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必修五-正余弦定理应用



③应用举例(1)
一.导学目标: 1.了解并理解相关概念,如方位角、方向角、仰角、俯角、视角、坡角与坡 比; 2.能用正弦定理、余弦定理解决实际问题. 二.课前预习: 1. 正弦定理: ; 2. 余弦定理为: a 2 ?
b2 ? c2 ?

; ; ; ; ; ;

3. 余弦定理的推论: cos A ?
c

os B ?
cos C ?

三.实际测量中的有关名词和术语: 1. 方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的水平线, 如图 1: A 点的方位角为 135? .特殊说法如:正南方向、东南方向等等. 2. 方向角:从指向线到目标方向线所成的小于 90? 的角. 如图 2: A 点在北偏东 30? 方向; B 点在南偏东 45? 方向. 3. 仰角与俯角:与目标线在同一铅垂平面内的水平视线 和目标视线的夹角,当目标视线在水平视线上方时叫做 仰角;当目标视线在水平视线下方时叫做俯角.(如图 3) 4. 视角:(如图 4)观察物体的两端,视线张开的角度称为视角. 5. 坡角与坡比:坡面与水平面所成的夹角叫做坡角;坡面的 h 铅直高度与水平宽度的比叫做坡比(如图 5)( i ? ) l 四.解三角形实际应用题的步骤: 1. 解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图,尤其要理解应用题中的相关名词和术 语. (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立 一个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验所求的解是否符合实际意义,并对所求的解进行取舍,从而得出实际问题的 解.
2.基线的选取: 测量过程中,要根据需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.

五.解三角形应用题的常见题型及解法: 1. 测量距离问题 例 1:如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距
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离,测
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量者在 A 的同侧, 在所在的河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距离是 55m,? BAC= 51? ,? ACB= 75? . 求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m).

例 2. 如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量 A、B 两点间距离的方法.

同步练习:在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为

3 a 的军事基地 2

C 和 D 测得蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处, ?DCA ? 60? , 且 ?ADB ? 30? , ?BDC ? 30? ,

?ACB ? 45? ,如图所示,求蓝方这两支精锐部队的距离.

2. 测量高度问题: 例 3:如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ?40 ? , 在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? =50 ?1? . 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

例 2. 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? ,求此山的高度 CD.
问题 1:

欲求出 CD,思考在哪个三角形中研究比较适合呢?
问题 2: 在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长?

七.课后作业: 1. 水平地面上有一个球,现用如下方法测量球的大小,用锐角 45? 的等腰直角三角板的斜边 紧靠球面,P 为切点,一条直角边 AC 紧靠地面,并 使 三 角 板与地面垂直,如果测得 PA=5cm,则球的半径等于 ( ). A.5cm B. 5 2cm C. 5( 2 ? 1)cm D.6cm
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P A

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2. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动, 离台风中心 30 千米内的地区为 危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ). A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 2 2 2 2 3. 在 ?ABC 中,已知 (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin( A ? B) ,则 ?ABC 的形状( ). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4. D、C、B 在地面同一直线上,DC=100 米,从 D、C 两地测得 A 的仰角分别为 30? 和 45? ,则 A 点离地面的高 AB 等于( )米. A.100 B. 50 3 C.50 ( 3 ? 1) D.50 ( 3 ? 1) 5. 在地面上 C 点,测得一塔塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别是 60? 和 30? ,已知塔基 B 高出地面 20m ,则塔身 AB 的高为_________ m . 6. 隔河可以看到两个目标,但不能到达,在岸边选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ACB =75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,A、B、C、D 在同一个平面,求两目标 A、 B 间的距离.

7. 某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距 10 3 海里,且在北偏东 30? 方向;测得灯塔 B 与 A 相距 15 6 海 里, 且在北偏西 75? 方向. 船由 A 向正北方向航行到 D 处, 测得灯塔 B 在南偏西 60? 方向. 这时灯塔 C 与 D 相距多少海里?

8. 在平地上有 A、B 两点,A 在山的正东,B 在山的东南,且在 A 的南 25°西 300 米的地方,在 A 侧山顶 的仰角是 30°,求山高.

③正余弦应用举例(1)
一.导学目标: 1.知道测量角度问题的基本解法; 2.能求三角形的面积. 二.典型例题: 类型三:测量角度问题 例 1:如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后 从 B 出发,沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发 到达 C, 此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? , 距离精确到 0.01n
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mile)

分析:首先由三角形的内角和定理求出角 ? ABC,然后用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB.

类型四:三角形面积问题 三角形面积公式,S= absinC,或 S=
1 2

,或 S=



三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半. 例 2:在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ): (1)已知 a=15cm,c=24cm,B=150 ? ; (2)已知 B= 60? ,C= 75? ,b=3cm; (3)已知三边的长分别为 a=40cm,b=28cm,c=36cm.

例 3:半圆 o 的直径长为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上的一点,以 AB 为边 向外作等边三角形 ABC,问 B 点在什么位置时,四边形 CAOB 的面积最大,并求最大值.

同步练习:已知三角形 ?ABC 的三边长 AB=2,BC=6,AC= 边形 ABCD 的面积的最大值.

16 7 ,D 在 ?ABC 的外接圆上,求四 7

例 4:在 ?ABC 中, c ? 2 2 , a ? b , tan A ? tan B ? 5 , tan A tan B ? 6 ,试求 a , b 及 ?ABC 的面 积.

同步练习: ?ABC 的角 A, B, C 所对的边长为 a, b, c , tan C ?
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sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C , cos A ? cos B
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(1)求 A, C ;(2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .

类型五:正弦定理、余弦定理的综合运用 例 5: 在 ? ABC 中, 求证: (1)
a2 ? b2 sin 2 A ? sin 2 B (2)a 2 + b 2 + c 2 =2 (bccosA+cacosB+abcosC) . ? ; c2 sin 2 C

同步练习:在 ? ABC 中,求证:(1) a ? b cos C ? c cos B ;(2) S ?

1 2 sin B sin C a . 2 sin A

四.课后作业: 1. 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离相等,灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 40? ,灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 60? ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) ? ? ? A.北偏东 10 B.北偏西 10 C.南偏东 10 D.南偏西 10? 2. 在 ?ABC 中,如果 a ? sin10? , b ? sin 50? , C ? 70? ,那么 ?ABC 的面积为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 16 8 64 32 3. 锐角 ?ABC 的面积为 3 3 ,BC=4,AC=3,则 AB=_____________. 4. 某人从 A 处出发,沿北偏东 60 ? 行走 3 3 km 到 B 处,再沿正东方向行走 2km 到 C 处,则 A,C 两地的距离为__________ m . 5.A,B 两个小岛相距 21 海里,B 岛在 A 岛的正南方,现在甲船从 A 岛出发,以 9 海里每小时 的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以 6 海里每小时的速度离开 B 岛向南偏东 60 ? 方向行驶,问 行驶多长时间后,两船相距最近?并求出两船的最近距离.

1 6. 已 知 在 ?ABC 中 , 三 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 为 a, b, c , 若 p ? (a ? b ? c) , 求 证 : 三 角 形 面 积 2 , (著名的海伦公式) . S ? p( p ? a )( p? b )( p? c )

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7. 在 ?ABC 中 , 三 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 为 a, b, c , 若 s i n B ? s i n C ? s i nA ?
2 2 2

???? ???? AC? AB? 4 ,求 ?ABC 的面积.

s iB n

sC in ,且

? ?? 3 8. 已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边长为 a, b, c , m ? (1,1) , n ? (sin B sin C ? , cos B cos C ) , 2 ?? ? 且 m ? n ,(1)求 A 的大小;(2)若 a ? 1, b ? 3c ,求 S?ABC .

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