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山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中四校2015届高三上学期第二次联考数学试卷(理科)



山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中四校 2015 届高三上学期第二次联考数学试卷(理科)
一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合 M={﹣1,0,1},N={x|x=2a,a∈M},则集合 M∩N=( ) A.{0} B.{

0,﹣2} C.{﹣2,0,2} D.{0,2} 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出集合 N,根据集合的基本运算即可得到结论. 解答: 解:N={x|x=2a,a∈M}={﹣2,0,2}, 则 M∩N={0}, 故选:A 点评:本题主要考查集合的基本运算,求出集合 N 是解决本题的关键. 2.复数 z 为纯虚数,若(3﹣i)?z=a+i (i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为( A.﹣ B.3 C.﹣3 D. )

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部等于 0 且虚部 不等于 0 求解 a 的值. 解答: 解:∵(3﹣i)?z=a+i, ∴ 又 z 为纯虚数, ∴ ,解得:a= . ,

故选:D. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

3.设双曲线 ( A. )

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=

x,则该双曲线的离心率为

B.2

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的渐近线方程即可得到 , 所以两边平方得到 , 再根据 c =a +b
2 2 2

即可求出

,也就求出该双曲线的离心率为



解答: 解:由已知条件知:















故选 C. 2 2 2 点评:考查双曲线的标准方程,双曲线的渐近线方程的表示,以及 c =a +b 及离心率的概 念与求法. 4.如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 0,则输出的 y 值为( )

A.

B.0

C .1

D. 或 0

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:模拟程序框图的运行过程,即可得出该程序输出的是什么. 解答: 解:根据题意,模拟程序框图的运行过程,如下; 输入 x=0,

x>1?,否; x<1?,是; y=x=0, 输出 y=0,结束. 故选:B. 点评:本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确 的结论. 5.已知条件 p:|x+l|>2,条件 q:x>a,且¬p 是¬q 的充分不必要条件,刚 a 的取值范围 可以是( ) A.a≥l B.a≤l C.a≥﹣l D.a≤﹣3 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 专题:计算题. 分析:根据题意,由 p、q,可得¬p 为﹣3≤x≤1,¬q 为 x≤a;进而由¬p 是¬q 的充分不必 要条件,可得集合{x|﹣3≤x≤1}是集合{x|x≤a}的真子集,由集合间的包含关系可得答案. 解答: 解:根据题意,P:|x+l|>2,则¬p 为|x+l|≤2, 解|x+l|≤2 可得,﹣3≤x≤1, 则¬p 为﹣3≤x≤1, 条件 q:x>a,则¬q 为 x≤a, 若¬p 是¬q 的充分不必要条件,则有集合{x|﹣3≤x≤1}是集合{x|x≤a}的真子集, 必有 a≥1; 故选 A. 点评:本题考查充分必要条件的判断及运用,注意充分必要条件与集合间关系的转化.

6.已知实数 x,y 满足

,则 z=2x+y 的最大值为(

)

A.﹣2

B.﹣1

C .0

D.4

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先画出满足条件的平面区域,将 z=2x+y 转化为:y=﹣2x+z,由图象得:y=﹣2x+z 过(1,2)时,z 最大,代入求出即可. 解答: 解:画出满足条件的平面区域, 如图示:

, 将 z=2x+y 转化为:y=﹣2x+z, 由图象得:y=﹣2x+z 过(1,2)时,z 最大, Z 最大值=4, 故选:D. 点评:本题考查了简单的线性规划问题,考查了数形结合思想,是一道基础题. 7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.4
4

,则 S6=( C. D.

)

B.4

5

考点:数列的求和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由 an+1=3Sn,得 an=3Sn﹣1(n≥2) ,两式相减可得递推式,根据递推式可判断数列从第 二项起构成等比数列,进而可得答案. 解答: 解:由 an+1=3Sn,得 an=3Sn﹣1(n≥2) , 两式相减,得 an+1﹣an=3an,即 an+1=4an(n≥2) , 又 a1=1,a2=3S1=3, ,

∴a2,a3,…,成等比数列,公比为 4, ∴ ,

∴S6=a1+a2+a3+…+a6=1+3+12+…+3?4 =1+

4

=4 ,

5

故选 B. 点评:本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和,考查学生解决问题的能力.

8. 在三棱锥 S﹣ABC 中, AB=BC=

, SA=SC=AC=2, 二面角 S﹣AC﹣B 的余弦值是 )



则三棱锥 S﹣ABC 外接球的表面积是(

A.

B.2π

C.

π

D.6π

考点:球的体积和表面积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:审题后,二面角 S﹣AC﹣B 的余弦值是 是重要条件,根据定义,先作出它的平面

角,如图所示.进一步分析此三棱锥的结构特征,找出其外接球半径的几何或数量表示,再 进行计算. 解答: 解:如图所示: 取 AC 中点 D,连接 SD,BD,则由 AB=BC,SA=SC 得出 SD⊥AC,BD⊥AC, ∴∠SDB 为 S﹣AC﹣B 的平面角,且 AC⊥面 SBD. ∵AB=BC= ,AC=2,易得:△ ABC 为等腰直角三角形, 又∵BD⊥AC,故 BD=AD= AC, 在△ SBD 中,BD= AC= ×2=1, 在△ SAC 中,SD =SA ﹣AD =2 ﹣1 =3, 在△ SBD 中,由余弦定理得 SB =SD +BD ﹣2SD?BDcos∠SDB=3+1﹣2×
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

×1×

=2,

满足 SB =SD ﹣BD , ∴∠SBD=90°,SB⊥BD, 又 SB⊥AC,BD∩AC=D,∴SB⊥面 ABC. 以 SB,BA,BC 为棱可以补成一个棱长为 的正方体,S、A、B、C 都在正方体的外接球 上, 正方体的对角线为球的一条直径,所以 2R= ∴球的表面积 S=4π×( 故选:D ) =6π.
2

×

,R=



点评:本题考查面面角,考查球的表面积,解题的关键是确定外接圆的半径,属于中档题. 9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )

A.10+

B.10+

C.6+2

+

D.6+

+

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知: 该几何体为一个四棱锥, 如图所示, CD⊥底面 PAD, BA⊥底面 PAD, PA⊥AD,PA=AD=CD=2,AB=1.即可得出. 解答: 解:由三视图可知:该几何体为一个四棱锥,如图所示,CD⊥底面 PAD,BA⊥底 面 PAD,PA⊥AD,PA=AD=CD=2,AB=1. PC=2 ,PB= ,BC= . ∴S△ PBC= 该几何体的表面积 S= =6+ 故选:C. . = . + + + +

点评:本题考查了四棱锥的三视图及其表面积的计算公式、勾股定理,考查了计算能力,属 于基础题. 10. 设 A, B 为抛物线 y =2px (p>0) 上不同的两点, O 为坐标原点, 且 OA⊥OB, 则△ OAB 面积的最小值为( ) 2 2 2 2 A.p B.2p C.4p D.6p 考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

分析:先设直线的方程为斜截式(有斜率时) ,代入抛物线,利用 OA⊥OB 找到 k,b 的关 系,然后利用弦长公式将面积最后表示成 k 的函数,然后求其最值即可.最后求出没斜率时 的直线进行比较得最终结果. 解答: 解:当直线斜率存在时,设直线方程为 y=kx+b. 由 消去 y 得 k x +(2kb﹣2p)x+b =0.
2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由题意得△ =(2kb﹣2p) ﹣4k b >0,即 kb
2 2 2





所以

=



所以由 OA⊥OB 得 所以 b=﹣2pk,①代入直线方程得 y=kx﹣2pk=k(x﹣2p) , 所以直线 l 过定点(2p,0) . 再设直线 l 方程为 x=my+2p,代入 y =2px 得 y ﹣2pmy﹣4p =0, 所以 y1+y2=2pm,y1y2=﹣4p ,所以 = 所以 S= ,
2 2 2 2 2

=



所以当 m=0 时,S 的最小值为 4p . 故选 C 点评: 本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系中的弦长问题中的最值问题, 一般先结合韦达 定理将要求最值的量表示出来,然后利用函数思想或基本不等式求最值即可. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=lnx(x>1)的图象上的动点,该图 象在点 p 处的切线 l 交 x 轴于点 M.过点 P 作 l 的垂线交 x 轴于点 N,设线段 MN 的中点的 横坐标为 t,则 t 的最大值是( ) A. B. C. D.1

考点:对数函数的图像与性质. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析:由题意设点 P 的坐标为(m,lnm) ;从而写出直线方程,从而得到 M(m﹣mlnm,0) , N(m+ ,0) ;从而求得 t= (2m+ ﹣mlnm) (m>1) ;再由导数求最值即可.

解答: 解:设点 P 的坐标为(m,lnm) ;

f′(m)= ; 则切线 l 的方程为 y﹣lnm= (x﹣m) ; l 的垂线的方程为 y﹣lnm=﹣m(x﹣m) ; 令 y=0 解得, M(m﹣mlnm,0) ,N(m+ 故 t= (2m+ ,0) ;

﹣mlnm) (m>1) ;

t′= 故 t= (2m+



﹣mlnm)先增后减, ;

故最大值为 (2e+ ﹣e)= +

故选 B. 点评:本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义,同时考查了直线的方程,属于难题.

12. 已知函数 ( f x) A.3 B.4

, 则方程 ( f 2x +x) =a (a>0) 的根的个数不可能为( C .5 D.6

2

)

考点:函数的零点与方程根的关系;分段函数的应用. 专题:计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析:作函数 f(x) 的图象,结合图象分析根的个数.

解答: 解:作函数 f(x)
2 2

的图象如右图,

∵2x +x=2(x+ ) ﹣ ; 故当 a=f(﹣ )时,方程 f(2x +x)=a 有一个负根﹣ , 再由|lg(2x +x)|=f(﹣ )得, 2x +x=10
2 f(﹣


2

2

,及 2x +x=10

2

﹣f(﹣





故还有四个解,故共有 5 个解; 2 当 a>1 时,方程 f(2x +x)=a 有四个解,

当 f(﹣ )<a<1 时,方程 f(2x +x)=a 有 6 个解; 故选 A.

2

点评:本题考查了作图能力及分段函数的应用,属于难题. 二、填空题(4×5=20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知| |=1,| |=6, ?( ﹣ )=2,则向量 与 的夹角为 .

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:由 ?( ﹣ )=2,得 ,利用向量夹角公式可求得< ﹣ =2,即 =3, >.

解答: 解:由 ?( ﹣ )=2,得 cos< , >= = ,

所以< 故答案为:

>= .



点评:本题考查利用向量的数量积求两向量的夹角,属基础题.

14.若函数 是单调减函数,且函数值从 1 减少到﹣1,则 = .

,在区间



考点:正弦函数的单调性. 专题:计算题. 分析:由题意可得,函数的周期为 2×( 可得 φ= ﹣ )=π,求出 ω=2.再由 sin(2? 的值. =π,∴ω=2, +φ)=1,

,从而得到函数的解析式,从而求得 ﹣ )=π,即

解答: 解:由题意可得,函数的周期为 2×( ∴f(x)=sin(2x+φ) . 再由 sin(2? +φ)=1, ) , + )=cos = , 可得 φ= ,

∴f(x)=sin(2x+ ∴ 故答案为 =sin( .

点评:本题主要考查由 y=Asin(ωx+φ )的部分图象求函数的解析式,属于中档题. 15.抛物线 y =4mx(m>0)的焦点为 F,点 P 为该抛物线上的动点,又点 A(﹣m,0) , 则 的最小值为 .
2

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设 P(x, ) ,求出( ) ,再利用基本不等式,即可得出结论. ) , =1﹣
2

解答: 解:由题意,设 P(x, ∴( )=
2

=

≥1﹣ = (当且仅当 x=m 时取等号) , ∴x=m 时, 故答案为: . 的最小值为 .

点评:本题考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

16.已知数列 an=n sin

2

,则 a1+a2+a3+…+a100=﹣5000.

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列.

分析:由已知得 an=

,k∈N,由此能求出 a1+a2+a3+…+a100.

解答: 解:∵an=n sin

2



,k∈N,

∴an=

,k∈N,

∴a1+a2+a3+…+a100 2 2 2 2 2 2 2 =1﹣3 +5 ﹣7 +9 ﹣11 +97 ﹣99 =﹣2(1+3+5+7+9+11+…+97+99) =﹣2× =﹣5000. 故答案为:﹣5000. 点评:本题考查数列的前 100 项和的求法,是中档题,解题时要注意三角函数的周期性的合 理运用. 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把 解答写在答卷纸的相应位置上) 2 2 17.在△ ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,面积为 S.已知 2S=(a+b) ﹣c (1)求 sinC; (2)若 a+b=10,求 S 的最大值. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式左边利用三角形面积公式,右边利用完全平方公式展开,变形后利用余 弦定理化简,整理求出 cosC 的值,即可求出 sinC 的值即可; (2)利用三角形面积公式列出关系式,把 sinC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大 值,即可求出三角形 S 的最大值. 2 2 解答: 解: (1)∵2S=(a+b) ﹣c ,

∴2× absinC=a +b ﹣c +2ab,即 sinC= 由余弦定理可得 sinC=cosC+1, 即 5cos C+8cosC+3=0, 分解因式得: (5cosC+3) (cosC+1)=0, 解得:cosC=﹣ 或 cosC=﹣1(舍去) , 则 sinC= (2)∵sinC= , ∴S= absinC= ab≤ ( ) =10,
2 2

2

2

2

+1,

= ;

当且仅当 a=b=5 时“=”成立. 点评:此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握余弦定理 是解本题的关键.

18.如图 1,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=AB= BC,E 是底边 BC 上 的一点,且 EC=3BE.现将△ CDE 沿 DE 折起到△ C1DE 的位置,得到如图 2 所示的四棱锥 C1﹣ABED,且 C1A=AB. (1)求证:C1A⊥平面 ABED; (2)若 M 是棱 C1E 的中点,求直线 BM 与平面 C1DE 所成角的正弦值.

考点:直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题:空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (1)设 AD=AB= =1,利用勾股定理的逆定理可以判断 C1A⊥AD,C1A⊥AE;

(2)由(1)知:C1A⊥平面 ABED;且 AB⊥AD,分别以 AB,AD,AC1 为 x,y,z 轴的 正半轴建立空间直角坐标系,明确平面的法向量的坐标和 向量的夹角的余弦值等于线面角的正弦值解答. 的坐标,利用直线与平面的法

解答: 解: (1)设 AD=AB= ∴ ∴C1A⊥AD,… 又∵BE= ,C1E= ∴AE =AB +BE = ∴
2 2 2

=1,则 C1A=1,C1D=





∴C1A⊥AE … 又 AD∩AE=E ∴C1A⊥平面 ABED; … (2)由(1)知:C1A⊥平面 ABED;且 AB⊥AD,分别以 AB,AD,AC1 为 x,y,z 轴的 正半轴建立空间直角坐标系,如图,… 则 B(1,0,0) ,C1(0,0,1) ,E(1, ,0) ,D(0,1,0) , ∵M 是 C1E 的中点, ∴M( ∴ =( ) , ) ,… ,

设平面 C1DE 的法向量为 =(x,y,z) ,





,令 y=2,得 =(1,2,2)…

设直线 BM 与平面 C1DE 所成角为 θ,则 sinθ=| ∴直线 BM 与平面 C1DE 所成角的正弦值为 .…

|=

点评: 本题考查了线面垂直的判定定理的运用以及利用空间向量解决线面角的问题, 属于中 档题. 19. 在等差数列{an}中, Sn 为其前 n 项和, 已知 a6=S6=﹣3; 正项数列{bn}满足: bn+1 ﹣bn+1bn 2 ﹣2bn =0,b2+b4=20. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
2

考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出; (2)利用“错位相减法”即可得出. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d. ∵a6=S6=﹣3; ∴ ,解得 ,

∴an=2﹣(n﹣1)=3﹣n. 2 2 又正项数列{bn}满足:bn+1 ﹣bn+1bn﹣2bn =0, ∴(bn+1﹣2bn) (bn+1+bn)=0, ∴bn+1=2bn. 即数列{bn}是公比为 2 的等比数列. ∵b2+b4=20. ∴2b1+8b1=20,解得 b1=2. ∴ .

(2)cn=

=



∴Tn=

+…+



=

+…﹣+



①﹣②得:

=1﹣

+

=1﹣

+

=1﹣



∴Tn=2﹣1+

+



=



点评:本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

20.在平面直角坐标系 xOy 中,F1、F2 分别为椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦

点,B 为短轴的一个端点,E 是椭圆 C 上的一点,满足 OE=OF1+ 为 2( +1) . (1)求椭圆 C 的方程;

,且△ EF1F2 的周长

(2)设点 M 是线段 OF2 上的一点,过点 F2 且与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两 点,若△ MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形,求点 M 到直线 l 距离的取值范围. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已知 F1(﹣xc,0) ,设 B(0,b) ,则 E(﹣c, 由此能求出椭圆 C 的方程. (2)设点 M(m,0) , (0<m<1) ,直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,k≠0,由
2 2 2 2

) ,

,2a+2c=2+2





得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0,由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公 式,结合已知条件能求出点 M 到直线距离的取值范围. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知 F1(﹣xc,0) ,设 B(0,b) ,即 ∴ =(﹣c, ) ,即 E(﹣c, ) , =(﹣c,0) , =(0,b) ,



,得

,①…

又△ PF1F2 的周长为 2( ) , ∴2a+2c=2+2 ,②… 又①②得:c=1,a= ,∴b=1, ∴所求椭圆 C 的方程为: =1.…

(2)设点 M(m,0) , (0<m<1) ,直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,k≠0,



,消去 y,得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0,

2

2

2

2

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,PQ 中点为 N(x0,y0) , 则 ,∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)= ,





=



即 N(

) ,…

∵△MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形,∴MN⊥PQ, 即 =﹣1,

∴m=

∈(0, ) ,…

设点 M 到直线 l:kx﹣y﹣k=0 距离为 d, 则d = ∴d∈(0, ) , 即点 M 到直线距离的取值范围是(0, ) .… 点评:本题考查椭圆方程的求法,考查点到直线的距离的取值范围的求法,解题时要认真审 题,注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用. 21.设函数 f(x)=ae (x+1) (其中 e=2.71828…) ,g(x)=x +bx+2,已知它们在 x=0 处有 相同的切线. (Ⅰ)求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值; (Ⅲ)若对?x≥﹣2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ)求导函数,利用两函数在 x=0 处有相同的切线,可得 2a=b,f(0)=a=g(0) =2,即可求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (Ⅱ)求导函数,确定函数的单调性,再分类讨论,即可求出函数 f(x)在[t,t+1](t>﹣ 3)上的最小值;
x 2 2

=



= ,

(Ⅲ)令 F(x)=kf(x)﹣g(x)=2ke (x+1)﹣x ﹣4x﹣2,对?x≥﹣2,kf(x)≥g(x) 恒成立,可得当 x≥﹣2,F(x)min≥0,即可求实数 k 的取值范围. x 解答: 解: (Ⅰ) f'(x)=ae (x+2) ,g'(x)=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由题意,两函数在 x=0 处有相同的切线. ∴f'(0)=2a,g'(0)=b, ∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4, ∴f(x)=2e (x+1) ,g(x)=x +4x+2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ x (Ⅱ) f'(x)=2e (x+2) ,由 f'(x)>0 得 x>﹣2,由 f'(x)<0 得 x<﹣2, ∴f(x)在(﹣2,+∞)单调递增,在(﹣∞,﹣2)单调递减.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵t>﹣3,∴t+1>﹣2 ①当﹣3<t<﹣2 时,f(x)在[t,﹣2]单调递减,[﹣2,t+1]单调递增, ∴ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ; ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
x 2

x

2

②当 t≥﹣2 时,f(x)在[t,t+1]单调递增,∴ ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(Ⅲ)令 F(x)=kf(x)﹣g(x)=2ke (x+1)﹣x ﹣4x﹣2, 由题意当 x≥﹣2,F(x)min≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵?x≥﹣2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k﹣2≥0,∴k≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ F'(x)=2ke (x+1)+2ke ﹣2x﹣4=2(x+2) (ke ﹣1) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵x≥﹣2,由 F'(x)>0 得 ∴F(x)在 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ①当 ,即 k>e 时,F(x)在[﹣2,+∞)单调递增, ,不满足 F(x)min≥0.﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ②当 ,即 k=e 时,由①知,
2 2 x x x

x

2

,∴ 单调递减,在

;由 F'(x)<0 得 单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

,满足

F(x)min≥0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ③当 递增 ,即 1≤k<e 时,F(x)在
2

单调递减,在 ,满足 F(x)min≥0.

单调

综上所述,满足题意的 k 的取值范围为[1,e ].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣ 点评:本题考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数 学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 选修 4-1:几何证明选讲(请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多答,则 按做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.) 22.如图,CF 是△ ABC 边 AB 上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC. (1)证明:A、B、P、Q 四点共圆; (2)若 CQ=4,AQ=1,PF= ,求 CB 的长.

2

考点:与圆有关的比例线段. 专题:立体几何. 分析: (1)证明∠QCF=∠QPF,利用同角的余角相等,可得∠A=∠CPQ,从而可得:四点 A、B、P、Q 共圆; (2)根据根据射影定理可得:在 Rt△ CFA 中,CF =CQ?CA,进而可求出 CF 长,利用勾股 定理,解 Rt△ CFP,可求出 CP,再在 Rt△ CFB 中使用射影定理,可得答案. 解答: 证明: (1)连接 QP,由已知 C、P、F、Q 四点共圆, ∴∠QCF=∠QPF, ∵∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°, ∴∠A=∠CPQ, ∴四点 A、B、P、Q 共圆.… 解: (2)∵CQ=4,AQ=1,PF= ,
2

根据射影定理可得:在 Rt△ CFA 中, 2 CF =CQ?CA=4×(4+1)=20, 在 Rt△ CFP 中,CP= 在 Rt△ CFB 中, 2 CF =CP?CB, ∴CB=6… = ,

点评:本题考查的知识点是圆内接四边形的证明,射影定理,难度不大,属于基础题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的 正半轴,建立平面直角坐标系,直 l 的参数方程是 (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|= (t 是参数)

,求直线的倾斜角 α 的值.

考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析:本题(1)可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式,求出曲线 C 的直角坐标方程; (2)先将直 l 的参数方程是 (t 是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利

用勾股定理求出弦长, 也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解, 求出对应的参 数 t1,t2 的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到 α 的三角方程,解方程得到 α 的值,要注意角 α 范围. 解答: 解: (1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y , ∴曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ 可化为: 2 ρ =4ρcosθ, 2 2 ∴x +y =4x, 2 2 ∴(x﹣2) +y =4. (2)将
2 2 2 2

代入圆的方程(x﹣2) +y =4 得:
2

2

2

(tcosα﹣1) +(tsinα) =4, 2 化简得 t ﹣2tcosα﹣3=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2, 则 ,

∴|AB|=|t1﹣t2|= ∵|AB|= ∴ ∴cos ∵α∈[0,π) , ∴ 或 . 或 . . , = .

=



∴直线的倾斜角

点评:本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,本题难 度适中,属于中档题.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x+2|﹣|2x﹣2| (1)解不等式 f(x)≥﹣2; (2)设 g(x)=x﹣a,对任意 x∈[a,+∞)都有 g(x)≥f(x) ,求 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式 f(x)≥﹣2 的解集,再取并集,即得 所求. (2)作出 f(x)的图象,数形结合求得满足 x∈[a,+∞)时 g(x)≥f(x)的 a 的取值范围. 解答: 解: (1)对于 f(x)≥﹣2,当 x≤﹣2 时,不等式即 x﹣4≥﹣2,即 x≥2,∴x∈?; 当﹣2<x<1 时,不等式即 3x≥﹣2,即 x≥﹣ ,∴﹣ ≤x<1; 当 x≥1 时,不等式即﹣x+4≥﹣2,即 x≤6,∴1≤x≤6. 综上,不等式的解集为{x|﹣ ≤x≤6}.

(2)f(x)=|x+2|﹣|2x﹣2|=

,函数 f(x)的图象如图所示:

∵g(x)=x﹣a,表示一条斜率为 1 且在 y 轴上的截距等于﹣a 的直线,当直线过(1,3) 点时,﹣a=2. ①当﹣a≥2,即 a≤﹣2 时,恒有 g(x)≥f(x)成立. ②当﹣a<2,即 a>﹣2 时,令 f(x)=g(x) ,即﹣x+4=x﹣a,求得 x=2+ , 根据对任意 x∈[a,+∞)都有 g(x)≥f(x) ,∴a≥2+ ,即 a≥4. 综上可得,a≤﹣2 或 a≥4.

点评:本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了转化、数形结合的数 学思想,属于基础题.



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