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山东省桓台第二中学2015-2016学年高二数学4月月考试题`



山东省桓台第二中学 2015-2016 学年高二数学 4 月月考试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1. 复数

10i ? 1 ? 2i
B. ?4 ? 2i C. 2 ? 4i D. 2 ? 4i

A. 4 ? 2i


2、已知集合 A ? ?x | x ? 0? , B ? x | ? x ? 2?? x ? 3? ? 0 ,则 A ? B ? A

?

?

?x | ?3 ? x ? 0?

B

?x | ?3 ? x ? ?2?

C

?x | ?2 ? x ? 0?

D

?x | x ? 3?


3、已知集合 A ? { y | y ? sin x, x ? R} ,集合 B ? {x | y ? lg x} ,则 (CR A) ? B 为( A. (??, ?1) ? (1, ??) B. [ ?1,1] C.

(1, ??)

D. [1, ??)

4、已知 x, y 是实数,则 " ?

?x ? 1 ?x ? y ? 2 的 "是? ?y ?1 ? xy ? 1
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

5、已知命题 p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 正确的是( ) A. p 为真 B. ?p 为假

? 5 ;命题 q : ?x ? (0, ), x ? sin x ,则下列判断 2 2
D. p ? q 为假

C. p ? q 为真
3

6、已知 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 ,则 A、a<b<c B、c<b<a C、c<a<b D、b<c<a

3 5

2

2 5

2 5

2

7、 设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的函数, 当 x ?[?2,1) 时,f ( x) ? ? 则 f(f( A.

?4 x 2 ? 2, ?2 ? x ? 0, ? x, 0 ? x ? 1,

21 )) ? ( 4 1 ? 4

) B.
| x|

1 4

C.

3 4

D. 0 )

8、函数 y ? 4cos x ? e ( e 为自然对数的底数)的图像可能是(

[来源:学科网]

1

9 设函数 y ? f ? x ?? x ? R ? 为偶函数,且 ?x ? R ,满足

3? 1? ? ? f ? x ? ? ? f ? x ? ?,当x ? ? 2,3? 时, f ? x ? ? x ,则当 x ?? ?2,0? 时, f ? x ? ? 2? 2? ? ?
A. x ? 4 B. 2 ? x C. 2 ? x ? 1 D. 3 ? x ? 1

10、若函数 f ( x) ? 1 ? 值是( A.0 ) B. 1

2 x ?1 ? sin x 在区间 [?k , k ](k ? 0) 上的值域为 [ m, n] ,则 m ? n 的 2x ? 1
C. 2 D. 4

二.填空题:

?2 ? i? 11、若复数 z ?
i

2

( i 为虚数单位),则 z ?

12、 已知命题 p : ?x ? R,|1 ? x | ? | x ? 5 |? a , 若 ?p 为假命题, 则 a 的取值范围是 ______. 13、已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 (1 ? x) ? 1 x ? 1
?2 ? x       x ? 1

,若 f (a) ? 3 ,则 a ?

14 、已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且 f ? x ? 2? ? f ? x? ,当 x ??0,1 ? 时,

1 3 关于 x 的方程 ax ? 3a ? f ? x ? ? 0 在区间上 ? ?3, 2? 不相等的实数 f ? x ? ? 3x, 若 ? a ? , 2 4
根的个数为 . 15、若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P、Q 关于原点对称,则对称点(P,Q)是函数 y=f(x)的一个“伙伴点组”(点对(P,Q)与 (Q, P) 看作同一个 “伙伴点组” ) . 则下列函数中, 恰有两个 “伙伴点组” 的函数是 (填 空写所有正确选项的序号)

三、解答题: (16)(本小题满分 12 分)
2

1 3 2 ?2 0 求值:(1) (2 ) 2 ? (?7.8) ? (3 ) 3 ? ( ) 4 8 3
4

1

2

(2) log9

27 ? lg 20 ? log100 25 ? 5 log5 2 3

(17)(本小题满分 12 分) 2 已知集合 A={x|x -3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 A∪B=A,求出实数 m 的取值 范围。

(18) (本小题满分 12 分)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? f ( x ) ? 已知函数 ? x ? 3 (?2 ? x ? ) ( x ? R ), 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2
(1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)已知 m ? R , p :关于 x 的不等式 f ( x) ? m2 ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立;

q :函数 y ? (m2 ? 1) x 是增函数.若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,
求实数 m 的取值范围.

(19)(本小题满分 12 分) a (1)已知 a>0,函数 f(x)=x+ (x>0),证明:函数 f(x)在(0, a]上是减函数,在 x [ a,+∞)上是增函数; 1 2 (2)求函数 y=log (x -4x+3)的单调区间. 3 (20)(本小题满分 13 分)

3

在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖 店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙, 并约定 从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后, 逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件 14 元;② 该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大 余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?

(21)(本小题满分 14 分) 函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0, (1)求 f (0) 的值; (2)对任意的 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) ,都有 f(x1)+2<logax2 成立时,求 a 的取值范围.

1 2

1 2

4

高二数学试题参考答案 一.选择题:B C C A B D 二.填空题: 5 三、解答题: (16) (18)

B A D D 5 ②③

? 4, ?? ?

-3

1 2

31 8

(17) m ? 3

a? ? a? ? (19) (1)证明 法一 任意取 x1>x2>0, 则 f(x1)-f(x2)=?x1+ ?-?x2+ ?=(x1 x1 x2 ? ? ? ? -x2)+?

? a - a ?=(x1-x2)+a(x2-x1)=(x1-x2)?1- a ?. ? ? x1x2? x1x2 ?x1 x2? ? ?

a 当 a≥x1>x2>0 时,x1-x2>0,1- <0, x1x2 有 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a]上为减函数; x a 当 x1>x2≥ a时,x1-x2>0,1- >0, x1x2 有 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在[ a,+∞)上为增函数; x a 综上可知,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a]上为减函数;在[ a,+∞)上为增函数. x a a 法二 f′(x)=1- ,令 f′(x)>0,则 1- >0, x2 x2
5

a 解得 x> a或 x<- a(舍).令 f′(x)<0,则 1- <0, x2 解得- a<x< a.∵x>0,∴0<x< a. ∴f(x)在(0, a)上为减函数;在( a,+∞)上为增函数, 也称为 f(x)在(0, a]上为减函数;在[ a,+∞)上为增函数. 1 (2)解 令 u=x2-4x+3,原函数可以看作 y=log u 与 u=x2-4x+3 的复合函数. 3 令 u=x2-4x+3>0.则 x<1 或 x>3. 1 ∴函数 y=log (x2-4x+3)的定义域为 3 (-∞,1)∪(3,+∞). 又 u=x2-4x+3 的图象的对称轴为 x=2,且开口向上, 1 ∴u=x2-4x+3 在(-∞,1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数.而函数 y=log u 3 在(0,+∞)上是减函数, 1 ∴y=log (x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+∞),单调递增区间为(-∞,1). 3 (20)解设该店月利润余额为 L 元, 则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,① -2P+50 ? ? 由销量图易得 Q=? 3 - P+40 ? ? 2 代入①式得 (-2P+50)(P-14)×100-5 600 (14≤P≤20), ? ? L=?? 3 ? ?-2P+40?(P-14)×100-5 600(20<P≤26), ? ? ?? (1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元; 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= 元,此时 P= 元. 3 3 故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元. (2)设可在 n 年后脱贫, 依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20. 即最早可望在 20 年后脱贫. (21)(1)由已知等式 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x ,令 x ? 1 , y ? 0 得 f (1) ? f (0) ? 2 , 又∵ f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? ?2 .
6

(14≤P≤20), (20<P≤26),

(2)由 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x ,令 y ? 0 得 f ( x) ? f (0) ? ( x ? 1) x ,由(1)知

1 1 2 f ( x1 ) ? 2 ? x1 ? x1 ? ( x1 ? )2 ? 在 2 4 1 3 1 1 x1 ? (0, ) 上单调递增,∴ f ( x1 ) ? 2 ? (0, ) .要使任意 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) 都有 2 4 2 2 3 1 f ( x1 ) ? 2 ? log a x2 成立,必有 ? log a x2 都成立.当 a ? 1 时,log a x2 ? log a ,显然不成 2 4
f (0) ? ?2 , ∴ f ( x) ? 2 ? x ? x . ∵
2

1 x1 ? ( 0 , 2

,∴ )

立.当 0 ? a ? 1 时, (log a x2 ?) log a

3 3 1 3 4 4 ? ,解得 ,1) . ? a ? 1∴ a 的取值范围是 [ 2 4 4 4

7



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