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2012届高三数学一轮复习第十章统计与概率10-9


第 10 章
一、选择题

第9节

1.(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没 有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 B.200 C.300 D.400 [答案] B [解析] 记“不发芽的种子数为 ξ”, ξ~B(1 000, 则 0.1), 所以 E(ξ)=1 000×0.1=100, 而 X=2ξ,故 E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200,故选 B. 2.设随机变量 ξ 的分布列如下: )

ξ P

-1 a

0 b

1 c )

1 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)= ,则 D(ξ)=( 3 4 A. 9 1 B.- 9 2 C. 3 5 D. 9 [答案] D

[解析] 由条件 a,b,c 成等差数列知,2b=a+c,由分布列的性质知 a+b+c=1,又 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 E(ξ)=-a+c= ,解得 a= ,b= ,c= ,∴D(ξ)= ×?-1-3?2+ ?0-3?2+ ?1-3?2= . ? 3? ? 2? ? 9 3 6 3 2 6 ? 3.某区于 2010 年元月对全区高三理科 1400 名学生进行了一次调研抽测,经统计发现 5 科总分 ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布 N(450,1302),若 ξ 在(0,280)内取值的概率为 0.107, 则该区 1400 名考生中总分为 620 分以上的学生大约有(结果四舍五入)( A.100 人 B.125 人 C.150 人 D.200 人 )

[答案] C [解析] 由条件知,P(ξ>620)=P(ξ<280)=0.107,1400×0.107≈150. 4.(2010·山东济南模拟)下列判断错误的是( )

A.在 1000 个有机会中奖的号码(编号为 000~999)中,有关部门按照随机抽取的方式 确定后两位数字是 09 号码为中奖号码,这是用系统抽样方法确定中奖号码的; B.某单位有 160 名职工,其中业务人员 120 名,管理人员 24 名,后勤人员 16 名.要 从中抽取容量为 20 的要本,用分层抽样的方法抽取样本; C.在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸,在一定条件下生长的小麦的株高、 穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布; D.抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为 0.5,则某人抛掷 10 次硬币,一定有 5 次 出现“正面向上”. [答案] D 5.(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到 6 白球个数的数学期望值为 ,则口袋中白球的个数为( 7 A.3 B.4 C.5 D.2 [答案] A [解析] 设白球 x 个, 则黑球 7-x 个, 取出的 2 个球中所含白球个数为 ξ, ξ 取值 0,1,2, 则 C7-x2 (7-x)(6-x) P(ξ=0)= 2 = , 42 C7 x·(7-x) x(7-x) P(ξ=1)= = , C 72 21 Cx2 x(x-1) , P(ξ=2)= 2= C7 42 (7-x)(6-x) x(7-x) x(x-1) 6 ∴0× +1× +2× = , 42 21 42 7 ∴x=3. 6.一台机器生产某种产品,如果生产一件甲等品可获利 50 元,生产一件乙等品可获利 30 元,生产一件次品,要赔 20 元,已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为 0.6、0.3 和 0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利( A.39 元 B.37 元 C.20 元 ) )

100 D. 元 3 [答案] B [解析] ξ 的分布列为 ξ p 50 0.6 30 0.3 -20 0.1

∴E(ξ)=50×0.6+30×0.3+(-20)×0.1=37(元),故选 B. 7.(2010·广州市)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动,现场准备的抽奖箱里放置了 分别标有数字 1000、800、600、0 的四个球(球的大小相同),参与者随机从抽奖箱里摸取一 球(取后即放回),公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元),并规定摸到标有数字 0 的 球时可以再摸一次,但是所得奖金减半(若再摸到标有数字 0 的球就没有第三次摸球机会), 求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元.( A.450 元 B.900 元 C.600 元 D.675 元 [答案] D 1 [解析] 摸到数字 0 的概率为 ,再摸一次,故得 500 元、400 元、300 元、0 元的概率 4 1 1 1 分别为 × = ,故分布列为 4 4 16 ξ P 1000 1 4 800 1 4 600 1 4 500 1 16 400 1 16 300 1 16 0 1 16 )

1 1 1 1 1 1 1 ∴E(ξ)=1000× +800× +600× +500× +400× +300× +0× =675. 4 4 4 16 16 16 16 8.小明每次射击的命中率都为 p,他连续射击 n 次,各次是否命中相互独立,已知命 中次数 ξ 的期望值为 4,方差为 2,则 p(ξ>1)=( 255 A. 256 9 B. 256 247 C. 256 7 D. 64 [答案] C [解析] 由条件知 ξ~B(n,P), )

?E(ξ)=4, ?np=4 ? ? ∵? ,∴? , ? ? ?D(ξ)=2 ?np(1-p)=2

1 解之得,p= ,n=8, 2 1 1 1 ∴P(ξ=0)=C80×?2?0×?2?8=?2?8, ? ? ? ? ? ? 1 1 1 P(ξ=1)=C81×?2?1×?2?7=?2?5, ? ? ? ? ? ? ∴P(ξ>1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1) 1 1 247 =1-?2?8-?2?5= . ? ? ? ? 256 9.某次国际象棋比赛规定,胜一局得 3 分,平一局得 1 分,负一局得 0 分,某参赛队 员比赛一局胜的概率为 a,平局的概率为 b,负的概率为 c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛一 局得分的数学期望为 1,则 ab 的最大值为( 1 A. 3 1 B. 2 1 C. 12 1 D. 6 [答案] C 1 1 3a+b?2 1 1 = ,等号在 3a=b= ,即 a [解析] 由条件知,3a+b=1,∴ab= (3a)·b≤ ·? 3 ? 2 ? 12 2 3 1 1 = ,b= 时成立. 2 6 10.(2010·深圳市调研)已知三个正态分布密度函数 φi(x)= 1,2,3)的图象如图所示,则( ) (x-?i) 1 e- (x∈R,i= 2σi2 2πσi
2

)

A.?1<?2=?3,σ1=σ2>σ3 B.?1>?2=?3,σ1=σ2<σ3 C.?1=?2<?3,σ1<σ2=σ3 D.?1<?2=?3,σ1=σ2<σ3 [答案] D

[解析] 正态分布密度函数 φ2(x)和 φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称,所以其平均 数相同,故 ?2=?3,又 φ2(x)的对称轴的横坐标值比 φ1(x)的对称轴的横坐标值大,故有 ?1<?2 =?3.又 σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“瘦高”,由图象可知,正态分布密度函 数 φ1(x)和 φ2(x)的图象一样“瘦高”,φ3(x)明显“矮胖”,从而可知 σ1=σ2<σ3. 二、填空题 11.(2010·山东潍坊质检)如图,A、B 两点间有 5 条线并联,它们在单位时间内能通过 的信息量依次为 2,3,4,3,2.现从中任取 3 条线且记在单位时间内通过的信息总量为 ξ.则信息总 量 ξ 的数学期望为________.

[答案]

42 5

[解析] 由题意得,ξ 的可能取值为 7,8,9,10. C21C22+C22C11 3 C 21C 22 1 ∵P(ξ=7)= = , 3 = ,P(ξ=8)= 5 10 C5 C 53 C 21C 21C 11 2 C 22C 11 1 P(ξ=9)= = ,P(ξ=10)= = , 3 C5 5 C 53 10 ∴ξ 的分布列为: ξ P 7 1 5 8 3 10 9 2 5 10 1 10

1 3 2 1 42 E(ξ)= ×7+ ×8+ ×9+ ×10= . 5 10 5 10 5 12.(2010·广东江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件,它们在一小时内生 产出的次品数 X1、X2 的分布列分别如下:

X1 P

0 0.4

1 0.4

2 0.1

3 0.1

X2 P

0 0.3

1 0.5

2 0.2

两台机床中,较好的是________,这台机床较好的理由是________. [答案] Ⅱ 因为 E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2) 13.(2010·南京调研)袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个都是白球的

5 概率为 .现甲、乙两人从袋中轮流取球,甲先取,乙后取,然后甲再取…,每次取 1 个球, 12 取出的球不放回,直到其中有一人取到白球时终止.用 X 表示取球终止时取球的总次数. (1)袋中原有白球的个数为________. (2)随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 10 [答案] (1)6 (2) 7 [解析] (1)设袋中原有 n 个白球,则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为 n(n-1) 2 5 即 = ,化简得 n2-n-30=0. 12 9×8 2 解得 n=6 或 n=-5(舍去). 故袋中原有白球的个数为 6. (2)由题意,X 的可能取值为 1,2,3,4. 6 2 P(X=1)= = ; 9 3 3×6 1 P(X=2)= = ; 9×8 4 3×2×6 1 P(X=3)= = ; 9×8×7 14 3×2×1×6 1 = . P(X=4)= 9×8×7×6 84 所以 X 的概率分布列为: X P 1 2 3 2 1 4 3 1 14 4 1 84 C n2 5 = , C92 12

2 1 1 1 10 所求数学期望 E(X)=1× +2× +3× +4× = . 3 4 14 84 7 14.(2010·广东高考调研)如果随机变量 ξ~B(n,p),且 E(ξ)=4,且 D(ξ)=2,则 E(pξ -D(ξ))=________. [答案] 0 [解析] ∵ξ~B(n,p),且 E(ξ)=4,∴np=4, 1 又∵D(ξ)=2,∴np(1-p)=2,∴p= , 2 1 1 ∴E(pξ-D(ξ))=E( ξ-2)= E(ξ)-2=0. 2 2 三、解答题

15.某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课程互不影响,已知某学生 只选修甲的概率为 0.08,只选修甲和乙的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0.88,用 ξ 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (1)记“函数 f(x)=x2+ξx 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (2)求 ξ 的分布列和数学期望. [解析] 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是 x,y,z,

?x(1-y)(1-z)=0.08 ? 由题意有?xy(1-z)=0.12 ?1-(1-x)(1-y)(1-z)=0.88 ? ?x=0.4 ? 解得?y=0.6 ?z=0.5 ?



.

(1)∵函数 f(x)=x2+ξx 为 R 上的偶函数,∴ξ=0. ξ=0 表示该学生选修三门功课或三门功课都没选. ∴P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z) =0.4×0.6×0.5+0.12=0.24. (2)依题意 ξ=0,2,则 ξ 的分布列为 ξ P ∴E(ξ)=0×0.24+2×0.76=1.52. 16.(2010·新乡市调研)高二下学期,学校计划为同学们提供 A、B、C、D 四门方向不同 的数学选修课,现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制,不允许多选, 也不允许不选). (1)求 3 位同学中,选择 3 门不同方向选修的概率; (2)求恰有 2 门选修没有被 3 位同学选中的概率; (3)求 3 位同学中,选择选修课程 A 的人数 ξ 的分布列与数学期望. A 43 3 [解析] (1)设 3 位同学中,从 4 门课中选 3 门课选修为事件 M,则 P(M)= 3 = . 4 8 (2)设 3 位同学中,从 4 门课中选 3 门课选修,恰有 2 门没有选中为事件 N,则 P(N)= C 42C 32A 22 9 = . 43 16 (3)由题意,ξ 的取值为 0、1、2、3. C31×3×3 27 33 27 则 P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= = , 4 64 43 64 C32×3 9 1 1 P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3= . 4 64 4 64 0 0.24 2 0.76

∴ξ 的分布列为 ξ P 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

27 27 9 1 3 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 64 64 64 64 4 17.设两球队 A、B 进行友谊比赛,在每局比赛中 A 队获胜的概率都是 p(0≤p≤1). 2 (1)若比赛 6 局,且 p= ,求其中 A 队至多获胜 4 局的概率是多少? 3 (2)若比赛 6 局,求 A 队恰好获胜 3 局的概率的最大值是多少? (3)若采用“五局三胜”制,求 A 队获胜时的比赛局数 ξ 的分布列和数学期望. [解析] (1)设“比赛 6 局,A 队至多获胜 4 局”为事件 A, 则 P(A)=1-[P6(5)+P6(6)] 2 2 2 256 473 =1-?C65?3?5?1-3?+C66?3?6?=1- = . ? ? ?? ? ? ?? 729 729 473 ∴A 队至多获胜 4 局的概率为 . 729 (2)设“若比赛 6 局,A 队恰好获胜 3 局”为事件 B,则 P(B)=C63p3(1-p)3. 当 p=0 或 p=1 时,显然有 P(B)=0. 当 0<p<1 时,P(B)=C63p3(1-p)3=20·[p(1-p)]3≤20·??

??

1 p+1-p?2?3 5 =20·?2?6= ? ? 16 2 ??

1 当且仅当 p=1-p,即 p= 时取等号. 2 5 故 A 队恰好获胜 3 局的概率的最大值是 . 16 (3)若采用“五局三胜”制,A 队获胜时的比赛局数 ξ=3,4,5. P(ξ=3)=p3, P(ξ=4)=C32p3(1-p)=3p3(1-p) P(ξ=5)=C42p3(1-p)2=6p3(1-p)2, 所以 ξ 的分布列为: ξ P 3 p
3 3

4 3p (1-p)
3

5 6p (1-p)2

E(ξ)=3p3(10p2-24p+15). [点评] 本题第(3)问容易出错,“五局三胜制”不一定比满五局,不是“五局中胜三

局”.A 队获胜包括:比赛三局,A 队全胜;比赛四局,A 队前三局中胜两局,第四局胜; 比赛五局,前四局中胜两局,第五局胜,共三种情况.


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