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全国高中数学联合竞赛模拟题2



全国高中数学联合竞赛模拟题 一 试
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.方程 log π x + sin x = 2 在区间 ? 0,
2

? ?

π?
2? ?

上的实根个数为

.

2.已知点 A ? x ? 取值范围是

/>
? ? ?

? ? ? 3? 5 3+ 5 ? y,1? , B ? x ? ? y, ?1? 满足 OAiOB = 0. 则 S = x 2 ? xy + y 2 ? 1 的 ? ? ? 2 2 ? ? ?

.
? π π? , , 有 f (sin θ ) + 3 f ( ? sin θ ) = cos θ . ? 2 2? ?

3.已知定义域在 [ ?1,1] 上的函数 f ( x ) 满足:对 θ ∈ ? ? 则函数 f ( x ) 的值域为

.

4.设过点 M (2, 0) 的直线 l 与抛物线 y 2 = 4 x 交于点 A 、 B , 与圆 ( x ? 4.5) 2 + y 2 = 16 交于点 C 、

D. 若 | AC |=| BD | 且 | AB |≠| CD |, 则直线 l 的方程为

.

5.已知三棱锥的六条棱长分别为 5 、 3 、 2 、 2 、 2 、 2 .则两条较长棱所在的直线所 成的角的余弦值为 6.对 0 < x < 1, 若复数 z =

.
x + i sin x 对应的点有 n 个在单位圆上,则 n =

.

7. 从 S = {0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7} 中 任 取 一 个 子 集 A = {a1 , a2 , a3 , a4 } , 剩 下 的 元 素 组 成 补 集

B = {b1 , b2 , b3 , b4 } .则取出的子集 A 使 a1 + a2 + a3 + a4 > b1 + b2 + b3 + b4 的概率为
8.设

.

m 1 1 = 1+ +? + ,则m ≡ n 2 2010

(mod 2011).

二、解答题(共 56 分) 9.(本小题满分 16 分)单位正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 AB 的中点.求异面直线 DE 与 B1C 的距离.

10. (本小题满分 20 分)如图,走廊宽为 3 m, 夹角为 120°, 地面是水平的。走廊两端足够长。问: 保持水平位置通过走廊的的木棒(不计粗细)的最大长度是多少?

11. (本小题满分 20 分)在数列 {an } 中,已知 a1 ∈ (1, 2), an +1 = an 3 ? 3an 2 + 3an ( n ∈ N + ). 求证:

∑ (a
k =1

n

k

1 ? ak +1 )( ak + 2 ? 1) < . 4



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