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2011数学模拟题x2



一、

填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分。把答案写在横线上)

1.函数 y ?

1 ? x ? 2 的定义域是 x
。 。 。 。



2. lim

sin5 x ? x?0 2 x

3.微分方程

y?x ? y ? 0 的通解是 4.设 y

? a 2 ? x 2 ,则 dy ?

5.不定积分

?x

x2 ? 3dx =

二、 单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,在每小题四个 选项中,只有一个是符合题目要求的,把所选字母填在括号内)

? x 2 ,0 ? x ? 1 1.设 f ( x) ? ? , 在点 x ? 1 处必定 ? x,1 ? x ? 2
A.连续但不可导 C.不连续但可导 2.曲线 y ? A. y ? C. y ? B.连续且可导 D.不连续,故不可导





x 在点 x ? 4 处的切线方程是
B. y ?





1 x ?1 4 1 x ?1 4

1 x ?1 2 1 x?2 4
( D. x
3

D. y ?

3.下列函数在区间 [?1,1] 上满足罗尔定理条件的是 A. 4.设



1 x2

B.

1 1 ? x2

C. x

f ? x ? 的原函数为 sin x ,则 f ? ? x ? ?
B. sin x C. ?cos x

( D. ? sin x (



A. cos x

5.设 f ? x ? 为连续函数,则下列等式中正确的是 A.



?

f ?( x)dx ? f ( x)

B.

d f ( x)dx ? f ( x) ? C dx ?

C. d f ( x)dx ? f ( x)dx

?

D. d f ( x)dx ? f ( x)

?

三、

计算题

(本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分)
3x

? 3? 1.求极限 lim ?1 ? ? 。 x?? ? x?
2.求极限

lim

ex ? x ? 1 。 x?0 x e x ? 1 ? ?

3.设函数 y ?

1 dy ,求 。 ? 1 ? cos x x2 dx

?e x ? 1 , x ? 0 4.试讨论函数 f ( x) ? ? , 在点 x ? 0 处的连续性与可导性。 2 x , x ? 0 ?
5.设方程 xe ? e ? y ? 1 ? 0 确定隐函数 y ? y( x) ,求 y?
y x x ?0



6.求不定积分 x cos xdx 。 7.求不定积分

?

?

xdx 。 x?5

四、 1.设 e

解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)
?x



f ? x ? 的一个原函数,求 ? e x f ? ? x ? dx 。

2.过点

? 2, 0 ? 作曲线 y ?

1 的切线,求切线方程。 x

3 .某商店以每条 100 元的进价购进一批牛仔裤,设此种商品的需求函数为 。问 Q ? 400 ? 2P (其中 Q 为需求量,单位为条; P 为销售价格,单位为元) 应将售价定为多少,才可获得最大利润?最大利润是多少?

2011 级《微积分》 (上册·经管类)试卷样题答案

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、 x ? ?2, x ? 0 或 [?2,0) (0, ??) 4、 ?
x a2 ? x2 dx

2、

5 2

3、 y ? Cx

3 1 2 5、 ? x ? 3? 2 ? C 3

二、单选题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、 A 2、 C 3、 B 4、D 5、 C

三、计算题(本题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分) 1、
x ? ? 3 ? ? ? ? 3x ? ? 1 ? 3? lim ?1 ? ? ? lim ??1 ? ? ? ? e9 x ?? x ?? ? x ? x? ? ? ? ? ?? 3 ? ? ? ? ? 9

ex 1 ex ? x ? 1 ex ? 1 ? lim x ? 2、 lim ? lim x x x x x x?0 x e ? 1 ? ? x??? e ? 1 ? xe x??? e ? e ? xe 2

3、 4、

dy 2x sin x 2 sin x ?? 4 ? ? ?( 3 ? ) dx x 2 1 ? cos x x 2 1 ? cos x

f (0) ? 0, f ? 0? ? ? 0, f ? 0? ? ? 0 ,即 lim f ( x) ? f (0) 。
x?0

? f ( x) 在点 x ? 0 处连续
又 f ?? ? 0 ? ? lim ?
x?0

f ? x ? ? f (0) 2x ? lim ?2 ? x?0 x x

f ?? ? 0 ? ? lim ?
x?0

f ? x ? ? f (0) ex ? 1 ? lim ?1 x?0? x x

? f ( x) 在 x ? 0 处不可导。
5、方程两边对 x 求导,得 e y ? xe y y? ? e x ? y? ? 0,
ex ? e y y? ? ,用 x ? 0 代已知方程得 y ? 2 1 ? xe y

? y?

1 ? e2 ? 1 ? e2 x ?0 ? 1? 0

6、 ? x cos xdx ? ? xd sin x ? x sin x ? ? sin xdx ? x sin x ? cos x ? C 7、 令 x ? 5 ? t ? t ? 0 ? , x ? t 2 ? 5, dx ? 2tdt ,

?

? t3 ? x t2 ? 5 2 dx ? ? ? 2tdt ? 2? ? t ? 5 ?dt ? 2 ? ? 5t ? ? C t x?5 ?3 ?

3 ? ? 1 2 x ? 5 ? ? ? ?2 ? 5 ? x ? 5? 2 ? ? C ? ? 3 ? ?

四、解答题(本题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分) 1、 ? e x f ? ? x ?dx ? ? e x df ? x ? ? e x f ? x ? ? ? f ? x ? e x dx
f ? x ? ? ? e ? x ?? ? ?e ? x

?原式 ? e x ? ?e? x ? ? ? ?e? x e x dx ? ?1 ? x ? C

(或原式 ? x ? C )
1 x ? x0 ? 2 ? x0

2、 设 ? x0 , y0 ? 是曲线上的点, 过此点的切线方程为 y ? y0 ? ? 其中 y0 ?

1 1 1 ,用点 ? 2,0 ? 代入上切线方程得 ? ? ? 2 ,得 x0 ? 1 且 x0 x0 x0

y0 ? 1
所求切线方程为: y ? 1 ? ? ? x ? 1? ,即 x ? y ? 2 3、设卖出 Q 条裤子的总收入是 R ? PQ ,而总成本是 C ? 100Q , 则总利润 L ? R ? C ? PQ ? 100Q ? ? P ? 100? Q

? ? P ? 100 ? (400 ? 2P)
? ?2P2 ? 600P ? 40000
L? ? ?4 P ? 600 ,令 L? ? 0 解出 P ? 150

而 L?? ? ?4 ? 0 ,故当 P ? 150 时, L 有极大值 L ? 5000 元 由于极值点唯一,故售价 P ? 150 元时,总利润最大,其值为 5000 元



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