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第二章基本初等函数、导数及其应用第4课时课后达标检测



[基础达标] 一、选择题 1. (2013· 高考北京卷)下列函数中, 既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递减的是( ) 1 - A.y= B.y=e x x C.y=-x2+1 D.y=lg|x| 1 解析:选 C.A 项,y= 是奇函数,故不正确; x -x B 项,y=e 为非奇非偶函数,故不正确; C,D 两项中的两个函数都是偶函数,且 y=-x2+1 在(0,+∞)

上是减函数,y=lg|x| 在(0,+∞)上是增函数. 2. 若 x∈R, n∈N*, 定义: Mn 例如 M 6 -6=(-6)×(-5)×(- x =x(x+1)(x+2)?(x+n-1), 13 4)×(-3)×(-2)×(-1),则函数 f(x)=xMx ) -6( A.是偶函数 B.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 解析:选 A.由题意可知 f(x)=xM13 (x-1)x(x+1)?(x+5)(x+6)=(x x-6=x(x-6)(x-5)?· 2 2 2 -6)(x+6)(x-5)(x+5)?(x-1)(x+1)x =(x -36)(x -25)?(x2-1)· x2.可知 f(-x)=f(x), 故 f(x) 是偶函数,显然 f(x)不是奇函数. 5 3.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f(- )=( ) 2 1 1 A.- B.- 2 4 1 1 C. D. 4 2 5 5 5 1 1 1 1 解析:选 A.依题意得 f(- )=-f( )=-f( -2)=-f( )=-2× ×(1- )=- . 2 2 2 2 2 2 2 2⊕x 4.定义两种运算:a⊕b= a2-b2,a?b= (a-b)2,则 f(x)= ( ) 2-(x?2) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 4-x2 解析: 选 A. 因为 2⊕x = 4-x2 , x ? 2 = (x-2)2 ,所以 f(x) = = 2- (x-2)2 4-x2 4-x2 = ,该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足 f(-x)=-f(x),故函数 x 2-(2-x) f(x)是奇函数. 5.(2014· 山东淄博质检)设定义在 R 上的奇函数 y=f(x),满足对任意 t∈R,都有 f(t)= 1 3 0, ?时,f(x)=-x2,则 f(3)+f?- ?的值等于( f(1-t),且 x∈? ) ? 2? ? 2? 1 1 A.- B.- 2 3 1 1 C.- D.- 4 5 解析:选 C.由 f(t)=f(1-t)得 f(1+t)=f(-t)=-f(t), 所以 f(2+t)=-f(1+t)=f(t),所以 f(x)的周期为 2. 又 f(1)=f(1-1)=f(0)=0, 2 1? 3 ?1? =-1. 所以 f(3)+f(- )=f(1)+f? = 0 - ?2? ?2? 2 4

二、填空题 6.(2014· 广东广州市高三年级调研)已知 f(x)是奇函数,g(x)=f(x)+4,g(1)=2,则 f(- 1)的值是________. 解析:∵g(x)=f(x)+4,∴f(x)=g(x)-4,又 f(x)是奇函数, ∴f(-1)=-f(1)=-g(1)+4=2. 答案:2 7.(2014· 辽宁五校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在区间[0,+∞)上为增函数, 1? ? 且 f?3?=0,则不等式 f(x)>0 的解集为________. 1? 解析:由已知 f(x)在 R 上为偶函数,且 f? ?3?=0, 1? ∴f(x)>0 等价于 f(|x|)>f? ?3?, 又 f(x)在[0,+∞)上为增函数, 1 1 1 ∴|x|> , 即 x> 或 x<- . 3 3 3 1 1 答案:{x|x> 或 x<- } 3 3 1?x 8.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=? ?2? ,则 f(1), g(0),g(-1)之间的大小关系是________. 1?x x 解析:在 f(x)-g(x)=? ?2? 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2 ,由于 f(x),g(x)分别 是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)= - - 2 x-2x 2 x+2x 3 5 2x.于是解得 f(x)= ,g(x)=- ,于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(-1)=- ,故 2 2 4 4 f(1)>g(0)>g(-1). 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 三、解答题 9.已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足 f(1-m)+f(1 2 -m )<0 的实数 m 的取值范围. 解:∵f(x)的定义域为[-2,2], ?-2≤1-m≤2, ? ∴有? 解得-1≤m≤ 3.① 2 ?-2≤1-m ≤2, ? 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴f(x)在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1,即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 即实数 m 的取值范围是[-1,1). 10.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积. 解:(1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.

又 0≤x≤1 时, f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则-1≤x≤0 时,f(x)=x,则 f(x)的图象如 图所示. 1 ? 当-4≤x≤4 时, 设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, 则 S=4S△OAB=4×? ?2×2×1? =4. [能力提升] 一、选择题 x2+x+1 2 1.(2014· 河南洛阳市统考)已知函数 f(x)= 2 ,若 f(a)= ,则 f(-a)=( ) 3 x +1 2 2 A. B.- 3 3 4 4 C. D.- 3 3 2 x +x+1 x x 解析:选 C.根据题意,f(x)= 2 =1+ 2 ,而 h(x)= 2 是奇函数,故 f(-a) x +1 x +1 x +1 2 4 =1+h(-a)=1-h(a)=2-(1+h(a))=2-f(a)=2- = . 3 3 2.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[- 1,3]上的解集为( ) A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1) 解析:选 C.f(x)的图象如图.

当 x∈(-1,0)时,解 xf(x)>0 得 x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,解 xf(x)>0 得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,解 xf(x)>0 得 x∈(1,3). 故 x∈(-1,0)∪(1,3). 二、填空题 3.函数 f(x)是 R 上的偶函数,且以 2 为周期,若 f(x)在[-1,0]上是减函数,那么 f(x) 在[6,8]上是________(填代号). ①增函数 ②减函数 ③先增后减函数 ④先减后增函数 ⑤常数函数 解析:由 f(x)是 R 上的偶函数,且在[-1,0]上是减函数,知 f(x)在[0,1]上是增函数, 可得到一个周期上的模拟图象,从而得到 f(x)在[6,8]上的模拟图象,由图象知,先增后减, ③正确. 答案:③ 3 2 ? ?x -3x +1,x>0, 4.函数 f(x)=? 3 为________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 2 ?x +3x -1,x<0 ? 解析:函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, ①当 x>0 时,-x<0, 则 f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3-3x+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x). ②当 x<0 时,-x>0,

则 f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x). 由①②知,当 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,都有 f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数. 答案:奇 三、解答题 5.已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 x,y,f(x)都满足 f(xy)=yf(x) +xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解:(1)因为对定义域内任意 x,y, f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y), 所以令 x=y=1,得 f(1)=0, 令 x=y=-1,得 f(-1)=0. (2)令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1), 代入 f(-1)=0 得 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 6.(选做题)(2014· 山东菏泽模拟)已知函数 y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是 减函数. (1)求证:对任意 x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]· (x1+x2)≤0; (2)若 f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数 a 的取值范围. 解:(1)证明:若 x1+x2=0,显然不等式成立. 若 x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1, ∵f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数, ∴f(x1)>f(-x2)=-f(x2),∴f(x1)+f(x2)>0. ∴[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0 成立. 若 x1+x2>0,则 1≥x1>-x2≥-1, 同理可证 f(x1)+f(x2)<0. ∴[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0 成立. 综上得证,对任意 x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]· (x1+x2)≤0 恒成立. (2)∵f(1-a)+f(1-a2)<0?f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),∴由 f(x)在定义域[-1,1]上 是减函数得 2 2 ?-1≤1-a ≤1, ?0≤a ≤2,

? ? ?-1≤a-1≤1, 即?0≤a≤2, 解得 0≤a<1. 2 2 ? ? ?1-a >a-1, ?a +a-2<0,
故所求实数 a 的取值范围是[0,1).



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