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山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中四校2015届高三上学期第二次联考数学试卷(理科)



山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中四校 2015 届高三上学期第二次联考数学试卷(理科)
一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合 M={﹣1,0,1},N={x|x=2a,a∈M},则集合 M∩N=( ) A.{0} B.{

0,﹣2} C.{﹣2,0,2} D.{0,2} 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出集合 N,根据集合的基本运算即可得到结论. 解答: 解:N={x|x=2a,a∈M}={﹣2,0,2}, 则 M∩N={0}, 故选:A 点评:本题主要考查集合的基本运算,求出集合 N 是解决本题的关键. 2.复数 z 为纯虚数,若(3﹣i)?z=a+i (i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为( A.﹣ B.3 C.﹣3 D. )

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部等于 0 且虚部 不等于 0 求解 a 的值. 解答: 解:∵(3﹣i)?z=a+i, ∴ 又 z 为纯虚数, ∴ ,解得:a= . ,

故选:D. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

3.设双曲线 ( A. )

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=

x,则该双曲线的离心率为

B.2

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的渐近线方程即可得到 , 所以两边平方得到 , 再根据 c =a +b
2 2 2

即可求出

,也就求出该双曲线的离心率为



解答: 解:由已知条件知:















故选 C. 2 2 2 点评:考查双曲线的标准方程,双曲线的渐近线方程的表示,以及 c =a +b 及离心率的概 念与求法. 4.如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 0,则输出的 y 值为( )

A.

B.0

C .1

D. 或 0

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:模拟程序框图的运行过程,即可得出该程序输出的是什么. 解答: 解:根据题意,模拟程序框图的运行过程,如下; 输入 x=0,

x>1?,否; x<1?,是; y=x=0, 输出 y=0,结束. 故选:B. 点评:本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确 的结论. 5.已知条件 p:|x+l|>2,条件 q:x>a,且¬p 是¬q 的充分不必要条件,刚 a 的取值范围 可以是( ) A.a≥l B.a≤l C.a≥﹣l D.a≤﹣3 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 专题:计算题. 分析:根据题意,由 p、q,可得¬p 为﹣3≤x≤1,¬q 为 x≤a;进而由¬p 是¬q 的充分不必 要条件,可得集合{x|﹣3≤x≤1}是集合{x|x≤a}的真子集,由集合间的包含关系可得答案. 解答: 解:根据题意,P:|x+l|>2,则¬p 为|x+l|≤2, 解|x+l|≤2 可得,﹣3≤x≤1, 则¬p 为﹣3≤x≤1, 条件 q:x>a,则¬q 为 x≤a, 若¬p 是¬q 的充分不必要条件,则有集合{x|﹣3≤x≤1}是集合{x|x≤a}的真子集, 必有 a≥1; 故选 A. 点评:本题考查充分必要条件的判断及运用,注意充分必要条件与集合间关系的转化.

6.已知实数 x,y 满足

,则 z=2x+y 的最大值为(

)

A.﹣2

B.﹣1

C .0

D.4

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先画出满足条件的平面区域,将 z=2x+y 转化为:y=﹣2x+z,由图象得:y=﹣2x+z 过(1,2)时,z 最大,代入求出即可. 解答: 解:画出满足条件的平面区域, 如图示:

, 将 z=2x+y 转化为:y=﹣2x+z, 由图象得:y=﹣2x+z 过(1,2)时,z 最大, Z 最大值=4, 故选:D. 点评:本题考查了简单的线性规划问题,考查了数形结合思想,是一道基础题. 7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.4
4

,则 S6=( C. D.

)

B.4

5

考点:数列的求和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由 an+1=3Sn,得 an=3Sn﹣1(n≥2) ,两式相减可得递推式,根据递推式可判断数列从第 二项起构成等比数列,进而可得答案. 解答: 解:由 an+1=3Sn,得 an=3Sn﹣1(n≥2) , 两式相减,得 an+1﹣an=3an,即 an+1=4an(n≥2) , 又 a1=1,a2=3S1=3, ,

∴a2,a3,…,成等比数列,公比为 4, ∴ ,

∴S6=a1+a2+a3+…+a6=1+3+12+…+3?4 =1+

4

=4 ,

5

故选 B. 点评:本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和,考查学生解决问题的能力.

8. 在三棱锥 S﹣ABC 中, AB=BC=

, SA=SC=AC=2, 二面角 S﹣AC﹣B 的余弦值是 )



则三棱锥 S﹣ABC 外接球的表面积是(

A.

B.2π

C.

π

D.6π

考点:球的体积和表面积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:审题后,二面角 S﹣AC﹣B 的余弦值是 是重要条件,根据定义,先作出它的平面

角,如图所示.进一步分析此三棱锥的结构特征,找出其外接球半径的几何或数量表示,再 进行计算. 解答: 解:如图所示: 取 AC 中点 D,连接 SD,BD,则由 AB=BC,SA=SC 得出 SD⊥AC,BD⊥AC, ∴∠SDB 为 S﹣AC﹣B 的平面角,且 AC⊥面 SBD. ∵AB=BC= ,AC=2,易得:△ ABC 为等腰直角三角形, 又∵BD⊥AC,故 BD=AD= AC, 在△ SBD 中,BD= AC= ×2=1, 在△ SAC 中,SD =SA ﹣AD =2 ﹣1 =3, 在△ SBD 中,由余弦定理得 SB =SD +BD ﹣2SD?BDcos∠SDB=3+1﹣2×
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

×1×

=2,

满足 SB =SD ﹣BD , ∴∠SBD=90°,SB⊥BD, 又 SB⊥AC,BD∩AC=D,∴SB⊥面 ABC. 以 SB,BA,BC 为棱可以补成一个棱长为 的正方体,S、A、B、C 都在正方体的外接球 上, 正方体的对角线为球的一条直径,所以 2R= ∴球的表面积 S=4π×( 故选:D ) =6π.
2

×

,R=



点评:本题考查面面角,考查球的表面积,解题的关键是确定外接圆的半径,属于中档题. 9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )

A.10+

B.10+

C.6+2

+

D.6+

+

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知: 该几何体为一个四棱锥, 如图所示, CD⊥底面 PAD, BA⊥底面 PAD, PA⊥AD,PA=AD=CD=2,AB=1.即可得出. 解答: 解:由三视图可知:该几何体为一个四棱锥,如图所示,CD⊥底面 PAD,BA⊥底 面 PAD,PA⊥AD,PA=AD=CD=2,AB=1. PC=2 ,PB= ,BC= . ∴S△ PBC= 该几何体的表面积 S= =6+ 故选:C. . = . + + + +

点评:本题考查了四棱锥的三视图及其表面积的计算公式、勾股定理,考查了计算能力,属 于基础题. 10. 设 A, B 为抛物线 y =2px (p>0) 上不同的两点, O 为坐标原点, 且 OA⊥OB, 则△ OAB 面积的最小值为( ) 2 2 2 2 A.p B.2p C.4p D.6p 考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

分析:先设直线的方程为斜截式(有斜率时) ,代入抛物线,利用 OA⊥OB 找到 k,b 的关 系,然后利用弦长公式将面积最后表示成 k 的函数,然后求其最值即可.最后求出没斜率时 的直线进行比较得最终结果. 解答: 解:当直线斜率存在时,设直线方程为 y=kx+b. 由 消去 y 得 k x +(2kb﹣2p)x+b =0.
2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由题意得△ =(2kb﹣2p) ﹣4k b >0,即 kb
2 2 2





所以

=



所以由 OA⊥OB 得 所以 b=﹣2pk,①代入直线方程得 y=kx﹣2pk=k(x﹣2p) , 所以直线 l 过定点(2p,0) . 再设直线 l 方程为 x=my+2p,代入 y =2px 得 y ﹣2pmy﹣4p =0, 所以 y1+y2=2pm,y1y2=﹣4p ,所以 = 所以 S= ,
2 2 2 2 2

=



所以当 m=0 时,S 的最小值为 4p . 故选 C 点评: 本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系中的弦长问题中的最值问题, 一般先结合韦达 定理将要求最值的量表示出来,然后利用函数思想或基本不等式求最值即可. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=lnx(x>1)的图象上的动点,该图 象在点 p 处的切线 l 交 x 轴于点 M.过点 P 作 l 的垂线交 x 轴于点 N,设线段 MN 的中点的 横坐标为 t,则 t 的最大值是( ) A. B. C. D.1

考点:对数函数的图像与性质. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析:由题意设点 P 的坐标为(m,lnm) ;从而写出直线方程,从而得到 M(m﹣mlnm,0) , N(m+ ,0) ;从而求得 t= (2m+ ﹣mlnm) (m>1) ;再由导数求最值即可.

解答: 解:设点 P 的坐标为(m,lnm) ;

f′(m)= ; 则切线 l 的方程为 y﹣lnm= (x﹣m) ; l 的垂线的方程为 y﹣lnm=﹣m(x﹣m) ; 令 y=0 解得, M(m﹣mlnm,0) ,N(m+ 故 t= (2m+ ,0) ;

﹣mlnm) (m>1) ;

t′= 故 t= (2m+



﹣mlnm)先增后减, ;

故最大值为 (2e+ ﹣e)= +

故选 B. 点评:本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义,同时考查了直线的方程,属于难题.

12. 已知函数 ( f x) A.3 B.4

, 则方程 ( f 2x +x) =a (a>0) 的根的个数不可能为( C .5 D.6

2

)

考点:函数的零点与方程根的关系;分段函数的应用. 专题:计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析:作函数 f(x) 的图象,结合图象分析根的个数.

解答: 解:作函数 f(x)
2 2

的图象如右图,

∵2x +x=2(x+ ) ﹣ ; 故当 a=f(﹣ )时,方程 f(2x +x)=a 有一个负根﹣ , 再由|lg(2x +x)|=f(﹣ )得, 2x +x=10
2 f(﹣


2

2

,及 2x +x=10

2

﹣f(﹣





故还有四个解,故共有 5 个解; 2 当 a>1 时,方程 f(2x +x)=a 有四个解,

当 f(﹣ )<a<1 时,方程 f(2x +x)=a 有 6 个解; 故选 A.

2

点评:本题考查了作图能力及分段函数的应用,属于难题. 二、填空题(4×5=20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知| |=1,| |=6, ?( ﹣ )=2,则向量 与 的夹角为 .

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:由 ?( ﹣ )=2,得 ,利用向量夹角公式可求得< ﹣ =2,即 =3, >.

解答: 解:由 ?( ﹣ )=2,得 cos< , >= = ,

所以< 故答案为:

>= .



点评:本题考查利用向量的数量积求两向量的夹角,属基础题.

14.若函数 是单调减函数,且函数值从 1 减少到﹣1,则 = .

,在区间



考点:正弦函数的单调性. 专题:计算题. 分析