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1.2.3反证法


反证法

小故事

路边苦李

古时候有个人叫王戎,7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩,看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了,小伙伴们都跑去摘,只 有王戎站着没动。他说:“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝, 李子果然苦的没法吃。

小伙伴问王戎:“这就怪了!你又 没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”

王戎说:“如果李子是甜的,树 长在路边,李子早就没了!李 子现在还那么多,所以啊,肯 定李子是苦的,不好吃!”

引例
证明:一个三角形中不能有 两个角是直角.
已知:△ABC. 求证:∠A、∠B、∠C中不能
有两个角是直角.

反证法的一般步骤:
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立; (2)从这个假设出发,经过推理 论证,得出矛盾; (3) 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确。
反设

归谬

结论

反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a 或_________, x=b 证明 假设_________
(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________ 时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,

x=b 时,_________________, (x-a)(x-b)=0 又_________
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,

从而______________________. x ≠a且 x ≠b

例 1

用反证法证明:圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O

已知:如图,在⊙O中,弦AB、 CD交于点P,且AB、CD不是直径. 求证:弦AB、CD不被P平分.

D

证明:假设弦AB、CD被P平分,
由于P点一定不是圆心O,连结OP, 根据垂径定理的推论,有

P

C
B

OP⊥AB,OP⊥CD, 即过点P有两条直线与OP都垂直,这与垂 线性质矛盾。
所以,弦AB、CD不被P平分。

证法二

A O P C B D

证明: 假设弦AB、CD被P点平分, 连结 AD、BD、BC、AC,

因为弦AB、CD被P点平分,所以四边形 ABCD是平行四边形,而圆内接平行四边 形必是矩形,则其对角线AB、CD必是 ⊙O的直径,这与已知条件矛盾。 所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。

例 2

用反证法证明 : 如果a ? b ? 0, 那么 a ? b .
或者 a ? b

证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a ? b ,
因为a ? 0, b ? 0, 所以 a ? b ? a a ? b a与 a b ? b b ? a ? b a? b?a?b

这些都同已知条件a ? b ? 0矛盾, 所以 a ? b

演练反馈

1. 用反证法证明: 若方程ax +bx+c=0 (a ≠0)有两个不相等的实数根, b2-4ac>0.
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是 直角,则∠B一定是锐角.

2



总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论

2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?

用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾,自相矛盾等.


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