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1.2.1综合法与分析法--综合法 学案(高中数学选修2-2 北师大版)


第一章 第二节 推理与证明 综合法与分析法 综合法 学习目标 1.理解综合法的思维过程及其特点; 2.掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤,能运用综合法证明简单的数学问题。 学法指导 在充分理解综合法的特点的基础上,体会综合法证题的思维过程和步骤;并通过例题的学习和练习逐 步学会运用综合法进行简单的数学证明。 事实上,我们对综合法应该很熟悉,以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明,大多运用的都是 综合法,数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的。 重点: 理解综合法的思维过程和特点; 难点:运用综合法证(解)题时,找出有效的推理“路线” ; 教学过程: 学生探究过程: 合情推理分归纳推理和类比推理, 所得的结论的正确性是要证明的, 数学中的两大基本 证明方法-------直接证明与间接证明。 若要证明下列问题: 已知 a,b>0,求证 a(b ? c ) ? b(c ? a ) ? 4abc 教师活动:给出以上问题,让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师 最后归结证明方法。 学生活动:充分讨论,思考,找出以上问题的证明方法 设计意图:引导学生应用不等式证明以上问题,引出综合法的定义 2 2 2 2 证明:因为 b ? c ? 2bc, a ? 0 , 2 2 所以 a(b ? c ) ? 2abc , 2 2 因为 c ? a ? 2ac, b ? 0 , 2 2 所以 b(c ? a ) ? 2abc . 2 2 因此, a(b ? c ) ? b(c ? a ) ? 4abc . 2 2 2 2 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论 1. 综合法 综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式 的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是: ? P ? Q1 ? ? (Q1 ? Q2 ) ? ?Q2 ? Q3 ? ? ..... ? ?Qn ? Q? 综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公 式,推出结论的一种证明方法 例 1、 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 A,B,C 成等差数列, a, b, c 成 等比数列,求证△ABC 为等边三角形. 分析:将 A , B , C 成等差数列,转化为符号语言就是 2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角,这是一个隐含条件,明确表示出来是 A + B + C = ? ; a , b,c 成等比数列,转 化为符号语言就是 b ? ac .此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和 2 边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求.于是,可以用余弦定理为 工具进行证明. 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语 言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来. 例 2、已知 a, b ? R ? , 求证 a b ? a b . 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 a b b a 注: 比较法是证明不等式的一种最基本、 最重要的方法。 用比较法证明不等式的步骤是: 作差(或作商) 、变形、判断符号。 讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 典例分析 例 1 设 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,求证: 分析:左边乘以

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