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一道常见问题的几种特别解法



?

辅教导学 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 3年 第 1 O期 ( 上半 月)  

3 3  

由 双 曲 线 的 标 准 方 程 薯 一 A y 6 2 — 1  
1  


一  

(I) 证 明: n一√ 2 6 ;   ( I I ) 设 Q   , Q 。为椭 圆上 的 两个 动 点 , ∞  上 

一 

一  s i n   Z O


因 此 

∞ 。 , 过 原点 0作直 线 Q   Q 。 的垂线 0D, 垂 直为 D,   求 D 的轨迹 方程 .   师: 本 题第 (I)问运用 常规 方法 求解 , 题 目不  难, 一 般都 能拿 下. 第( I I )问实 际上是 书 本上 那个  例题 的变 式 , 按 照 开 始 我 们 所 研 究 的方 法 相信 同  学们 一定 可 以做 出来.  
( 学 生独 立 解 答 , 教师下位巡视 , 纠 正个 别 学 
生 的错误 . )  

】  


c 0 s 0 0  
: = 一

s i n 0 0  
.  

口  

b。 ’  

1  c 。 s   ( O   z i z 号 )s i n 2 (   士 詈 )  
一— ■ 厂
c O S 0 0  
一   一  

一—  厂
s i n0 0  
’  

 







毒+   一   一   为定值.  
』 D l   I D 2   口 0  

由此 可 知 高 考 压 轴 题并 不 可 怕 , 解 析几 何 也 

4 .通性 通 法 。 直达 高 考 。 培 养 思维 的创 造 性  师: 在高 中 , 参数 思 想 解 题 往往 受 到 高考 命题  专 家 的青 睐 , 多 次命 制这 方 面 的试 题 , 而 且 一 般 是  中档 以上 的试 题 , 甚 至 出现 压 轴 题 . 我 们 只要 心 中 
有“ 法” , 照样 能 以一 敌 百 、 无往 而不 胜 .   2 0 1   1年 天津 高考 试 卷 中最后 一题 是 :  


并 不 可怕 , 很 多 同学 把 解 析 几 何 看 作 是 学 习数 学  的拦路 虎 , 主 要 原 因 就 是 没 有 系 统 科 学 的思 维 方  法, 再 加上 计算 能 力 又 不 强 , 所 以导 致 越 学 越 难 .   通 过今 天 的探究 学 习 , 大 家 不难 发 现 , 只要 我 们善  于 总结 与归纳 , 寻 找到一 般 规 律 与思 维 方 法 , 注重  在平 时培 养好 的思 维 品质 与 能 力 , 就 能 以不 变应  万变 , 在 高考 中立 于不败 之地 .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 3— 0 4 —0 5 )  

2  

2  

设 椭 圆  + 百 Y 一1 ( 口> b> 0 )的左 、 右焦 点 
口  口 

分别 为 F   、 F   , A 是 椭 圆 上 的一 点 , AFz上 F 。 F : ,  
1  

原点 0 到直 线 AF  的距 离 为 ÷ l   0F  I ,  



道 常见问题的几种特别解法 
黄桂 君  
( 江 苏 省 高 邮 中学 , 2 2 5 6 0 0 )  

问题  等腰 △A BC腰上 的中线 B D 为定 长 Z ,  

当顶 角 a变 化 时 , 求 △A B C 面 积 的最 大值 .   分析 : 由余 弦 定 理 可 以 找 出腰 长 与 顶 角 的关  系, 然 后选 取其 中的一 个 变 量 作 为 自变 量 , 转 化 为  求 函数 的最大值 .  
设 A B — AC— c , B D —Z , 在 AAB D中 , 由余 

2 1 2 ? 2 s i n 号 c O S 号   5 ( s i n 2 号 + C O S 2 号 ) 一 4 ( c o s 2 号 一 s i n z 号 )  
4 l   s i n 号c Z   o s 号 Z     4 z 。 t a n 号 Z    

9 s i n   号 + C O S 2 号 9 t a n   号 + 1  

弦 定 理 得 z   一 c   + ( 号 ) 。 一 2 c 。 号。 c 。 s   a , 得c   一  


所 以 s …一 譬 s i n   a 一  
一 

.  

9 t a   毒‘  
因 为 0 < 号<号 , 所 以 t a n 号> o , 9 t a n 号 +  

思路 1  s 一

3 4  

数 学 通 讯 —— 2 O 1 3午 第 1 O期 ( 上 半 月)  

?辅教 导 学 ?  

≥ 6 , 故 S △ 加 ≤  z 。 .  

t a n罢 

5  
得 



思路 4   由 s一 

( 0 < d < 7 c ) , 求 导 

当 且 仅 当 9 t a n 号 一 — t  , 即 t a n 号 一 告 时 ,  
an 

s 一  
0— 4   cOs   J 。  

AA BC 的面积 最大 , 最大 值 为  0   z 。 .  
' )  



2 l   ( 5 c o s   a一 4 )  
  ’  



令s   一O 得C O S   1 2 一i 4
思路 2   先 求 函数 Y一 
b一 4C OS   a  

( 0 <a <兀 )  



因为  — c 。 s   z在 ( O ,  


兀 )上 递减 , 可 知 s在 C O S   O  ̄ 一  4时取 得最 大 值

的 最大值. 令£ 一}一c o s   >0 , 则s i n 口 一  

最 

√ r 1 — — 一 — — ( — 导   — — 一 — — £ — ) 一 。   , 于 是  

大 值 为s 2 f 2 。 号   2 l z  
_ ‘.   .  
一  





4 ?÷  

一了 ‘  

思路 5   先考 察 AAB D 

J ,   I  

的面 积 ( 因 为 其 面 积 是 所 求 


丢  
1  
4  
0 

一 丢  
≤ 号 .  

面 积 的一 半 ) , 建 立 如 图 1所 

示 直 角坐 标 系 , 则 D( 1 , O ) .  
设 A( z,  ) ,由 A B 一  
D   ) D  

2 A D 得z 。 +Y  一 4 [ ( z— z ) 。  
图 1  

当 且 仅 当 £ 一 云, c o s   a 一 号时 ,   取 得 最 大 值  
1  从 而 /  ̄ A BC 的面积 的最 大值 是  n   z 。 .  


+ z ] , 化 简 整理 得 ( z一  ) z  

十   。 一丢z 。 , 说明 点A 在一 个圆 心在z 轴上的 定圆  
思路 3   在 AA BD 中 , 由余 弦定 理有 Z 。 一c  

上, 且点 A到 B D 的距离 的最 大值 即为该 圆的半 径 
2   z
r 一  


+ ( 号 )   一 2 c ? 号? c 。 s   a , 得c 。 s   a 一  
以 

, 所  

故 △A B c 的 面 积 的 最 大 值 为 2.   f r  

s …一 号 s i n   a 一 号  。 。 。 ‘ 。 -   。 ‘ ‘ ‘ 。   ( 。 ‘   。 5 。   。 c ’   2 。 ’ 。 ‘   - 。 。 。 。 。 4 。 l 。 。 z 。 。 ) 。 — z —  




弘 
下 面两 个 问题 留给读 者练 习 :   ( 1 ) ( 2 0 1 1年 南 通 市 一 模 试 题 ) 已 知 等 腰 

丢   干 研
1  

 

AAB C 腰 AC上 的中线 BD 长为  , 则 该 △AB c   面 积 的最 大值 是  .   ( 2 ) ( 2 0 0 8 年 高考 江苏 卷 试 题 )满 足 条 件 A B  


8  

≤ 吉 ?   一 等 .  
即当  一 
n  

2 , A C — WB C 的 △A Bc 的 面 积 的 最 大 值 
.  

z 时, AA BC 的 面 积最 大 , 最 大 

是 

答案 : ( 1 ) 2   ; ( 2 ) 2 .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 3 —0 4— 1 0 )  

值 是 妻z   .  



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