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湖北省黄冈市2011届5月高三适应性考试扫描版(数学文)



2011 年黄冈市五月调考题参考答案(文科) 年黄冈市五月调考题参考答案(文科)
一,选择题

A 卷 1﹑A 2﹑B 3﹑B B 卷 1﹑B 2﹑A 3﹑A 二,填空题 11﹑

4﹑B 4﹑A

5﹑C 5﹑C

6﹑A 6﹑B

7﹑A 7﹑B

8﹑B 8﹑A

9﹑B 9﹑A

10﹑A 10﹑B

1 2

12﹑ 9

13﹑ λ ∈ ( ?∞, 0) ∪ ( 2, +∞)

14﹑

2π 3

15﹑ 6

三,解答题 16 解: (Ⅰ)因为 2sinA-sinC=cosctanB,则 2 sin A cos B = sin C cos B + cos C sin B , 所以 2 sin A cos B = sin( B + C ) = sin( π ? A) = sin A . 因为 0 < A < p ,所以 sin A ? 0 . 所以 cos B = …………………… 3 分

1 . 2

……………………………………………………… 5 分

因为 0 < B < p ,所以 B = (Ⅱ)因为 m ? n = ?

π
3



……………………………………… 6 分 ……………………………………… 7 分

12 cos A + cos 2 A , 5

12 3 43 cos A + 2 cos 2 A ? 1 = 2(cos A ? ) 2 ? . ……………… 9 分 5 5 25 3 所以当 cos A = 时, m ? n 取得最小值. 5 4 4 此时 sin A = ( 0 < A < p ) ,于是 tan A = . …………………………… 11 分 5 3 π tan A ? 1 1 π 所以 tan( A + 12 ? B ) = tan( A ? ) = = . ……………………………… 12 分 4 tan A + 1 7 17 解: (1)所求的概率为 P = 1-(1-50%) ? (1-90%) ? (1-80%)=1-0.01= 1

m ?n = ?

0.99 …………………… (6 分) (1-80%)=0.01, (2)P2=(1-50%)(1-90%) 因为每人从三种乳制品中各取一件,三件恰好都是不合格乳制品的概率为 0.01,所以三人 分别从中各取一件, 恰好有一人取到三件都是不合格品的事件, 可看做三次独立重复试验问 题. ∴P= c3 (1 ? 0.01) ? 0.01 =0.027403…………………………12 分
1 2

18 解法一: (I)连结 OC , ∵ ?ABD 和 ?CBD 为等边三角形,O 为 BD 的中点,O 为 BD 的中点,∴ AO ⊥ BD , CO ⊥ BD ,又 AB = 2, AC = 在 ?AOC 中, ∵ AO + CO = AC ,
2 2 2

6,

∴ AO = CO = 3 ,

∴∠AOC = 90° ,即 AO ⊥ OC

∵ BD ∩ OC = O ,∴ AO ⊥ 平面 BCD ,
∴ AO ⊥ BC,∴异面直线 AO 与直线 BC 所成的角为 90 .
0

6分

(Ⅱ)显然 B 到到平面 ACD 的距离是点 O 到平面 ACD 的距离的两倍,设点 O 到平

面 ACD 的距离为 h , ∵VO ? ACD = VA?OCD ,

1 1 ∴ S ?ACD ? h = S ? OCD ? AO , 3 3
2

在 ?ACD 中, AD = CD = 2, AC =

6,

S ?ACD

? 6? 1 15 = 6 ? 22 ? ? , ? = ? 2 ? 2 2 ? ?

AO = 3, S ?OCD =

S 3 15 ,∴ h = ?OCD ? AO = 2 S ?ACD 5
12 分

∴ 点 O 到平面 ACD 的距离为

15 2 15 .∴点 B 到平面 ACD 的距离为 . 5 5

法二: (I)同解法一…………………………………………………………6 分 (Ⅱ)以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, z 则?

?O(0, 0, 0), A(0, 0, 3) ? ? B (0, ?1, 0), C ( 3, 0, 0), D(0,1, 0) ?

A y

设平面 ACD 的法向量为 m = ( x, y , z ), 又 DA = (0, ?1, 3), DC = ( 3, ?1, 0) O B

D C

?m ? DA = 0 ? y + 3 z = 0 ? ? ?? ? m = (1, 3,1) …………10 分 ? m ? DC 3x + y = 0 ? ? ? ?
设 OA 与 m 夹角为 θ ,则 cos θ =

x

m ? OA 5 ,设 O 到平面 ACD 的距离为 h , = 5 | m | ? | OA |



h 5 15 15 ,∴ O 到平面 ACD 的距离为 = ?h= ,显然 B 到到平面 ACD 的 OA 5 5 5

距离是点 O 到平面 ACD 的距离的两倍,∴点 B 到平面 ACD 的距离为 19

2 15 .…12 分 5

f ′( x) = 2 x + b , 且 x x g ( x) = = 2 , f ( x) x + bx + c
解 : ∵

f (0) = c , 则

f ( x) = x 2 + bx + c , ∴

x 1 = x +c x+ c x c 1 ? ? 1 ∵ g (0) = 0 且 x + ∈ ?∞, ?2 c ? ∪ ? 2 c , +∞ ,∴ g ( x ) ∈ ? ? , ?, ? ? x ? 2 c 2 c? 1 1 由 = 得c =1 2 c 2
(1)∵ g ( x ) 为奇函数,∴ g ( ? x ) = ? g ( x) 恒成立,∴ b = 0 , g ( x ) =
2

(

)

(2) F ( x ) = x + bx + 2 = ( x + ) + 2 ?
2 2

b 2

b2 4

b > 1 ,即 b < ?2 时 F ( x)min = F (1) = 3 + b = 2 得 b = ?1 舍去 2 b 当 ? < ?1 ,即 b > 2 时 F ( x) min = F ( ?1) = 3 ? b = 2 得 b = 1 舍去 2 b b b2 ?1 ≤ ? ≤ 1 即 ?2 ≤ b ≤ 2 F ( x)min = F (? ) = 2 ? = 2 ,得 b = 0 满足条件 2 2 4 2 2 2 2 ∴ f ( x) = x + c ,由 f ( x) = x + c = 0 得 c = ? x ,∵ x ∈ [ ?1,1] ,∴ ? x ∈ [ ?1, 0]
当? ∵ f ( x ) = x 2 + c = 0 的区间 [ ?1,1] 上有解, c 的取值范围为 [ ?1, 0] 20 解: (Ⅰ)由已知易得可知, an + 2 = 5an +1 ? 6an …… …… 2 分

由 an + 2 ? 3an +1 = 2(an +1 ? 3an ) , 且 a2 ? 3a1 = ?2 可知,数列 {a n +1 ? 3a n } 是以 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,可 得 a n+1 ? 3a n = ?2 n ,即
∴ 数列 {

a n +1 3a n a a 1 3 a 1 = ? ,∵ n +1 ? 1 = ( n ? 1) ,又 1 ? 1 = ? , n +1 n n +1 n 2 2 2 2 2 2 2?2 2

an 1 3 ? 1} 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列, n 2 2 2
…… …… 7 分



an 1 3 ? 1 = ? ( ) n?1 , a n = 2 n ? 3 n ?1 n 2 2 2

(Ⅱ)∵ n(a n + 3 n ?1 ) = n ? 2 n ,
∴ Tn = 1 ? 2 + 2 ? 2 2 + ... + n ? 2 n ①,

2Tn = 1 ? 2 2 + 2 ? 2 3 + ... + n ? 2 n +1 ②,

两式相减得 Tn = (?2 ? 2 2 ? ... ? 2n ) + n ? 2n +1
=?
21

2 (1 ? 2n ) 1? 2

+ n ? 2 n +1 = 2 ? 2 n +1 + n ? 2n +1 = (n ? 1)2 n +1 + 2

…… …… 13 分

解:⑴易知 F1 ( ?1,0) , F2 (1,0) , A(0,?1)
2 2 2 2

设点 P ( x1 , y1 ) ,

则 PF2 = ( x1 ? 1) + y1 = ( x1 ? 1) + 1 ?

x12 1 = ( x1 ? 2) 2 , 2 2
解得 x1 = 1

又⊙ M 的面积为

π
8

,所以

π
8

=

π
8

( x1 ? 2) 2

∴ P (1,±

2 ) 2

故 PA 所在直线的方程为 y = (1 +

2 2 ) x ? 1 或 y = (1 ? )x ?1 2 2

5分

⑵直线 AF1 的方程为 x + y + 1 = 0 ,且 M (

x1 + 1 y1 , ) 到直线 AF1 的距离为: 2 2

x1 + 1 y1 + +1 2 2 2

=

2 2 ? x1 2 4

化简得 y1 = ?1 ? 2 x1

? y1 = ?1 ? 2 x1 ? 联立方程组 ? x12 2 ? 2 + y1 = 1 ?

解得 x1 = 0 或 x1 = ?

8 9

1 1 1 1 ∴ ⊙ M 的方程为 ( x ? ) 2 + ( y + ) 2 = 2 2 2 2 8 1 7 1 2 7 2 169 当 x1 = ? 时,可得 M ( , ) , ∴ ⊙ M 的方程为 ( x ? ) + ( y ? ) = ;10 分 9 18 18 18 18 162
当 x1 = 0 时, 可得 M ( ,? ) , ⑶⊙ M 始终和以原点为圆心,半径为 r1 = 证明: OM =

1 2

2 (长半轴)的圆(记作⊙ O )相切.
2

( x1 + 1) 2 y12 + = 4 4

( x1 + 1) 2 1 x1 2 2 + ? = + x1 , 4 4 8 2 4

又⊙ M 的半径 r2 = MF2 =

2 2 ? x1 , 2 4



OM = r1 ? r2 ,即⊙ M 与⊙ O 相切.14 分
PF1 + PF2 = 2a ,∴ OM + MF2 = a = 2 ,∴ OM = 2 ? MF2

(3)法二

∴⊙ M 总与以原点为圆心以椭圆半长轴为半径的圆相内切

命题人 审 稿人

黄梅一中 方耀光 王卫华 黄冈教科院 丁明忠 黄冈中学 袁晓幼



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