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8函数的基本概念与定义域



小班辅导讲义
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课 题

函数的基本概念与定义域
1.了解函数的的基本概念,并能熟练的应用 2.理解函数的三种表示方法,了解分段函数,并能够简单的应用 3.会求函数的定义域 函数的定义的理解;求简单函数的定义域 1.了解函数的概念;2.理解函数的三种表示方法;3.了解简单的分段 函数

教学目标

重点、难点 考点及考试要求

教学内容 知识框架
知识点一、区间的概念 设 a, b ? R, 且a ? b 定义
{x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b}

名称 闭区间 开区间 前闭后开区间 前开后闭区间

符号
[ a, b] ( a, b) [ a, b) ( a, b]

数轴表示

区间是集合的另一种形式.对于区间的理解应注意: (1)区间的左端点必须小于右端点,有时我们将 b - a 成为区间的长度,对于只有一个元素 的集合我们仍然用集合来表示,如 ?a?; (2)注意开区间 (a, b) 与点 (a, b) 在具体情景中的区别.若表示点 (a, b) 的集合应为 ?(a, b)? ; (3)用数轴来表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别; (4)对于一个不等式的解集,我们既可以用集合形式来表示,也可用区间形式来表示; (5)要注意区间表示实数集的几条原则,数集是连续的,左小,右大,开或闭不能混淆. 例 1.把下列数集用区间表示: (1) {x | x ? ?1} ; (2) {x | x ? 0} ; (3) {x | ?1 ? x ? 1} ; (4) {x | 0 ? x ? 1或2 ? x ? 4}

知识点二、函数的定义 一般地,设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 的任意 一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数,记作 y ? f (x) , x ? A .其中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定 义域;与 x 值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫做函数的值域.显然
{ f ( x) | x ? A} ? B

例 2.下列式子能否确定 y 是 x 的函数? (1) x 2 ? y 2 ? 4 ; (2) x ? 1 ? y ? 1 ? 1 ; (3) y ? x ? 2 ? 1 ? x

变式 1:判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数. (1) A ? R, B ? {x | x ? 0}, f : x ? y ?| x | (2) A ? Z , B ? Z , f : x ? y ? x 2 (3) A ? Z , B ? Z , f : x ? y ? x (4) A ? {x | ?1 ? x ? 1}, B ? {0}, f : x ? y ? 0

知识点三、函数的三要素 1.函数的定义域 函数的定义域是构成函数的重要组成部分,如果没有标明定义域,则认为定义域是使解 析式有意义的或使实际问题有意义的 x 的取值范围. 2.求函数定义域的一般法则: (1)若 f (x) 为整式,则其定义域为实数集 R ; (2)若 f (x) 为分式,则其定义域是使分母不为 0 的实数的集合; (3)若 f (x) 为偶次根式,则其定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合;

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(4)若 f (x) 是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分都有意义 的实数的集合,即交集; (5) f ( x) ? x 0 的定义域是 {x | x ? 0} ; 由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束. 例 3.求下列函数的定义域,结果用区间表示. 1 (1) y ? x ? 2 ? 2 ; x ? x?6
( x ? 1) 0 (2) y ? ; | x | ?x

(3) y ? 5 ? x ? x ? 5 ?

1 . x ?9
2

例 4.已知四组函数: (1) f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 ; (2) f ( x) ? x, g ( x) ? 3 x 3 ; (3) f (n) ? 2n ? 1(n ? N ), g (n) ? 2n ? 1(n ? N ) ; (4) f ( x) ? x 2 ? 2 x, g (t ) ? t 2 ? 2t 其中表示同一函数的是________________.

变式 1:下列各组式子是否为同一函数?为什么? (1) f ( x) ?| x |, g (t ) ? t 2 ; (2) y ? x 2 , y ? ( x ) 2 ; (3) y ? 1 ? x ? 1 ? x , y ? 1 ? x 2 ; (4) y ? (3 ? x) 2 , y ? x ? 3

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例 5.高为 h ,底面半径为 R 的圆柱形容器内,以单位时间内体积为 a 的速度灌水.试求水面高
y 用时间 t 表示的函数式,并求其定义域.

例 6.已知函数 y ?

ax ? 1
3

ax ? 4ax ? 3
2

的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

例 7.设 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 2} ,下图中的四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )

知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 (1)函数 f (x) 的定义域是指 x 的取值范围; (2)函数 f ( g ( x)) 的定义域是指 x 的取值范围,而不是 g (x) 的取值范围; (3)已知 f ( g ( x)) 的定义域为 B,求 f (x) 的定义域,其实质是已知 f ( g ( x)) 中 x 的取值范围为 B,求出 g (x) 的范围(值域) ,此范围就是 f (x) 的定义域. 例 8.已知函数 f (x) 的定义域为 [0,9] ,求 f (2 x ? 1) 的定义域.

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变式 1:已知函数 f (x) 的定义域为 [5,13] ,求 f ( x 2 ) 的定义域.

变式 2:已知函数 f (x) 的定义域为 [?3,3] ,求 f (2 x 2 ? 1) 的定义域.

1 例 9.已知函数 f (x) 的定义域为 [ ,5] , g ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 求 g (x) 的定义域. 2

1 1 变式 1:已知函数 f (x) 的定义域为 [ ,4] , g ( x) ? f ( x) ? f ( ) 求 g (x) 的定义域. 3 x

变式 2:已知函数 f (x) 的定义域为 [1,4] , g ( x) ? f ( x) ? f ( x 2 ) 求 g (x) 的定义域.

知识点五、检验图形是否为函数图像的方法 要判断一个图形是否是函数图象,首先要看图形对应的 x 轴部分上的任意一个 x 是否都 有唯一的 y 与之对应.若是,则该图形是函数的图象;若至少有一个 x 值,存在两个或两个以 上的 y 与之对应,则此图形一定不是函数的图象.或者过图形上任一点,作 x 轴的垂线,若该 垂线与图形无任何其他的公共点, 则此图形是函数的图象,否则该图形一定不是函数的图象. 除上述之外,还要关注函数的定义域、值域与图象中所示的定义域(图形正对着 x 轴上
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的所有实数) 、值域(图形正对 y 轴上的所有实数)是否一致. 例 10.设 M ? {x | ?2 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 2} ,函数 f (x) 的定义域为 M ,值域为 N ,则
f (x) 的图象可以是(



A

B

C

D

课下作业 1.下列各组函数表示相等函数的是(
? x, x ? 0 A. f ( x) ? ? 与 g ( x) ?| x | ?? x , , ? 0



B. f ( x) ? 2 x ? 1 与 g ( x) ?

2x2 ? x x

C. f ( x) ?| x 2 ? 1 | 与 g (t ) ? (t 2 ? 1) 2 D. f ( x) ? x 2 与 g ( x) ? x 2.函数 y ?
x ?1 的定义域为_______________. x

3.函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 的定义域为 A,若 2 ? A ,则 a 的取值范围是____. 4.已知函数 y ? f (x) 的定义域为 [1,4] ,求函数 y ? f ( x 2 ) 的定义域.

5.已知 f (x) 的定义域为 (0,2] ,求函数 f (2 x ? 1) ? f ( x 2 ) 的定义域.

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