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浙江省诸暨市草塔中学2013届高三12月月考数学(理)试题



诸暨市草塔中学 2013 届高三 12 月月考 数学(理)试题
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若集合 M = {x || x |≤ 2}, N = {x | x ? 3 x = 0} ,则 M∩N= A. {3} B. {0} C. {0, 2} D.
2

>




{0,3}

2.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为( ) C.

1 A. 4

79 B. 120

3 4

D.

23 24

3.设复数 z 满足关系 z ? i = ?1 + A.

3 +i 4

3 i ,那么 z 等于( ) 4 3 3 B. ? + i C. ? ? i 4 4
)

D.

3 ?i 4

4. 按照如图的程序框图执行,若输出结果为 15,则 M 处条件为(

A. k ≥ 16 5.

B. k < 8

C. k < 16

D. k ≥ 8 )

(

x +3 x

)

12

展开式中含 x 的正整数次幂的项共有( B. 2 项 D. 4 项

A.1 项 C. 3 项

6.对两条不相交的空间直线 a 和 b,则( ) A.必定存在平面α,使得 a ? α , b ? α B.必定存在平面α,使得 a ? α , b / /α C.必定存在直线 c,使得 a / / c, b / / c D.必定存在直线 c,使得 a / / c, b ⊥ c

7.定义在 R 上的函数 y = f ( x) 满足 f (5 + x) = f ( ? x) , ( x ?

5 / 则 ) f ( x) > 0 ,已知 x1 < x2 , 2

f ( x1 ) > f ( x2 ) 是 x1 + x2 < 5 的(

)条件.

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充分必要

D.既不充分也不必要
2 2

8.设点 A(1,0), B ( 2,1) ,如果直线 ax + by = 1 与线段 AB 有一个公共点,那么 a + b (



A.最小值为

1 5

B. 最小值为

5 5

C. 最大值为

1 5

D 最大值为

5 5

9.抛物线 y = 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过 F 且倾斜角等于 60°的直线与 抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AB ⊥ l ,垂足为 B ,则四边形 ABEF 的面积等于 ( ) A. 3 3 B. 4 3
2

2

C. 6 3

D. 8 3 )

10.如果函数 f ( x ) = x + a ? x ? 2 ( a > 0 ) 没有零点,则 a 的取值范围为 ( A. ( 0,1) B. ( 0,1) ∪

(

2, +∞

)

C. ( 0,1) ∪ ( 2, +∞ )

D. 0, 2 ∪ ( 2, +∞ )

(

)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.已知 cos(α +

π 3 π 3 ) = , ≤ α < π , 则 cos 2α 的值是 4 5 2 2
??? ? ??? ? ??? ?

.

12.如图,已知 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形, 则 BA ? ( BC + CF ) 的值为

13.一个几何体的三视图如右图,则这个几何体的表面积为______________ 14. 等 差 数 列 {a n } 中 , S n 是 前 n 项 和 , a1 = ?2010 , 为 ;

S 2007 S 2005 ? = 2 , 则 S 2013 的 值 2007 2005

15.在 1,2,3,4,5,6,7 的任一排列 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a6 , a7 中,使相邻两数都互质的排列 方式种数共有_______________ 16.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各棱长都等于 2,下底面 ABC 在水平面上保持不动,在侧棱 与底面所成的角保持为 60 的情况下,上底面 A1 B1C1 还是可以移动的,则 ?A1 B1C1 在下底面
?

ABC 所在平面上的竖直投影所扫过的区域的面积为______________

17. 若双曲线

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) 上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲 a 2 b2


线的中心)的对称点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = (1)当 x ∈ (0,

3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 2

π ) ,求 f ( x) 的值域; 2
3, f ( C ) = 0 ,若向量

( 2 )设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c =

m = (1,sin A ) 与向量 n = ( 2,sin B ) 共线,求 a, b 的值.
19. (本小题满分 14 分) 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分, 答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为

2 2 2 1 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , 3 3 3 2

且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队 总得分”这一事件,求 P(AB). 20. (本小题满分 15 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA ⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形, AB=4, PA =3,A 点在 PD 上的射影为 G 点,E 点在 AB 上,平面 PEC⊥平面 PDC. (1)求证:AG∥平面 PEC; (2)求 AE 的长; (3)求二面角 E—PC—A 的正弦值.

21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知点 M (1, e) + = 1(a > b > 0) 上的点到左焦点为 F 的最大距离是 2 + 3 , a 2 b2 在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率。
如图, 椭圆 (1)求椭圆的方程; (2)过原点且斜率为 k 的直线交椭圆于 P 、 Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 x 轴上的射 影为点 N ,直线 QN 交椭圆于另一点 H . 证明:对任意的 k > 0 ,点 P 恒在以线段 QH 为直径的圆内。

22. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = x ? ( a + 2 ) x + a ln x. (1)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; ( 2 )设定义在 D 上的函数 y = g ( x ) 在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y = h ( x ) , 当 x ≠ x0 时, 若

2

g ( x) ? h ( x) 则称 P 为函数 y = g ( x ) 的“Hold 点”。 当 a = 4 时, > 0 在 D 内恒成立, x ? x0

试问函数 y = f ( x ) 是否存在“Hold 点”,若存在,请求出“Hold 点”的横坐标,若不存在, 请说明理由。



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