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圆锥曲线的共同特征


圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线的统一定义: 圆锥曲线的统一定义: 圆锥曲线上的点 M 到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l (点 F 不在 l 上) 的距离之比为定

?椭圆 ( 0 < e < 1) ,定点 F 叫焦点,定直线 l 叫准线。 值 e, ? ?抛物线 ( e = 1) ? ?双曲线 ( e > 1)
一、选择题 考练测评 1、平面内到定点(0,-3)和定直线 y A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线

1 = 3 的距离之比为 的动点轨迹为( A ) 3
D.直线

2、双曲线

x2 y 2 ? = 1 上一点 P 到左焦点的距离与到左准线的距离之比为( D ) 3 4
B.

A.

7 3

21 2
a

C.

7 2

D.

21 3

2 2 2 提示: e 2 = c = a + b 2 2

a

3、已知椭圆

x2 y 2 + = 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点对应的 25 16
25 3 35 3

准线的距离为( D ) A.

10 3

B.5

C.

D.

提示: PF1

= 3, PF2 = 7,

7 3 =e= d 5
1 2 ,焦点到相应准线的距离为 ,则 2

4、在给定的双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为 该双曲线的离心率为( C ) A.

2 2

B.2

C.

2

D. 2

2

提示:数形结合 5、双曲线 mx
2

? 2my 2 = 4 的一条准线是 y = 1 ,则实数 m 为( D )
C.

A.

3 2

B. ?

3 2

2 3

D. ?

2 3

2 2 提示:焦点在 y 轴,m<0, a = ? m = 1

c

6 ?m

典题例析 6、已知动点 P ( x, y ) 满足 ( B ) A.椭圆

| 3x ? 4 y ? 1| 1 = ? ( x ? 1) 2 + ( y ? 5) 2 ,则动点 P 的轨迹是 5 3
D.直线

B.双曲线

C.抛物线

二、填空题 考练测评

y2 x2 41 9 1、双曲线 ? = ?1 右支上一点 P 到左准线的距离 ,则点 P 的坐标为 (5, ) . ± 9 16 5 4 x2 2 2 则 2、 已知双曲线 2 ? y = 1( a > 0) 的一条准线与抛物线 y = ?6 x 的准线重合, a = 3 . a
提示:准线 x = 3
2

3、已知椭圆

x2 y 2 + = 1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m ,则当 m 最大时,点 P 坐标 25 9

为 (0,3) ,(0,-3) . 提示:

( a + ex0 )( a ? ex0 ) = 25 ? e2 x0 2 ≤ 25 , x0 = 0 时取等号

典题例析 4、 3 x
2

+ 4 y 2 = 1 的准线方程为 x = ±

2 3 . 3

三、解答题 考练测评 1、已知双曲线的渐近线方程为 3 x ± 4 y 曲线的方程.

= 0 ,一条准线的方程为 5 y + 3 3 = 0 ,求此双

x2 y 2 1 提示: ? =λ?λ =? 16 9 3

2、已知点 P 的坐标是(-1,-3) 为椭圆 ,F

x2 y 2 + = 1 的右焦点,点 Q 在椭圆上移动,当 16 12

1 | QF | + | PQ | 取最小值时,求点 Q 的坐标,并求其最小值. 2
提示:

QF 1 (2,3) = e ? QF = QQ′ , | QF | + 1 | PQ |= 1 (| PQ | + | QQ′ |) , Q QQ′ 2 2 2

QQ′ 为 Q 到准线的距离。
典题例析 3、若双曲线的一条准线为 x=4,其相应的焦点为(10,0) ,离心率为 2,求此双曲线的方 程. 提示:

( x ? 10 )

2

+ y2

x?4

( x ? 2) =2?
16

2

?

y2 =1 48

4、椭圆 提示:8

x2 y2 25 + = 1 上一点 P 到直线 x = 的距离等于 10,求它到点(8,0)的距离. 100 36 2

x2 y 2 5、已知双曲线 2 ? 2 = 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,左准线为 l ,其左支上存在一点 a b
P,且 | PF1 | 是点 P 到 l 的距离 d 与 | PF2 | 的等比中项,求双曲线的离心率的取值范围.

提示: PF 2 1

? 2a ? ? PF2 = e PF1 ? ? ? PF1 = e ? 1 PF1 PF2 ? ? = PF2 ? d ? = =e?? ?? ? d PF1 PF ?又: 2 ? PF1 = 2a ? ? PF = 2ae ? ? 2 e ?1 ? ? ?

在 ?PF1F2中 ?

PF1 + PF2 ≥ 2c ? e 2 ? 2e ? 1 ≤ 0 ?1 < e ≤ 1 + 2

c e= a

e >1

11 x2 y 2 6、已知 A( ,3) 为一定点,F 为双曲线 ? = 1 的右焦点, 2 9 27
y M A x O F

M 在双曲线右支上移动,当 | 提示: M

1 AM | + | MF | 最小时,求点 M 的坐标. 2

(2

3,3

)

x2 y 2 7、设 P 为椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 上任意一点, F1 为椭圆的一个焦点,求 | PF1 | 的最 a b
大值和最小值. 提示:设 F1 为左焦点,

? PF1 max = a + c ? PF1 = a + ex ( ? a ≤ x ≤ a ) , ? ? PF2 min = a ? c ?


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