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2015年高中数学《直线、平面平行的判定及性质》自测试题



2015 年高中数学《直线、平面平行的判定及性质》自测试题 【梳理自测】 一、直线与平面平行的判定与性质 1.设 m,l 表示直线,α 表示平面,若 m?α ,则 l∥α 是 l∥m 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若两条直线都与一个平面平行,

则这两条直线的位置关系是( )

A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能
3.如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若 BDC 的位置关系是________. 答案:1.D 2.D 3.平行 AM AN = ,则直线 MN 与平面 MB ND

◆以上题目主要考查了以下内容: 判定 定义 图形 a?α ,b?α a ∥b b∥α a?α , a?β α ∩β =b a∥b 定理 性质

条件 结论

a∩α =? a∥α

a∥α a∩α =?

二、平面与平面平行的判定与性质 1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2.已知 α ∥β ,a?α ,B∈β ,则在 β 内过点 B 的所有直线中( )

A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线
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C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线
3.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α 、β 、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α ,m?β ,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,l?α ,m?β ,则 l∥m; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题为________. 答案:1.D 2.D 3.③

◆以上题目主要考查了以下内容: 判定 定义 图形 a?β ,b?β a 条件 α ∩β =? α ∥β α ∩γ 定理 性质

∩b=P a∥α , =a,β ∩γ = α ∥β ,a?β b∥α b a∥b a∥α

结论

α ∥β

α ∥β 【指点迷津】

1.一个基本点 线线平行是空间中所有平行的基本点. 2.一个中心 线面平行是空间所有平行关系的中心,由此可得线线平行,线面平行. 3.三种方法 面面平行判定的落脚点是线面平行, 因此掌握线面平行的判定方法是必要的,判定线面平行的三 种方法: (1)利用定义:判定直线与平面没有公共点(一般结合反证法进行); (2)利用线面平行的判定定理; (3)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面. 4.六个平行转化关系

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考向一

直线与平面平行的判定与性质

例题 1 (2013·山东高考改编)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD, E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点. (1)求证:MN∥AB; (2)求证:CE∥面 PAD. 【审题视点】 (1)由中点联想中位线 MN∥DC∥AB. (2)可在 PAD 中寻作与 CE 平行的线,或者利用面 CEF∥面 PAD,证 CE∥面 PAD. 【典例精讲】 (1)∵M、N 为 PD、PC 的中点, ∴MN∥DC,又∵DC∥AB, ∴MN∥AB. (2)证法一:

如图(1),取 PA 的中点 H,连接 EH,DH. 因为 E 为 PB 的中点, 1 所以 EH∥AB,EH= AB. 2 1 又 AB∥CD,CD= AB, 2 所以 EH∥CD,EH=CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形. 所以 CE∥DH. 又 DH?平面 PAD,CE?平面 PAD, 所以 CE∥平面 PAD.

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证法二:如图(2),连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点, 1 所以 AF= AB. 2 1 又 CD= AB,所以 AF=CD. 2 又 AF∥CD, 所以四边形 AFCD 为平行四边形. 所以 CF∥AD. 又 CF?平面 PAD,所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F,故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE?平面 CEF,所以 CE∥平面 PAD. 【类题通法】 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线, 可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证 明两直线平行.注意说明已知的直线不在平面内. (2)证明直线与平面平行的方法:①利用定义结合反证;②利用线面平行的判定定理;③利用面 面平行的性质. 变式训练 1.(2014·湛江模拟)如图,在直三棱柱(侧菱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1 中,点 D 是 AB 的 中点. 求证:AC1∥平面 CDB1. 证明:设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE, ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴DE∥AC1. ∵DE?平面 CDB1, AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1.
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考向二

平面与平面平行的判定与性质

例题 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,若 Q 是 CC1 上的中点.证明:平面 D1BQ∥平面 PAO. 【审题视点】 利用 OP∥D1B,AP∥BQ,证明结论. 【典例精讲】 ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点, ∴QB∥PA. ∵P,O 分别为 DD1,DB 的中点, ∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面 PAO,PO?平面 PAO,QB?平面 PAO,PA?平面 PAO, ∴D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB=B,D1B,QB?平面 D1BQ, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO. 【类题通法】 (1)要证面面平行需证线面平行, 要证线面平行需证线线平行, 因此“面面平行” 问题最终转化为“线线平行”问题来解决. (2)利用面面平行时,要作辅助面,使之与两面有交线得出线线平行. 变式训练 2.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 a A1B,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底 3 面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________. 解析:∵面 ABCD∥面 A1B1C1D1 且面 ABCD∩面 PMNQ=PQ,面 A1B1C1D1∩面 PMNQ= MN. ∴MN∥PQ,MB1∥QD ∴∠B1MN=∠DQP=45°, ∠PDQ=∠MB1N=90°. a 2 2 2 又∵AP= ,∴PD= a,∴PQ= a. 3 3 3 答案: 2 2 a 3 考向三 空间平行的探索问题

例题 3 (2014·东城区综合练习)一个多面体的直观图和三视图如图所示, 其中 M, N 分别是 AB,
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AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (1)求该多面体的体积与表面积; (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP∥平面 FMC,并给出证明.

【审题视点】 (1)由三视图得出几何体的特征,计算体积. (2)猜想 P 在 AD 上的位置来证明 GP∥面 FMC. 【典例精讲】 (1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF 中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a, 1 1 所以该多面体的体积为 a3,表面积为 a2×2+ 2a2+a2+a2=(3+ 2)a2. 2 2 (2)点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC. 取 FC 的中点 H,连接 GH,GA,MH. 1 ∵G 是 DF 的中点,∴GH 綊 CD. 2 又 M 是 AB 的中点, 1 ∴AM 綊 CD. 2 ∴GH∥AM 且 GH=AM, ∴四边形 GHMA 是平行四边形. ∴GA∥MH. ∵MH?平面 FMC,GA?平面 FMC, ∴GA∥平面 FMC,即当点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC. 【类题通法】 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果 出发,寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不到 符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在. 变式训练 3.如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD, 且 AB=2CD,在棱 AB 上是否存在一点 F,使平面 C1CF∥平面 ADD1A1?若存在,求
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点 F 的位置;若不存在,请说明理由. 解:存在这样的点 F,使平面 C1CF∥平面 ADD1A1,此时点 F 为 AB 的中点,证明如下: ∵AB∥CD,AB=2CD,∴AF 綊 CD, ∴四边形 AFCD 是平行四边形, ∴AD∥CF, 又 AD?平面 ADD1A1, CF?平面 ADD1A1, ∴CF∥平面 ADD1A1. 又 CC1∥DD1,CC1?平面 ADD1A1, DD1?平面 ADD1A1, ∴CC1∥平面 ADD1A1, 又 CC1、CF?平面 C1CF,CC1∩CF=C, ∴平面 C1CF∥平面 ADD1A1.

空间平行关系的转化探究 典型例题 (2013·高考陕西卷)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中 心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2. (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 【方法分析】 ①题目条件:斜四棱柱中有很多平行关系:侧棱 BB1∥DD1,

底面内 AB∥DC,相对侧面平行,上下底面平行. 垂直有 A1O⊥面 ABCD,DA⊥AB. 边长有 AB=AA1= 2. ②解题目标:(ⅰ)证明截面 A1BD∥CD1B1; (ⅱ)求棱柱体积. ③关系探究:(ⅰ)BB1 綊 DD1?DB∥D1B1?DB∥面 CD1B1,同理 A1B∥面 CD1B1 可推证结论. (ⅱ)A1O⊥底面 ABCD?V=Sh. 【解题过程】 (1)证明:由题设知,BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴BD∥B1D1. 又 BD?平面 CD1B1,∴BD∥平面 CD1B1.
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∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C. 又 A1B?平面 CD1B1,∴A1B∥平面 CD1B1. 又 BD∩A1B=B,∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 又 AO= AC=1,AA1= 2,X K b1.Co m 2
2 ∴A1O= AA2 1-OA =1.

1 又 S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴V 三棱柱 ABD-A1B1D1=S△ABD·A1O=1. 真题体验 1.(2013·高考广东卷)设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )

A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β C.若 l⊥α ,l∥β ,则 α ∥β

B.若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β

解析:选 B.利用相应的判定定理或性质定理进行判断,可以参考教室内存在的线面关系辅助分 析. 选项 A,若 l∥α ,l∥β ,则 α 和 β 可能平行也可能相交,故错误; 选项 B,若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β ,故正确; 选项 C,若 l⊥α ,l∥β ,则 α ⊥β ,故错误; 选项 D, 若 α ⊥β , l∥α , 则 l 与 β 的位置关系有三种可能: l⊥β , l∥β , l?β , 故错误. 故 选 B. 2.(2012·高考四川卷)下列命题正确的是( )

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
解析:选 C.利用线面位置关系的判定和性质解答.
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A 错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交;B 错误,△ABC 的三个
顶点中,A、B 在 α 的同侧,而点 C 在 α 的另一侧,且 AB 平行于 α ,此时可有 A、B、C 三点到平面 α 距离相等,但两平面相交;D 错误,如教室中两个相邻墙面都与地面垂直,但这两个面相交,故选

C.
3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C, 则线段 EF 的长度等于________. 解析:∵EF∥平面 AB1C,EF?平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 AB1C=AC, ∴EF∥AC,∴F 为 DC 的中点. 1 故 EF= AC= 2. 2 答案: 2 4.(2013·高考安徽卷)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的是________(写出 所有正确命题的编号). 1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; 2 1 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; 4 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 6 . 2

解析:利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. 1 ①当 0<CQ< 时,如图(1). 2 在平面 AA1D1D 内,作 AE∥PQ, 显然 E 在棱 DD1 上,连接 EQ, 则 S 是四边形 APQE.

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1 ②当 CQ= 时,如图(2). 2 显然 PQ∥BC1∥AD1,连接 D1Q, 则 S 是等腰梯形. 3 ③当 CQ= 时,如图(3). 4 1 作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F,则 C1F= . 2 1 作 AE∥BF,交 DD1 的延长线于点 E,D1E= ,AE∥PQ,连接 EQ 交 C1D1 于点 R,由于 Rt△RC1Q∽Rt 2 △RD1E, 1 ∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,∴C1R= . 3

④当

3 <CQ<1 时,如图(3),连接 PM(点 M 为 AE 与 A1D1 交点),显然 S 为五边形 APQRM. 4

⑤当 CQ=1 时,如图(4). 同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于点 E,交 A1D1 于点 M,显然点 M 为 A1D1 的中点,所以 S 为菱形 1 1 6 APQM,其面积为 MP×AQ= × 2× 3= . 2 2 2 答案:①②③⑤

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