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高一数学集合与函数的概念



第一章 单元小结(一) (一)教学目标 1.知识与技能 (1)通过回顾集合与函数的概念及表示法,构建单元知识网络;整合知识,使知识系统化. (2)进一步提升学生的集合思想与函数思想. 2.过程与方法 通过知识的整理,知识与方法的综合应用,加深对知识的理解.提升应用基本方法的能力., 从而使学生系统地掌握的知识与方法. 3.情感、态度与价值观 在知识的回顾、 整理过程中体会数学知识

的整体性和关联性. 感受数学的系统化与结构化的 特征. (二)教学重点与难点 重点:构建知识体系;难点:整合基本数学知识、数学思想和数学方法. (三)教学方法 自主探究与合作交流相结合. 自主探究知识的纵模联系,合作交流归纳整理知识,构建单元 知识体系. (四)教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 回顾反思 构建体系 师:要求学生借助课本回顾第一章的第 1、2 节的基本知识. 生:独立回顾总结第 1、2 节的基本知识. 师生合作:学生口述单元知识,老师用网络图的形式板书知识构造体系图. 整合知识,形成单元知识系统. 培养归纳概括能力. 示例剖析 升华能力(I)

例 1 设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误的是( A.()∪B = I B.()∪() =I



C.A∩() = D.()∩() =

例 2 已知集合 A = {x| –2<x<–1 或 x>0},B = {x| a≤x≤b},满足 A∩B = {x | 0<x≤2}, A∪B = {x| x>– 2}. 求 a、b 的值.

例 3 集合 P = {x | x2 + x – 6 = 0}, Q = {x | mx– 1 = 0},且 QP,求实数 m 的取值集合. 生:尝试完成例 1~例 3. 并由学生代表板书例 1 ~ 例 3 的解题过程. 师生合作点评学生代表的解答,并分析解题思路的切入点和寻找解题的最优途径. 例 1 解析:本题主要考查子集及运算. 答案:B 如图 例 2 解析:将集合 A、A∩B、A∪B 分别在数轴上表示,如图所示,由 A∩B = {x | 0<x≤2} 知 b =2 且–1≤a≤0; 由 A∪B = {x | x>– 2},知–2<a≤–1, 综上所知,a = –1,b =2. 例 3 解析:P = {2,– 3},QP,∴Q =,Q = {2}或 Q = {– 3}. ①当 Q = Q 时,m = 0; ②当 Q = {2}时,2m – 1= 0,即 m =; ③当 Q = {– 3}时,–3m –1 = 0,即 m =. 综上知,m 的取值的集合为{0, ,}. 通过尝试练习,训练思维.通过合作交流探索题途径 经典例题 例 4 求下列函数的定义域: (1)y =+; (2)y =.

例 5 求下列函数的值域: (1)y = x2 –2x,x ?[0,3]; (2)y = x +,x ?[0,+∞]; (3)y = x +; (4)y = |x+1| + |x– 2|.

例 6 已知函数 f (x)的解析式为: . (1)求 f (),f (),f (–1)的值; (2)画出这个函数的图象; (3)求 f (x)的最大值. 例 4 解析: (1)由,得 x = 1, ∴函数的定义域为{1}. (2)由题意知,有不等式组 , 即 x<–3 或–3<x<3 或 3<x≤5. 故函数 y =的定义域为 (–∞,–3)∪(–3,3)∪(3,5]. 例 5 解析: (1)y = x2 –2x = (x – 1)2 –1,如图所示,y ?[–1,3]为所求. (2)配方得 y = x +, 当且仅当,即 x = 1 时,y =2, ∴y ?[2,+∞]为所求. (3)换元法 令= t,t≥0,则 x =, 函数化为 y =t2 + =(t +1) 2, ∵t≥0,∴y≥, ∴函数 y = x +的值域为[,+∞]. (4)方法一:运用绝对值的几何意义. |x +1| + |x– 2|的几何意义表示数轴上的动点 x 与–1 以及 2 的距离的和,结合数轴,易得 |x + 1| + |x– 2|≥3, ∴函数的值域为 y ?[3,+∞). 方法二:转化为函数图象,运用数形结合法. 函数 y = |x +1| + |x– 2|的零点为–1,2,把定义域分成三区间 (– ∞,–1],(–1,2], [2,+∞). ∴. 该函数图象如图所示,由图象知函数的值域为[3,+∞]. 例 6 解析: (1)∵>1, ∴f () = –2×() + 8 =5, ∵f () =+5 =. ∵–1<0,∴f (–1) = –3+5 =2.

如图 在函数 y =3x +5 图象上截取 x≤0 的部分, 在函数 y = x +5 图象上截取 0<x≤1 的部分, 在函数 y = –2x +8 图象上截取 x>1 的部分. 图中实线组成的图形就是函数 f (x)的图象. (3)由函数图象可知 当 x = 1 时,f (x)的最大值为 6. 通过尝试练习,训练思维.通过合作交流探索题途径. 归纳总结求函数定义域的题型及方法. 归纳总结求函数值域的题型及方法. 布置作业 见单元小结 1 的习案 学生独立完成 巩固旧知提升能力 备选例题 例 1 对于集合 A = {x|x2 – 2a x + 4a – 3 = 0},B ={x| x2 –ax + a 2 + a + 2 = 0},是否存在 实数 a,使 A∪B =?若 a 不存在,说明理由,若 a 存在,求出 a 的值. 分析:A∪B =,即 A =且 B =,只要两个方程能同时无解即可. ∵A∪B =,∴A =且 B =. 由△1<0 且△2<0 得 . 所以存在这样的实数 a ?(1,2)使得 A∪B =. 例 2(1)已知函数 f (2x–1)的定义域为[0,2],求 f (x)的定义域; (2)已知函数 f (x)的定义域为[–1,3],求 f (2x–1)定义域. 【解析】 (1)由 f (2x–1)的定义域为[0,2], 即 x∈[0,2],∴2x–1∈[–1,3]. 令 t =2x–1,则 f (t)与 f (x)为同一函数, ∴t 的范围[–1,3]即 f (t)的定义域,∴f (x)的定义域为[–1,3]. (2)求 f (2x–1)的定义域, 即由 2x–1∈[–1,3]求 x 的范围, 解得 x∈[0,2].



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