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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第2章 4.1


§ 4 4.1
一、基础过关 1. 下列结论不正确的是 A.若 y=3,则 y′=0

导数的四则运算法则 导数的加法与减法法则
( )

B.若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3 C.若 y=- x+x,则 y′=- 1 +1 2 x

D.若 y=sin x+cos x,则 y′=cos x+sin x 2. 函数 y=x-(2x-1)2 的导数是 A.3-4x C.5+8x B.3+4x D.5-8x ( ) ( )

3. 曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为 A.(1,0) C.(1,0)和(-1,-4) B.(2,8) D.(2,8)和(-1,-4)

4. 曲线 f(x)=x2+bx+c 在点(1,2)处的切线与其平行直线 bx+y+c=0 间的距离是 ( A. 2 4 B. 2 2 3 2 C. 2 D. 2 (

)

5. 已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,则 f(x)的解析式可能是 A.f(x)=(x-1) +3(x-1) B.f(x)=2(x-1) C.f(x)=2(x-1)2 D.f(x)=x-1
3

)

6. 过点 P(-1,2)且与曲线 f(x)=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是______. 3 7. 某物体做直线运动,其运动规律是 s=t2+ (t 的单位是 s,s 的单位是 m),则它在第 4 s t 末的瞬时速度应该为_____________. 8. 已知函数 f(x)=2x+x2-x,求 f′(1),f′(4). 二、能力提升 2x2-x x+3 x-2 9. 函数 y= 的导数为 x 1? A. x? ?3+x2?+1 1? B. x? ?3-x2?-1 ( )

1? C. x? ?3-x2?+1

1? D. x? ?3+x2?-1

10.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y= f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A.4 1 B.- 4 C.2 ( 1 D.- 2 )

1 11.已知 f(x)= x3+3xf′(0),则 f′(1)=________. 3 12.已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求 a、b、 c 的值. ax-6 13. 已知函数 f(x)= 2 的图像在点 M(-1, f(-1))处的切线方程为 x+2y+5=0, 求函数 f(x) x +b 的解析式. 三、探究与拓展 b 14.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积 为定值,并求此定值.

答案
1.D 2.D 3.C 13 4.C 5.A 6.2x-y+4=0 7.7 m/s 16

8. 解 f′(x)=(2x+x2-x)′=(2x)′+(x2)′-x′ =2xln 2+2x-1, ∴f′(1)=2ln 2+1, f′(4)=24· ln 2+2×4-1=16ln 2+7. 9.D 10.A 11.1

12.解 因为 y=ax2+bx+c 过点(1,1), 所以 a+b+c=1. y′=2ax+b,曲线在点(2,-1)处的切线的斜率为 4a+b=1. 又曲线过点(2,-1), 所以 4a+2b+c=-1. a+b+c=1, ? ? 由?4a+b=1, ? ?4a+2b+c=-1, a=3, ? ? 解得?b=-11, ? ?c=9.

所以 a、b、c 的值分别为 3、-11、9. 13.解 由 M(-1,f(-1))在 x+2y+5=0 上得 -1+2f(-1)+5=0 即 f(-1)=-2. -a-6 也即 =-2.① 1+b a?x2+b?-2x?ax-6? f′(x)= , ?x2+b?2 1 由 f′(-1)=- 得 2 a?1+b?+2?-a-6? 1 =- .② 2 2 ?1+b? 由①②得 a=2,b=3, ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)= 2x-6 . x2+3

7 14.(1)解 由 7x-4y-12=0 得 y= x-3. 4 1 1 当 x=2 时,y= ,∴f(2)= ,① 2 2 b 7 又 f′(x)=a+ 2,∴f′(2)= ,② x 4

?2a-2=2, 由①,②得? b 7 ?a+4=4.
? ?a=1 3 解之得? .故 f(x)=x- . x ?b=3 ?

b

1

3 (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知 x 曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 3 y-y0=(1+ 2)(x-x0), x0 3 3 即 y-(x0- )=(1+ 2)(x-x0). x0 x0 6 6 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- ). x0 x0 令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 1 6 |- ||2x |=6. 2 x0 0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形的面积为定值, 此定 值为 6.


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