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2012年江苏省高考数学试卷及解析



2012 年江苏省高考数学试卷及解析
注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题-第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其他位置作答 一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑加粗。 参考公式: (1)样本数据 x1 ,x2 ,…,xn 的方差 s =
2

? n

1

n

(x - x ) ,其中

i

2

i= 1

?x n
i= 1

1

n

i

.

(2)(2)直棱柱的侧面积 S=ch ,其中 c 为底面积,h 为高. (3)棱柱的体积 V= Sh ,其中 S 为底面积,h 为高. 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应位 ....... 置上。 ... 1、已知集合 A ? { ? 1, 2 , 2 , 4}, B ? { ? 1, 0 , 2}, 则 A ? B ? _______, 2、函数 f ( x ) ? log 5 ( 2 x ? 1) 的单调增区间是__________ 3、设复数 i 满足 i ( z ? 1) ? ? 3 ? 2 i (i 是虚数单位),则 z 的实部是_________ 4、根据如图所示的伪代码,当输入 a , b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值是________ Read a,b If a>b Then m? a Else m? b End If Print m 5、 1, 3, 这四个数中一次随机取两个数, 从 2, 4 则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 6、 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10, 8, 6, 6, 5, 则该组数据的方差 s ? ___
2

7、已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x tan 2 x

的值为__________
2 x

8、在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x ) ? 两点,则线段 PQ 长的最小值是________

的图象交于 P、Q

9、函数 f ( x ) ? A sin( wx ? ? ), ( A , w , ? 是常数, A ? 0 , w ? 0 ) 的部分图象如图所示,则
f ( 0 ) ? ____

?

7

?

3 12

?
? ?

2
2 3
? ? ? ? ? ?

10、已知 e 1 , e 2 是夹角为 ? 的两个单位向量, a ? e 1 ? 2 e 2 , b ? k e 1 ? e 2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 的值为 11、已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? ? ________ 12、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x ) ? e ( x ? 0 ) 的图象上的动点,该图
x

?

?

?2 x ? a, x ? 1 ?? x ? 2a, x ? 1

,若 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ,则 a 的值为

象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵 坐标为 t,则 t 的最大值是_____________ 13、设 1 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 7 ,其中 a 1 , a 3 , a 5 , a 7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a 6 成公差 为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________ 14、设集合 A ? {( x , y ) |
m 2
B ? {( x , y ) | 2 m ? x ? y ? 2 m ? 1, x , y ? R } , 若 A ? B ? ? ,

? ( x ? 2) ? y
2

2

? m , x, y ? R} ,
2

则实数 m 的取值范围是

______________ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程活盐酸步骤。

15、在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a , b , c (1)若 sin( A ? (2)若 cos A ?
?
6 1 3 ) ? 2 cos A , 求 A 的值; , b ? 3 c ,求 sin C 的值.

P E D A F C B

16、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证:(1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

17、请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个 端点,设 AE=FB=xcm (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值。
3 2

D

C

P

A

x

E

F x

B

18、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的顶点,过坐标原点

4

2

的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 y 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC, x 并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; P (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB M A N C B x

19、已知 a,b 是实数,函数 f ( x ) ? x ? ax , g ( x ) ? x ? bx ,
3 2

f ? ( x ) 和 g ? ( x ) 是 f ( x ), g ( x )

的导函数, f ? ( x ) g ? ( x ) ? 0 在区间 I 上恒成立, 若 则称 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 I 上单调性一致 (1)设 a ? 0 ,若函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 [ ? 1, ?? ) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (2)设 a ? 0 , 且 a ? b ,若函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,求 |a-b|的最大值

20、设 M 为部分正整数组成的集合,数列 { a n } 的首项 a 1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知对任意 整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n ? k ? S n ? k ? 2 ( S n ? S k ) 都成立 (1)设 M={1}, a 2 ? 2 ,求 a 5 的值;(2)设 M={3,4},求数列 { a n } 的通项公式



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