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高2016届第一轮复习----直线方程(教师用)(20160124)



高 2016 届第一轮复习----直线方程(教师用)
【目标】1.理解直线的倾斜角、斜率概念,掌握两点确定直线的斜率公式;2.理解并掌握直线方程;3.会用两点之间的 距离公式、点到直线的距离公式、平行线之间的距离公式解决简单问题;4.会判断两直线平行于垂直,会求直线交点; 5.理解点关于点、点关于直线对称。 考试说明要求
考试内容 直线的倾斜角和斜率 过两点的

直线斜率的计算 两条直线平行或垂直的判定 直线方程的点斜式、两点式及一般式 两条相交直线的交点坐标 两点间的距离公式、点到直线的距离公式 两条平行线间的距离 √ √ √ √ √ √ √ 要求层次 A B C

【考法】1.常以选择、填空小题、中低档题呈现; 2.基本概念中倾斜角、斜率要考虑两者之间的关系与存在性,也可能与三角函数(诱导公式、同角关系等)综合考查, 斜率公式的逆用等; 3.距离问题要关注公式的结构特征与逆用; 4.平行于垂直等位置关系应联系向量知识加以解决; 5.直线方程与一次函数、数列、不等式等代数问题整合,解决问题时注意整体思想. 【复习建议】 1.准确理解基本概念和熟练掌握基本公式, 特别是直线的倾斜角、 斜率、 截距等概念要深刻理解 (如忽视倾斜角的范围、 “零截距”的丢失、斜率不存在情况等常见错误) 。两点之间的距离、点到直线的距离、斜率公式等要熟练掌握,并会 逆向应用; 2.熟练掌握求直线方程的方法,注意跟进条件灵活选用直线方程的形式,特别注意直线斜率不存在的情况;注意直线系 方程的应用和有关对称知识的应用. 一、基本脉络 1.直线的倾斜角和斜率 (1)对于一条直线与 x 轴相交,若把 x 轴向上绕交点按逆时针方向旋转到与直线重合时,说所转的最小正角记为 ? , 则 ? 叫做最小的倾斜角.若直线与 x 轴平行或重合,则规定倾斜角为 0,所以倾斜角的取值范围是 [0, ? ). (2).倾斜角不等于 90 的直线经过 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) (x1 ? x2 ) 两点,则直线 PQ 的斜率为 k ?
0

y2 ? y1 ? tan ? . x2 ? x1

2.直线方程的几种基本形式 (1) 以一个方程的解为坐标的点都是某直线上的点, 这条直线上点的坐标都是这个方程的解此时这个方程叫直线方程, 这条直线叫方程的直线. (2)直线方程的五种形式: ( 3)过直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的直线系方程: A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

(? ? R) (不含 l2 ).
【达标试题】 1.直线 x tan

?
7

? y ? 0 的倾斜角是.(

6? ) 7

2.直线 ax ? by ? c ? 0 同时经过第一、二、四象限,则 a, b, c 应满足.( ab ? 0, bc ? 0 )

1

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3.下列四个命题:①经过点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 表示;②经过任意不同两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、

P2 ( x2 , y2 ) 的 直 线 都 可 以 用 方 程 ( x2 ? x1 )(x ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y ? y1 ) 表 示 ; ③ 不 经 过 原 点 的 直 线 都 可 以 用 方 程
x y ? ? 1 表示;④经过定点 A(0, b) 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示.其中真命题的个数是. a b
【解析】①斜率不存在时不正确;②联系向量,但坐标应交叉相乘,所以错误;③垂直于坐标轴的直线不能;④斜率 不存在时不能.所以为 0 个. 4. m 为任意实数时,直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 必过定点. 【解析】直线系的应用,思路一:特值法,根据任意可以令两个值代入求交点必满足条件;思路二:将方程整理为直 线系方程形式为 x ? y ? 5 ? m( x ? 2 y ? 1) ? 0 ,则它表示经过直线 x ? y ? 5 ? 0 与 x ? 2 y ? 1 ? 0 交点的直线系,求出交 点坐标为 (9,?4). 5. 在等腰三角形 AOB 中, AO ? AB ,已知点 O(0,0), A(1,3) ,点 B 在 x 轴的正半轴上,则直线 AB 的方程为 .

y ? 3 ? ?3( x ? 1)
6.过点 P(1,2) 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为. x ? y ? 1 ? 0, y ? 2 x 【案例与练习】 1.求直线方程 【例 1】已知点 A(?1,?5), B(3,?2) ,直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,则 l 的斜率为.

1 3

? ? 1 , ?sin ? 3 4 ? 1 10 ? 2 【解析】同角关系式的理解与应用. tan ? ? ? cos ? ? ? ? . ? k ? tan ? 2 3 4 5 ?cos? ? 9 , ? 2 10 ?
【思考】在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下列命题中正确的是_____________(写 出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 ①③⑤【命题意图】本题考查直线方程,考查逻辑推理能力.难度较大. 【解析】 令y ? x?

1 满足①, 故①正确; 若 k ? 2, b ? 2 , y ? 2 x ? 2 过整点 (-1,0) , 所以②错误; 设 y ? kx 2

是过原点的直线,若此直线过两个整点 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,两式相减得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ,
2

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则点 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 也在直线

y ? kx 上,通过这种方法可以得到直线 l 经过无穷多个整点,通过上下平移 y ? kx 得

对于 y ? kx ? b 也成立,所以③正确; k 与 b 都是有理数,直线 y ? kx ? b 不一定经过整点,④错误;直线 y ? 2 x 恰 过一个整点,⑤正确. 2.求直线方程中的系数 【例 2】设直线 l 的方程为 (a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0. (1)若直线在两坐标轴个的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 不过第二象限,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)要考虑截距是否为 0; (1)当直线 l 过原点时,截距都为 0,此时 a ? 2, 方程为 3 x ? y ? 0 . 当 a ? 2 时,截距存在,所以

a ?2 ? a ? 2 ? a ? 0, 方程为 x ? y ? 2 ? 0 . a ?1

综上所述直线方程为 3 x ? y ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 . (2)将方程化为 y ? ?(a ? 1) x ? a ? 2 ,根据直线不经过第二象限可知 ? (数形结合是基本思路) 【思考】设直线 l 的方程为 (m ? 1) x ? (2m ? 3) y ? (m ? 4) ? 0. (1)求直线 l 所经过定点的坐标; (2)若直线 l 在两坐标轴上截距相等,求实数 m 的值; (3)若直线 l 不经过第四象限,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1)(?1,1); (2)m ? 4; (3) ? 1 ? m ? 3.关于直线围成的面积 当直线不经过原点时,直线与坐标轴围成的三角形面积问题包括直线的倾斜角、斜率、直线在坐标轴上的截距、 三角形面积公式以及直线方程的几种形式,考查形式灵活、内容丰富,容易形成直线的综合问题. 【例 3】已知直线 l 过点 P(2,1) ,与 x, y 轴的正半轴分别交于 A, B 两点,求满足下列条件的直线方程:

?? (a ? 1) ? 0, ? a ? ?1. a ? 2 ? 0 ?

3 . 2

4 ; (2)与坐标轴围成的三角形面积为 4; (3) ?ABO (O )为坐标原点面积取最小值时. 5 4 4 【解析】 (1)斜率 k ? tan ? ? ? ? l : y ? 1 ? ? ( x ? 2) 3 3
(1)倾斜角的正弦值为

?2 1 ? ? 1, ? x y ?a ? 4, ?a b ?l : x ? 2 y ? 4 ? 0. (2)设所求直线方程为 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ,由提意可得 ? ?? a b ?b ? 2 ? 1 ab ? 4 ? ?2
3

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(3) (法一)设 l 方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,则 A(2 ?

1 ,0), B(0. ? 2k ? 1) ,所以 k

S ?ABO ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (2 ? )(1 ? 2k ) ? (4 ? 4k ? ) ? (4 ? 2 ( ?4k )(? ) ) ? 4 当且仅当 ? 4k ? ? , k ? ? 时取等号. 2 k k 2 2 k 2 k

所以此时 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 (法二)设直线方程为

x y 1 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ,则 S?ABO ? ab, a b 2



2 1 1 2 1 2 。 。 。 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ?1 ? 2 ? ab ? 8 ,当且仅当 ? ? ,即 a ? 4, b ? 2 时取等号。 a b 2 a b ab 1 , OB ? 1 ? 2 tan ? ,所以 tan ? 2 1 1 1 1 1 ? (2 ? )(1 ? 2 tan ? ) ? 2 ? 2 tan ? ? ? 4 ,当且仅当 2 tan ? ? , 即 tan ? ? 时取等。 2 2 tan ? 2 tan ? 2 tan ? ), OA ? 2 ?

(法三:三角法)设 ?BAO ? ? (0 ? ? ?

?

S?ABO

【拓展】 (1)求 OA ? OB 的最小值; (2)求 PA? PB 的最大值; 【解析】 (1) OA ? OB ? ( a ? b) ? ( a ? b)( 等号; (2) ( PA ? PB) max ? ?4 ; 4.直线方程的应用 [例 4]某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上规划出一个长方形地面(不改变方位)建造一幢 8 层的公寓楼,问:如何设计才 能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(结果精确到 1 m 2 )
E 100m

2 1 a 2b ? ) ?3? ? ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 a ? 2 ? 2, b ? 2 ? 1时取 a b b a

[解析]要确定长方形的面积必须有长和宽,就在 AB 上确定一点 P,建立直角坐标系利 用直线方程解决. 如图在线段 AB 上任取一点 P,分别向 CD/DE 作垂线得一块长方形土地,建立如图所示 直角坐标系,则直线 AB 的方程为
60m A B 70m

D

80m

x y 2 ? ? 1 .设 P ( x,20 ? x) ,则长方形面积为 30 20 3

C

S ? (100 ? x)[ 80 ? (20 ?
化简得 S ? ?

2 x)]( 0 ? x ? 30) , 3

2 2 20 2 50 x ? x ? 6000 (0 ? x ? 30) ? ? ( x ? 5) 2 ? 6017 ,当且仅当 x ? 5 时, y ? , S max ? 6017 m 2 . 3 3 3 3

【反思】建立坐标系,点 P 在 AB 线段上所以要用点 P 横坐标的范围. [方法规律总结] 1. 直线方程的五种形式中,除一般式以外,其他四种都是特殊形式,点斜式最基本,其它形式都可以由它推导出来,而且 各特殊形式都有明显的几何意义,又有特定的限制条件,注意应用范围,避免漏解,常常需要分类讨论. 2. 求解直线方程的基本方法是待定系数法,但要根据所给条件选择适当形式. [教材典型问题] 1.当点 P(2,3) 到直线 l : 2 x ? (k ? 3) y ? 2k ? 6 ? 0 的距离最远时,k 的值为.(4)
4

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【解析】直线过定点 (0,2) 2.过点 P(1,2) 做直线 l,使直线 l 到点 M (2,5) 和点 N (2,?1) 的距离相等,则直线 l 的方程为.( x ? 1或y ? 2 ) 3.已知直线 m x? ny ? 1 ? 0 不经过第二象限,则实数 m, n 满足的条件为.( ? 两条直线的位置关系 考点说明

?n ? 0, ?n ? 0, ) 或? ?m ? 0 ?m ? 0.

1. 利用直线方程研究两直线的位置关系是解析几何的基本功能之一,熟练掌握两直线平行、垂直的条件,能根据直 线方程判断两直线的位置关系;当方程中含有字母时,用善于抓住直线的两个特征量(斜率、截距)来进行分类 讨论; 2. 熟练掌握点关于点、点关于直线、直线关于直线等对称知识,解题是充分运用反射定律、距离之和的最值等; 3. 熟练掌握距离公式,理解公式的本质结构,能逆用,即化数为形。 4. 要注意与函数、线性规划、类比推理等知识的结合. 【基本脉络】 1.直线与直线的位置关系 (1)由斜率的两直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , 有 ① l1 ∥ l2 ? k1 ? k2 且b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1; ③ l1 与 l2 相交 ? k1 ? k2 ; ④ l1 与 l2 重合 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; (2)一般式的直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0, ① l1 ∥ l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0且B1C2 ? B2C1 ? 0或A1C2 ? A2C1 ? 0 ; ② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ; ③ l1 与 l2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ; ④ l1 与 l2 重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0且B1C2 ? B2C1 ? 0或A1C2 ? A2C1 ? 0 .
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2.点与直线的位置关系 若点 P( x0 , y0 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上,则有 Ax0 ? By0 ? C ? 0 , 若点 P( x0 , y0 ) 不在直线 Ax ? By ? C ? 0 上, 则有 Ax0 ? By0 ? C ? 0 , 此时点到直线的距离为 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离等于 d ? 3.直线的交点

C1 ? C2 A2 ? B 2



直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的公共点是方程组 ? 4.与直线 l : y ? kx ? b 平行的直线方程为 y ? kx ? b0 ; 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程为 Ax ? By ? C0 ? 0 ; 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线方程为 Bx ? Ay ? C0 ? 0 . 【达标测试】 1.“ m ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 的解; ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

1 ”是“直线 (m ? 2) x ? 3m y ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直”的条件.(充分不必要) 2
2

2.若直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 l2 x ? (a ? 1) y ? (a ? 1) ? 0 平行,则 a 的值是.(-1) 3.点 P(2,4) 在直线 ax ? y ? b ? 0 上的射影是点 Q(4,3) ,则 a , b 的值分别是(-2,5) 4.若直线 l : y ? kx ? k ? 2 与直线 m : y ? ?2x ? 4 的交点在第一象限内,则实数 k 的取值范围是.( ? 5.过点 P(2,?1) 且与原点距离为 2 的直线方程是.( x ? 2或3x ? 4 y ? 10 ? 0 ) 【解析】考虑斜率是否存在分类讨论. 6.已知点 P 是直线 l 上一点,将直线 l 绕点 P 按逆时针方向旋转 ? (00 ? ? ? 900 ) 所得直线的方程是 x ? y ? 2 ? 0 ,若 将它继续旋转 900 ? ? 角,所得直线方程为 2x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 l 的方程是. 【解析】由已知可得 l 与直线 2x ? y ? 1 ? 0 垂直,所以 l 的方程为过交点 (1,?1) , y ? 1 ? 【典型例题】 1.直线的位置关系 【例 1】已知直线 l1 : x ? m2 y ? 6 ? 0, l2 : (m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0, 当 m 为何值时, l1 与 l2 : (1)相交?(2)平行?(3)重合? 【解析】根据斜率是否存在分类讨论. 当 m ? 0 时, l1 : x ? 6 ? 0, l2 : x ? 0,? l1 ∥ l2 ;
6

2 ?k ?2) 3

1 ( x ? 1) .即 x ? 2 y ? 3 ? 0. 2

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当 m ? 2 时, l1 : x ? 4 y ? 6 ? 0, l2 : 3 y ? 2 ? 0, 此时 l1 与 l2 相交; 当 m ? 0且m ? 2 时,根据

1 6 1 m2 ? 得m ? 3. 所以 ? ? m ? ?1或m ? 3 ,由 m ? 2 2m m ? 2 3m

(1)当 m ? ?1且m ? 3且m ? 0 时,相交; (2)当 m ? ?1或m ? 0 时,平行; (3)当 m ? 3 时,重合. 【反思】判定直线位置关系有两种方法: ① 集合特征法:研究直线的斜率、截距是否相同; ② 代数法:方程组是否有解,转化为方程对应项系数是否成比例. 2.利用直线的位置关系求直线的方程 【例 2】已知 ?ABC 的两条高线所在直线方程分别为 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 0 ,顶点 A(1,2) ,求: (1)边 BC 所在的直线方程; (2) ?ABC 的面积. 【解析】画图,可用垂直直线系求 AB、AC 的方程. (1)点 A 不在两条高线上,所以设 AB、AC 遍所在直线方程分别为 3 x ? 2 y ? m ? 0, x ? y ? n ? 0 ,将点 A 的坐标分 别 代 入 方 程 可 得 AB : 3x ? 2 y ? 7 ? 0, AC : x ? y ? 1 ? 0,?C (?2,?1), B(7,?7), BC 边 所 在 直 线 方 程 为

2x ? 3 y ? 7 ? 0. (2)? BC ? 117 , 点 A 到边 BC 的距离为高 h ?
3.对称知识的应用

15 1 15 45 ? S ? ? 3 13 ? ? . 2 2 13 13

【例 3】已知 ?ABC 的顶点 A(?1,?4) ,内角 B, C 的平分线所在直线方程分别是 l1 : y ? 1 ? 0, l2 : x ? y ? 1 ? 0, 求边 BC 所在直线方程. 【解析】分别求出点 A 关于两条角平分线的对称点 E、F 坐标,则 E、F 在边 BC 所在直线上,可求出 BC 方程. E (?1,2), F (3,0) ? BC : x ? 2 y ? 3 ? 0. 【反思】角平分线转化为点关于直线的对称问题. 【拓展】1.已知点 A(?2,4), B(5,8) ,在直线 l : 2 x ? y ? 7 ? 0 上求一点 M: (1)使 MA ? MB 最小; (2)使 MA ? MB 最大; (3)使 MA ? MB 最小. 【解析】 (1)点 A 关于直线 l 的对称点坐标为 A?(10,?2) ? A?B : 2x ? y ? 18 ? 0. 由?
2 2

?2x ? y ? 18 ? 0, 25 11 的M ( , ) ,M 为所求. 4 2 ?2x ? y ? 7 ? 0

17 ?y ? x ? , 4 36 (2)连接 AB 两点所在直线方程为 y ? x ? ,联立方程得 ? 7 7 得M ( ,10) 为所求. 7 7 2 ? ?2 x ? y ? 7 ? 0
(3)设 M (t ,2t ? 7) ,则 MA ? MB 2.函数 y ? 【解析】y ?
2 2

?

4

36

? 10 (t ?

11 11 2 145 11 ,当 t ? 时取最小值,此时 M ( ,4). ) ? 2 2 2 2

x2 ? 9 ? x2 ? 8x ? 41 的最小值为( 4 5 )
x 2 ? 9 ? x 2 ? 8 x ? 41 ? ( x ? 0)2 ? (0 ? 3)2 ? ( x ? 4)2 ? (0 ? 5)2 表示点 P( x,0) 与两点 (0,-3), (4,5)

之间的距离之和,当三点共线时,最小值为 4 5. 4.关于距离的最值问题
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【例 4】已知函数 f ( x) ? x ?

2 a ,设点 P 是函数图像上任意一点,过 P 分别作直线 y ? x ( x ? 0) ,且 f ( x) ? 2 ? x 2
y

和 y 轴的垂线,垂足分别为 M , N . (1)求 a 的值; (2) PM ? PN 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,则说明理 由; (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 【解析】 (1) a ? (2)设点 P( x0 , y0 ) ? y0 ? x0 ? 2;

2 ( x0 ? 0) ,由点到直线的建 x0

N

P M

x O

立公司可得 PM ?

x0 ? y0 2

?

1 , PN ? x0 , ? PM ? PN ? 1 为定值. x0

(3)设 M (t , t ), N (0, y0 ) ? PM ? 直线 y ? x ,所以 k PM ? ?1 ?

2 y0 ? t 1 ? ?1 ? t ? ( x0 ? y0 ) ? y0 ? x0 ? x0 ? t 2 x0

?t ? x0 ?

2 1 1 1 2 2 1 2 1 , ? SOMPN ? 2t ? ? x0 ? ? ( x0 ? 2 ) ? 2 ? 1 ? 2. 当且仅当 x0 ? 1 时,取最小值. 2x0 2 x0 2 2 2 x0

【教材探宝】 1.根据下列条件求直线方程: (1)过两直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与 x ? 2 y ? 9 ? 0 交点且垂直于直线 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ; ( 2x ? 3 y ? 15 ? 0) (2)过两直线 3 x ? y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 4 ? 0 的交点且平行于直线 4 x ? 2 y ? 7 ? 0 .) ( 2x ? y ? 4 ? 0 ) 2.若直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0 与直线 l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 k 的值是.(3 或 5) 3.在 ?ABC 中,AB ? BC ,?B ? 900 , M 为 BC 的中点,BN ? AM 交 AC 于点 N.用解析法证明:?CMN ? ?BMA . 【解析 1】以点 M 为坐标原点,BC 为 x 轴建立坐标系,如图所示,令 MC ? t ,

则A(?t ,2t ), B(?t ,0), C(t ,0) ,
所以 k AM ? ?2, k BN ?

A

y

1 . 即直线 BN 的方程为 x ? 2 y ? t ? 0, 直线 AC 的方程为 2 t 2t x ? y ? t ? 0 ,联立两方程可得 N ( , ) ? k MN ? 2, k AM ? ?2 ? ?CMN ? ?BMA . 3 3

N

x
B

O(M)

C

或以 B 为坐标原点. 4.如果点 (5, b) 在两条平行线 6 x ? 8 y ? 1 ? 0 及 3x ? 4 y ? 5 ? 0 之间,你们 b 应取的整数值是.(4)

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