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湖北省八校2013届高三第二次联考数学(理)试题含答案



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八校

2013 届高三第二次联考 数学试题(理)
考试时间:2013 年 3 月 28 日下午 15:00——17:00 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 x ? R, 则“ x ? 1 ”是“复数 z ? ? x2 ?1? ? ? x ? 1? i 为纯虚数”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知命题 p : m, n 为直线, ? 为平面,若 m // n, n ? ?, 则 m // ? ; 命题 q : 若 a ? b, 则 ac ? bc ,则下列命题为真命题的是( ) A. p 或 q B. ?p 或 q C. ?p 且 q D. p 且 q
2 3.设 a ? ?1 (3x 2 ? 2 x)dx ,则二项式 (ax 2 ? )6 展开式中的第 4 项为(

1 x



A. ?1280x3 B. ?1280 C. 240 D. ?240 4. 左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图, 1 次到 14 次的考试成绩依 第 次记为 A1 , A2 , ? , A14 . 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图. 那么算法流程图输出的结果是( )

7 8 9 10 11

9 6 3 8 3 9 8 8 4 1 5 3 1 4

1

?

?

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

5.若 2 x ? 3 y ? 5 z ? 29 ,则函数 ? ? 2x ? 1 ? 3 y ? 4 ? 5z ? 6 的最大值为( A. 5 B.2 15 C. 2 30

) D. 30

6.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1 , 直径为 4 的球的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ? ( A. 1: 2 C. 1:1 B. 2 :1 D. 1: 4
1 主视图 侧视图



4

2

.
俯视图

7.已知 f ? x ? ?

1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 为 4 ?2 ?

f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图像是( )

8.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上的一点 P ( x0 , y0 ) 到左焦点距离与到右焦点的距 a 2 b2

2 离之差为 2 2 ,且到两条渐近线的距离之积为 ,则双曲线的离心率为( 3



A. 5

B. 6

C.

5 2

D.

9.已知 x ? R, 符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ? x ? ? 零点,则 a 的取值范围是( ? 3 4? ?4 3 ? A. ? , ? ? ? , ? ? 4 5? ?3 2 ? ? 1 2? ?5 3 ? C. ? , ? ? ? , ? ? 2 3? ?4 2 ? )
?3 4?

? x? ? a
x

6 2

? x ? 0? 有且仅有 3 个

B. ? , ? ? ? , ? ?4 5? ?3 2? ?1 2? ?5 3? D. ? , ? ? ? , ? ?2 3? ?4 2?

?4 3?

10.定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度 相同)称为平面斜坐标系。在平面斜坐标系 xOy 中,若 OP ? xe1 ? ye2 (其中 e1 , e2 分别是斜 坐标系 x 轴, y 轴正方向上的单位向量, x, y ? R, O 为坐标系原点) ,则有序数对 ? x, y ? 称为 点 P 的斜坐标。在平面斜坐标系 xOy 中,若 ?xOy ? 120? , 点 C 的斜坐标为 ? 2,3? , 则以点 C 为 圆心,2 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程是( ) A. x ? y ? 4x ? 6 y ? 9 ? 0
2 2

??? ?

??

?? ?

?? ?? ?

B. x ? y ? 4x ? 6 y ? 9 ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 4 y ? xy ? 3 ? 0
2 2

D. .x ? y ? x ? 4 y ? xy ? 3 ? 0
2 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11—14 题) 11. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建算经》 卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的 布,若第一天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计) ,共织 390 尺布”,则每天比前一天多 织 尺布.(不作近似计算) 12.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后,2
2

艘驱逐舰和 2 艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数 为 .
?x ? y ? 6 ? 0 ? 13.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 ,且 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 6. ?x ? y ? k ? 0 ?

(1)常数 k ?

; .

? 3 ? (2)若实数 x ? ?? ,3? , y ? ?0,9? , 则点 P ? x, y ? 落在上述区域内的概率为 ? 2 ?
*

14.对于 n ? N , 把 n 表示为 n ? a0 ? 2k ? a1 ? 2k ?1 ? a2 ? 2k ?2 ? ?? ak ?1 ? 21 ? ak ? 20 , 当

i ? 0 时, ai ? 1; 当 1 ? i ? k 时, ai 为 0 或 1.记 I ? n ? 为上述表示中 ai 为 0 的个数(例
如:1 ? 1? 20 , 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , 故 I ?1? ? 0, I ? 4? ? 2), 若 r , m ? N * , a ? 0, 则

(1) I 2

? ??
r

2m ?1

; (2)

?a ? ? ?
I n n ?1

.

(二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15. (选修 4—1: 几何证明选讲) 如图, 割线 PBC 经过圆心 O ,OB ? PB ? 1 , OB 绕 点 O 逆 时 针 旋 转 120°到 OD , 连 PD 交 圆 O 于 点 E , 则 PE = . 16.(选修 4—4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,过圆 ? ? 6 cos ? 的圆 心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知锐角△ ABC 中的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a, b, c ,定义向 ?? ? ?? ? B 量 m ? (2sin B, 3), n ? (2cos2 ?1,cos 2B), 且 m ? n. 2 (1)求 f ( x) ? sin 2 x cos B ?cos 2 xsin B 的单调减区间; (2)如果 b ? 4, 求 ?ABC 面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分)某市准备从 7 名报名者(其中男 4 人,女 3 人)中选 3 人参加三个 副局长职务竞选. (1)设所选 3 人中女副局长人数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (2)若选派三个副局长依次到 A、B、C 三个局上任,求 A 局是男副局长的情况下,B 局为女副局长的概率. 19. (本小题满分 12 分)如左图,四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, DB ? 2, DC ?1, BC ? 5,
AB ? AD ? 2. 将左图沿直线 BD 折起,使得二面角 A ? BD ? C 为 60?, 如右图.

(1)求证: AE ? 平面 BDC; (2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值. 20.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中,

a1 ? 1, an?1 ?

an , ? n ? N * ?. an ? 3
3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 3 ? 1
n
*

?

? 2n a , 数列 ?b ? 的前 n 项和为 T , 若不等式 ? ?1?
n n

n

n

n

? ? Tn

对一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围. 21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C1 , 抛物线 C2 的焦点均在 y 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点 均为原点 O , 从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x

0
?2 2

?1
1 16

2

4 1

y

?2

(1)求 C1 , C2 的标准方程; (2)设斜率不为 0 的动直线 l 与 C1 有且只有一个公共点 P , 且与 C2 的准线相交于点 Q , 试 探究: 在坐标平面内是否存在定点 M , 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
1 x
1 处的切线方程为 y ? g ? x ? . 2

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? ) , f ( x) 在 x ? 且 (1)求 y ? g ? x ? 的解析式; (2)证明:当 x ? 0 时,恒有 f ? x ? ? g ? x ? ;



3











ai ? 0, ?1 ? i ? n, i, n ? N * ? ,
n



?a
i ?1

n

i

? 1,



? 1 ?? 1? ? 1 ? ? n2 ? 1 ? ? a1 ? ?? a2 ? ??? an ? ? ? ? ? . a1 ?? a2 ? ? an ? ? n ? ?

4

5

6

7



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