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[原创]2012年数学一轮复习精品试题第18讲 两角和与差及二倍角公式


第十八讲

两角和与差及二倍角公式

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) π? 4 ? 7π? 1.已知 cos? ?α-6?+sinα=5 3,则 sin?α+ 6 ?的值是( A.- C.- 2 3 5 4 5 2 3 B. 5 4 D. 5 )

π? 4 解析:∵cos? ?α-6?+sinα=5 3 ∴ 3 3 4 3 ?1 ? 4 cosα+ sinα= 3, 3 cosα+ sinα = 3, 2 2 5 2 ?2 ? 5

?π ?? 4 ?π ? 4 3? ?sin?6+α??=5 3,∴sin?6+α?=5,
7 π 4 α+ π?=-sin? +α?=- . ∴sin? 6 6 ? ? ? ? 5 答案:C π π? 3 2? ? ?5 ? 2.已知 cos? ?6-α?= 3 ,则 cos?6π+α?-sin ?α-6?的值是( 2+ 3 A. 3 2- 3 C. 3 B.- 2+ 3 3 )

-2+ 3 D. 3

5 π π+α?=cos?π-? -α?? 解析:∵cos? ?6 ? ? ?6 ?? π 3 ? =-cos? ?6-α?=- 3 . π? π? 1 2 2? 而 sin2? ?α-6?=1-cos ?α-6?=1-3=3, 所以原式=- 答案:B 3.若 sinα= A.- π π B. 4 4 5 10 ,sinβ= ,且 α、β 为锐角,则 α+β 的值为( 5 10 ) 2+ 3 3 2 - =- . 3 3 3

π π C.± D. 4 3
1

解析:解法一:依题意有 cosα= cosβ= 1-

1-

? 5?2=2 5, 5 ?5?

? 10?2=3 10, 10 ? 10 ?

2 5 3 10 5 10 2 ∴cos(α+β)= × - × = >0. 5 10 5 10 2 π ∵α,β 都是锐角,∴0<α+β<π,∴α+β= . 4 解法二:∵α,β 都是锐角,且 sinα= sinβ= 10 2 < , 10 2 5 2 < , 5 2

π π ∴0<α,β< ,0<α+β< , 4 2 ∴cosα= cosβ= 1- 1-

? 5?2=2 5, 5 ?5?

? 10?2=3 10, 10 ? 10 ?

sin(α+β)= π ∴α+β= . 4 答案:B

5 3 10 10 2 5 2 × + × = . 5 10 10 5 2

4 5 4.在△ABC 中,若 cosA= ,cosB= ,则 cosC 的值是( 5 13 16 A. 65 16 56 C. 或 65 65 56 B. 65 D.- 16 65

)

4 5 π 解析:在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,cosA= >0,cosB= >0,得 0<A< ,0 5 13 2 π 3 12 <B< ,从而 sinA= ,sinB= , 2 5 13 所以 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =sinA· sinB-cosA· cosB 3 12 4 5 16 = × - × = ,故选 A. 5 13 5 13 65 答案:A 5.若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ 的值等于( A.0 B.± 3 )

2

C.0 或 3

D.0 或± 3

1 解析: 由 cos2θ+cosθ=0 得 2cos2θ-1+cosθ=0, 所以 cosθ=-1 或 .当 cosθ=-1 时, 2 1 3 有 sinθ=0; 当 cosθ= 时, 有 sinθ=± .于是 sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0 或 3或- 3. 2 2 答案:D 评析:本题主要考查三角函数的基本运算,同角三角函数关系式以及倍角公式.解题 关键是熟练掌握公式,并注意不能出现丢解错误. 6.(2011· 海口质检)在△ABC 中,已知 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形 解析:sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB=sin[(A-B)+B]=sinA≥1,又 sinA≤1,∴sinA =1,A=90° ,故△ABC 为直角三角形. 答案:A 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) 7. 2cos10° -sin20° 的值是________. sin70°

2cos(30° -20° )-sin20° 解析:原式= sin70° = = 2(cos30° · cos20° +sin30° · sin20° )-sin20° sin70° 3cos20° = 3. cos20°

答案: 3 π cos2α ? 12 ? π? ? π? 8.已知 cos? ?4-α?=13,α∈?0,4 ?则 ?π ?(α∈?0,4?)=________. sin?4+α? cos2α-sin2α cos2α 解析:∵ = π 2 ? sin? ?4+α? 2 (sinα+cosα) = (cosα-sinα)(cosα+sinα) 2 (sinα+cosα) 2

π ? = 2(cosα-sinα)=2sin? ?4-α?. π? π ? π? 又 α∈? ?0,4?,则4-α∈?0,4 ?.

3

π ? 12 ?π ? 5 由 cos? ?4-α?=13,则 sin?4-α?=13. 10 ∴原式= . 13 10 答案: 13 9.(1+ 3tan10° )· cos40° =________. 解析:(1+ 3tan10° )cos40° = 1+ = = = 3sin10° +cos10° · cos40° cos10° 2sin(10° +30° ) · cos40° cos10° 2sin40° cos40° sin80° = =1. cos10° cos10°

? ?

3sin10° ?cos40° cos10° ?

答案:1 10.已知 α、β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则角 α=________. 解析:依题意有 cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ, 即 cosα(cosβ+sinβ)=sinα(sinβ+cosβ). ∵α、β 均为锐角 π ∴α= . 4 答案: π 4 ∴sinβ+cosβ≠0,必有 cosα=sinα

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β,它们的终边 分别与单位圆相交于 A、B 两点.已知 A、B 的横坐标分别为 2 2 5 , . 10 5

(1)求 tan(α+β)的值; (2)求 α+2β 的值.

4

解:由已知得 cosα=

2 2 5 ,cosβ= .∵α,β 为锐角, 10 5 7 2 5 ,sinβ= 1-cos2β= . 10 5

∴sinα= 1-cos2α= 1 ∴tanα=7,tanβ= . 2

1 7+ 2 tanα+tanβ (1)tan(α+β)= = =-3. 1 1-tanα· tanβ 1-7× 2 1 2× 2 2tanβ 4 (2)∵tan2β= = = , 1?2 3 1-tan2β ? 1-?2? 4 7+ 3 tanα+tan2β ∴tan(α+2β)= = =-1. 4 1-tanα· tan2β 1-7× 3 ∵α、β 为锐角,∴0<α+2β< 3π 3π ,∴α+2β= . 2 4

1 13 π 12.已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< . 7 14 2 (1)求 tan2α 的值; (2)求 β 的值. 分析:由已知可求 sinα,进而可求 tanα,tan2α;由角的关系入手,利用角的变换 β= α-(α-β)可求得 cosβ. 1 π 解:(1)由 cosα= ,0<α< , 7 2 得 sinα= 1-cos2α= 1?2 4 3 1-? ?7? = 7 .

sinα 4 3 7 ∴tanα= = × =4 3. cosα 7 1 于是 tan2α= 2×4 3 2tanα 8 3 =- . 2 = 47 1-tan α 1-(4 3)2

π π (2)由 0<β<α< ,得 0<α-β< . 2 2 13 又∵cos(α-β)= , 14 ∴sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 由 β=α-(α-β),得 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
5

3 3 14

1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π 所以 β= . 3 π 3π π 3 3 5 -α?= ,sin? +β?= ,求 sin(α+β)的值. 13.已知 0<β< <α< π,cos? 4 4 ? ? ? ? 4 4 5 13 π 3π 解:∵ <α< , 4 4 ∴- 3π π π π <-α<- ,- < -α<0. 4 4 2 4

π π 3 4 -α?= ,∴sin? -α?=- . 又∵cos? ?4 ? 5 ?4 ? 5 π 3π 3π 又∵0<β< ,∴ < +β<π. 4 4 4 3π ? 5 又∵sin? ? 4 +β?=13, 3π 12 ? ∴cos? ? 4 +β?=-13, π ? ∴sin(α+β)=-cos? ?2+(α+β)?

?3π ? ?π ?? =-cos? ?? 4 +β?-?4-α??
3π ? ?π ? ?3π ? ?π ? =-cos? ? 4 +β?cos?4-α?-sin? 4 +β?sin?4-α? 12? 3 5 ? 4? =-? ?-13?×5-13×?-5? = 36 20 56 + = . 65 65 65

评析:三角函数的给值求值问题 解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的配角技巧 α 1 1 α=2·;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);α= [(α+β)+(α-β)];β= [(α+β)-(α-β)]; 2 2 2 π π π -α?. +α= -? ? 4 2 ?4

6


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