n ?1 ? ,? , ? , ?,? ?, ,1? 上行驶的路程分别记作:?S1 ,?S2 , ? n? ?n n? ? n ?

?Sn

显然, S ?

? ?S
i ?1

n

i

(2)近似代替 当 n 很大,即 ?t 很小时,在区间 ?

? i ?1 i ? , ? 上,可以认为函数 v ?t ? ? ?t 2 ? 2 的值变化 ? n n?
i ?1 处的函数值 n

很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点
2

? i ?1 i ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? v? ? ? ?? ? ? 2 ,从物理意义上看,即使汽车在时间段 ? n , n ? (i ? 1, 2 , ? , n) ? ? ? n ? ? n ?
上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻

i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 处的速度 v ? ? ?? ? ? ? 2 作匀 n ? n ? ? n ?

2

速直线运动,即在局部小范围内“以匀速代变速” ,于是的用小矩形的面积 ?Si? 近似的代替 ,则有 ?Si ,即在局部范围内“以直代取”
2 ? ? i ? 1 ?2 ? 1 i ?1 ? i ?1 ? 1 2 ? ? ?Si ? ?Si? ? v ? ???t ? ? ? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? ? (i ? 1,2,?, n) ① n n n ? n ? ? ? ? ? n n ? ? ? ?

(3)求和
2 n n ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 2 ? ? 由①, Sn ? ? ?Si ? ? v ? ???t ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? n ? i ?1 ? ? ? n ? n n? ? n

1 ?2 1 ?1? 1 2 ? n ?1 ? 1 2 ? = ?0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 = ? n3 ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 n ?n? n n n ? ?
=?

2

2

1 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 2 = ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 3 n 6 3 ? n ?? 2n ?
1? 3? 1 ?? 1 ? ??1 ? ? ? 2 n ?? 2n ?

从而得到 S 的近似值 S ? Sn ? ? ?1 ? (4)取极限

当 n 趋向于无穷大时,即 ?t 趋向于 0 时, Sn ? ? ?1 ?

1? 3?

1 ?? 1 ? ??1 ? ? ? 2 趋向于 S ,从 n ?? 2n ?

而有 S ? lim Sn ? lim
n?? n??

? n ?v ? ?
i ?1

n

1 ? i ?1 ? ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2? ? ? ? lim ? n ? n?? ? 3 ? n ?? 2n ? ? 3

思考: 结合求曲边梯形面积的过程, 你认为汽车行驶的路程 S 与由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0 和

曲线 v ? ?t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系? 结合上述求解过程可知, 汽车行驶的路程 S ? lim S n 在数据上等于由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0
n ??

和曲线 v ? ?t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积. 一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v ? v ?t ? ,那么我们也可以采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在 a≤ t ≤b 内所作的位移 S . 三.典例分析 例 1. 弹簧在拉伸的过程中, 力与伸长量成正比, 即力 F ? x ? ? kx( k 为常数,x 是伸长量) , 求弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功. 分析: 利用 “以不变代变” 的思想, 采用分割、 近似代替、 求和、 取极限的方法求解. 解:将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ,则所作的功为 W ? F ? x . 1.分割 在区间 ?0 , b? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 0 ,1 等分成 n 个小区间:

?

?

? ? n ? 1? b ? ? b ? ? b 2b ? , b? , ,?, 0 , , ? ? ? n? ? ? ?n n ? ? ? n ?
记第 i 个区间为 ?

? ? i ? 1? b i ? b ? i ? b ? i ? 1? b b , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 ?x ? n ? n ? n n ? ? n

把在分段 ? 0 ,

? ?

? ? n ? 1? b ? b ? ? b 2b ? , b ? 上所作的功分别记作:?W1 ,?W2 ,?, ,? , ,?,? ? ? n? ?n n ? ? n ?

?Wn
(2)近似代替 有条件知: ?Wi ? F ? (3)求和

? ? i ? 1? b ? ? i ? 1? b ? b (i ? 1, 2 , ? , n) ? ? ?x ? k ? n n ? n ?

Wn ? ? ?Wi ? ? k ?
i ?1 i ?1

n

n

? i ? 1? b ? b
n

n

=

kb2 kb2 n ? n ? 1? kb2 ? 1 ? ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1?? ?1 ? ? ? ? n2 n2 ? 2 2 ? n?
从而得到 W 的近似值 W ? Wn ?

kb2 ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? n?

(4)取极限 W ? lim Wn ? lim
n?? n??

? ?Wi ? lim
i ?1

n

kb2 ? 1 ? kb2 ?1 ? ? ? n ?? 2 ? n? 2
kb2 2

所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为:

课题:定积分的概念(2 课时)
教学目标: ⒈通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; ⒉借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 ,了 解 定 积 分 的 概 念 ,能 用 定 积 分 法 求 简 单的定积分. 3 . 理解掌握定积分的几何意义; 教学重点:定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 复习: 1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤: 分割→以直代曲→求和→取极限(逼近 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 二.新课讲授 1.定积分的概念一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点

a ? x0 ? x1 ? x2 ?? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x ?
n

b?a ) ,在每个小区间 n
n

? xi?1 , xi ? 上取一点 ?i ?i ? 1,2,?, n? ,作和式: Sn ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1 i ?1

b?a f (?i ) n

如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数

S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分。记为: S ? ? f ( x)dx
a

b

其中 f ( x ) 成为被积函数, x 叫做积分变量, [ a, b] 为积分区间, b 积分上限, a 积分下限。 说明: (1)定积分

?

b

a

f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)称为

?

b

a

f ( x)dx ,而不是 Sn .
(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 ?a , b? ;②近似代替:取点

?i ?? xi ?1 , xi ? ;③求和: ?
i ?1

n

n b b?a b?a f (?i ) ;④取极限: ? f ( x)dx ? lim ? f ??i ? a n ?? n n i ?1

(3)曲边图形面积: S ? 变力做功 W ? 2.定积分的几何意义

? f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ?
a

b

t2

t1

v(t )dt ;

?

b

a

F (r )dr

说明:一般 情况下,定 积 分

?

b

a

f ( x)dx

的几何意义是介于 x 轴、 函数 f ( x ) 的图形以及直线 x ? a , x ? b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正 号,在 x 轴下方的面积去负号. (可以先不给学生讲) . 分析:一般的,设被积函数 y ? f ( x) ,若 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上可取负值。 考察和式 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ? ?? f ( xi )?x ? ?? f ? xn ? ?x 不妨设 f ( xi ), f ( xi ?1 ),?, f ( xn ) ? 0 于是和式即为 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ? ?? f ( xi ?1 )?x ? {[? f ( xi )?x] ? ?? [? f ? xn ? ?x]}

? ? f ( x)dx ? 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)
a

b

2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2

? 1dx ? b ? a
a

b

?

b

a

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数) (定积分的线性性质)
a
b b a 1 2 a

b

性质 3
b

? [ f ( x) ? f ( x)]dx ? ?
c b a c

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx (定积分的线性性质)性质 4
a

b

? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a

(其中a ? c ? b)

(定积分对积分区间的可加性) 说明:①推广: ②推广:

?

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ? ? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ? ? ? ? f m ( x)
a a a
c1 c2 b a c1 ck

b

b

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ? f ( x)dx

③性质解释:

y

性质 1
y=1

y A

性质 4
C

B

O

a

b

x

M O a P b

N x

S曲边梯形AMNB ? S曲边梯形AMPC ? S曲边梯形CPNB
三.典例分析 例 1.计算定积分 y

?

2

1

( x ? 1)dx
5 。 2
o 1 2 x

分析: 所求定积分即为如图阴影部分面积, 面积为 即:

?

2

1

( x ? 1)dx ?

5 2

思考:若改为计算定积分

?

2

?2

( x ? 1)dx 呢?

改变了积分上、下限,被积函数在 [?2, 2] 上出现了负值如何解决呢?(后面解决的问题) 四.课堂练习 计算下列定积分 1. 2.

?
?

5

0
1

(2 x ? 4)dx
x dx

?

5

0

(2 x ? 4)dx ? 9 ? 4 ? 5
1 1 ? 1? 1 ? ? 1? 1 ? 1 2 2

?1

?

1

?1

x dx ?

五.回顾总结 1 . 定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义.

课题:微积分基本定理
教学目标:了解牛顿-莱布尼兹公式 教学重点:牛顿-莱布尼兹公式 教学过程 一、复习:定积分的概念及计算 二、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般 方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)( v(t ) ? o ) , 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为

?

T2

T1

v(t )dt 。

另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t)在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来表达, 即

?

T2

T1

v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 ) ,且 S ?(t ) ? v(t ) 。

对于一般函数 f ( x ) ,设 F ?( x) ? f ( x) ,是否也有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

若上 式成立,我 们就找到了 用 f ( x ) 的原 函数 (即满足 F ?( x) ? f ( x)) 的数值 差

F (b) ? F (a) 来计算 f ( x) 在 [a, b] 上的定积分的方法。
定理如果函数 F ( x) 是 [ a, b] 上的连续函数 f ( x ) 的任意一个原函数,则

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

证明:因为 ? ( x ) =

?

x

a

f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数,故

F ( x) - ? ( x ) =C( a ? x ? b )其中 C 为某一常数。
令 x ? a 得 F ( a ) - ? ( a ) =C,且 ? ( a ) =

?

a

a

f (t )dt =0

即有 C= F ( a ) ,故 F ( x) = ? ( x ) + F ( a ) ? ? ( x ) = F ( x) - F ( a ) = 令 x ? b ,有

?

x

a

f (t )dt

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

F (b) ? F (a) ,即 为了方便起见,还常用 F ( x) |b a 表示

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。 它指出了求连续函数定积分的一般 方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 例1. 计算

?

1

0

x 2 dx

3 解:由于 x 是 x 2 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有

1 3

?

1 1 3 1 3 1 ?1 ? ? 0 = x 2 dx = x 3 |1 0= 0 3 3 3 3
1

例2 求

?

2

x 1 ? x2

0

dx
1 1 1 d ( x2 ) 2 d (1 ? x 2 ) 1 2 2 = ?2(1 ? x ) 2 ? C ? (1 ? x ) 2 ? C ? ? ? 2 1 ? x2 2 1 ? x2 2

解因为

?

xdx 1 ? x2

?



(1 ? x )
2

1 2

2 0

x

? 5 ? 1 1 ? x2
1

有一个原函数为 (1 ? x 2 ) 2 ,所以

1

?

2

x 1 ? x2

0

dx = (1 ? x 2 ) 2 ? 5 ? 1
0

2

例 3 汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/ 秒 2 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时,汽车速度 v0 =32 公里/小时=

32 ? 1000 米/秒 ? 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 v(t)=v0 ? at=8.88-1.8t 当汽车 3600 8.88 ? 4.93 秒 停住时,速度 v(t)=0 ,故从 v(t)=8.88-1.8t=0 解得 t= 1.8
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s??

4.93

0

v(t)dt ? ?

4.93

0

1 (8.88 ? 1.8t)dt = (8.88 ? 1.8 ? t 2 ) ? 21.90 米,即在刹车后,汽 2 0

4.93

车需走过 21.90 米才能停住. 小结:本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式. 课题:定积分在几何中的应用 一、教学目标: 1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2.掌握利用定积分求曲边图形的面积 二、教学重点与难点: 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程: (一)练习
a 1 1.若 ? (2 x ? ) dx = 3 + ln 2,则 a 的值为(D ) 1 x

A.6 2.设 f ( x) ? ?
3 4
1

B.4
? x 2 (0 ? x ? 1) ?2 ? x(1 ? x ? 2)
a

C.3

D.2

,则 ?1 f ( x ) dx 等于(C) B.
4 5

A.

C.

5 6

D.不存在

3.求函数 解:∵

f (a) ? ?0(6 x 2 ? 4ax ? a 2 )dx 的最小值
1 2
12 2 2

?4 ax( ? ax) dx ?2 (2 x ?2 a a ? axx a(6)xdx ? 2 ? ax ? )) | ? 2 ? 2a ? a ? (6 x ? 4ax ? ?
3
3

2

2

2 2

1 1

2

0

0

0 0



∴ f (a) ? a 2 ? 2a ? 2 ? (a ? 1)2 ? 1 .∴当 a = – 1 时 f (a)有最小值 1. 4.求定分 ??2 16 ? 6 x ? x 2 dx. 5.怎样用定积分表示: x=0,x=1,y=0 及 f(x)=x2 所围成图形的面积?
3

S1 ? ? f ( x )dx ? ? x 2dx ?
0 0

1

1

1 3

6. 你能说说定积分的几何意义吗?例如

?

b

a

f ( x )dx 的几何意义是什么?

表示 x 轴,曲线 y ? f ( x) 及直线 x ? a , x ? b 之间的各部分面积的代数和, 在 x 轴上方的面积取正,在 x 轴下方的面积取负 二、新课 例 1.讲解教材例题 例 2.求曲线 y=sinx ,x? [0, 练习: 1.如右图,阴影部分面积为(B) A. ?a [ f ( x) ? g ( x)] dx B. ?a [ g ( x) ? f ( x)]dx ? ?c [ f ( x) ? g ( x)] dx C. ?a [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?c [ g ( x) ? f ( x)] dx D. ?a [ g ( x) ? f ( x)] dx 2.求抛物线 y = –x2 + 4x – 3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成的面积. 课题:定积分在物理中的应用 一、教学目标: 2. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2.掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、教学重点与难点: 3. 定积分的概念及几何意义 4. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程: (一)练习 1.曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1,x = 1 及 x 轴所围成图形的面积为( B ) .
b b b c b b

2? 2? ,x 轴所围成图形的面积。 ] 与直线 x=0 , x ? 3 3

2 3

A.

8 3

B.2

C.

4 3

D.

2 3

3 2.曲线 y = cos x (0 ? x ? ? ) 与两个坐标轴所围成图形的面积为( D ) 2

A.4

B.2

C.

5 2

D.3

3.求抛物线 y2 = x 与 x – 2y – 3 = 0 所围成的图形的面积. 解:如图:由 ?
? y2 ? x 得 A(1,– 1) ,B(9,3) . ?x ? 2 y ? 3 ? 0

选择 x 作积分变量,则所求面积为
1 0 1 9 1 1 9 S ? ? [ x ? (? x )]dx ? ? [ x ? ( x ? 3)]dx = 2? 1dx ? ? xdx ? ? ( x ? 3)dx 0 1 0 1 2 2 1
9 = x 2 |1 x 2 |1 ?( 0 ?

4 3

3

2 3

3

x2 3 9 32 . ? x) |1 ? 4 2 3

(二)新课 变速直线运动的路程 1.物本做变速度直线运动经过的路程 s,等于其速度函数 v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a, b]上的 定积分 ,即 s ?

? v(t )dt .
a

b

2.质点直线运动瞬时速度的变化为 v (t) = – 3sin t,则 t1 = 3 至 t2 = 5 时间内的位移是 (只列式子) ? ?? 3sin t ?dt .
5 3

3.变速直线运动的物体的速度 v (t) = 5 –t2,初始位置 v (0) = 1,前 2s 所走过的路程为

25 . 3
变力作功 1.如果物体沿恒力 F (x)相同的方向移动,那么从位置 x = a 到 x = b 变力所做的功 W = F (b —a) . 2.如果物体沿与变力 F (x)相同的方向移动,那么从位置 x = a 到 x = b 变力所做的 功W= 练习: 1.教材练习 2.一物体在力 F (x) = ? A.44J
?10(0 ? x ? 2) (单位:N)的作用下沿与力 F(x)做功为( B) ?3 x ? 4( x ? 2)

?

b

a

F ( x)dx .

B.46J

C.48J

D.50J

3.证明:把质量为 m(单位 kg)的物体从地球的表面升高 h(单位:m)处所做的功 W = G·
Mmh ,其中 G 是地球引力常数,M 是地球的质量,k 是地球的半径. k ( k ? h)

证明:根据万有引力定律,知道对于两个距离为 r,质量分别为 m1、m2 的质点,它们之间 的引力 f 为 f = G·
m1m2 ,其中 G 为引力常数. r2
Mm 故 ( k ? x) 2

则当质量为 m 物体距离地面高度为 x(0≤x≤h)时,地心对它有引力 f (x) = G· 该物体从地面升到 h 处所做的功为
W ? ? f ( x ) dx = ? G ? 0
0
h

h

h 1 Mm 1 h ) |0 ·dx = GMm ? d (k + 1) = GMm (? 2 2 0 k?x ( k ? x) ( k ? x)

= GMm(?

1 1 Mnh . ? k) ? G ? k ?h k (k ? h)



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