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高三徐州市诚贤中学2014届高三8月月考数学试题



江苏省诚贤中学 2014 届高三数学试题
2013.8.27
一、填空题:本大题共 14 小题,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.
2 1. 已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {x | x ? n , n ? A} ,则 A ? B ? _____________.

1 1 B 2. 已知

A ? {x | ? 2? x ? } , ? {x | log 2 ( x ? 2) ? 1} , A ? B ? ________________. 则 8 2 3.已知 P:|x-a|<4;q: (x-2) (3-x)>0,若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件, 则 a 的取值范围为 . 4. “等腰三角形的两个底角相等” 命题 的否定是____________________________.

5.函数 y= x ln(1-x)的定义域为_____________________. 6.函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域为___________________. 7.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于_______. 8.函数 y ? log 2 x ?
4 ( x ? [2, 4]) 的最大值是______. log 2 x

9.已知函数 f(x)=loga(x2-ax+2)在(2,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围 为________.
1 10.已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值 3

范围是__________________. 11. 设函数 f(x)=|x+2|+|x-a|的图像关于直线 x=2 对称, a 的值为________. 则
b 12.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a, ?R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的不等式 ?
f ( x) ? c 的解集为(m,m+5),则实数 c 的值为__

.

13.已知函数 f(x)=

4 -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足 |x|+2

条件的整数对(a,b)共有________对 ?x+1,x≤0, 14.函数 f(x)=? 则函数 y=f[f(x)]+1 的所有零点所构成的集合为 ?log2x,x>0, ________.

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。
2x ?1 <1,x?R }. x?2

15.已知集合 A={x| | x–a | < 2,x?R },B={x| (1) 求 A、B; (2) 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

16.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上, 函数 y=f(x)的图像恒在直线 y=2x+m 的上方, 试确定实 数 m 的取值范围.

2

1 17.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x-2|x|. 3 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

18.已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? ? lg ?1 ? x ? . (1)判断并证明 f ? x ? 的奇偶性;
? a?b ? (2)求证: f ? a ? ? f ? b ? ? f ? ?; ? 1 ? ab ?

? a?b ? ? a ?b ? (3)已知 a, b ? ? ?1,1? ,且 f ? ? ? 2 ,求 f ? a ? , f ? b? 的 ? ?1, f ? ? 1 ? ab ? ? 1 ? ab ?

值.

3

x+1 19.已知函数 f(x)=loga ,(a>0,且 a≠1). x-1 (1)求函数的定义域,并证明:f(x)=loga (2)对于 x∈[2,4],f(x)=loga x+1 在定义域上是奇函数; x-1

x+1 m >loga 恒成立,求 m 的取值范围. x-1 ?x-1?2?7-x?

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? log 2 ? 4 x ? 1? ? kx, ? k ? R ? 是偶函数. (1)求 k 的值;
4 ? ? (2)设函数 g ? x ? ? log 2 ? a ? 2 x ? a ? ,其中 a ? 0. 若函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象 3 ? ?

有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

4

江苏省诚贤中学 2014 届高三数学试卷
1. {1,4} 2. {x |1 ? x ? 4} 3.[-1,6] 4.存在等腰三角形的两个底角不相等 5.[0,1) 6. (-&,2] 7. -3 8.5 9.(1,3] 1 2 10. , ) ( 3 3 11.6 12.25/4 13.5 ? ? 1 1 ? ? 14.?-3,-2,4, 2? ? ? ? ? 解析 本题即求方程 f[f(x)]=-1 的所有根的集合,先解方程 f(t)=-1,即 ?t≤0, ?t>0, 1 1 ? 或? 得 t=-2 或 t=2.再解方程 f(x)=-2 和 f(x)=2. ?t+1=-1 ?log2t=-1, ?x≤0, ? ?x≤0, ?x>0, 即? 或? 和? 1 ?x+1=-2 ?log2x=-2 ?x+1=2 ? 1 1 得 x=-3 或 x=4和 x=-2或 x= 2. 15.解:(1) 由| x–a | < 2,得 a–2<x<a+2,所以 A={x| a–2<x<a+2} 由
2x ?1 x?3 <1,得 <0,即 –2<x<3,所以 B={x|–2<x<3}. x?2 x?2

?x>0, ? 或? 1 ?log2x=2. ?

?a ? 2 ? 2 (2) 若 A?B,所以 ? , ?a ? 2 ? 3

所以 0≤a≤1. 16.解 (1)由 f(0)=1,可设 f(x)=ax2+bx+1(a≠0),故 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2

5

?2a=2, + b(x + 1) + 1 - (ax2 + bx + 1) = 2ax + a + b , 由 题 意 , 得 ? 解得 ?a+b=0, ?a=1, ? ?b=-1, 故 f(x)=x2-x+1. (2)由题意,得 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1>m,对 x∈[-1,1]恒成立.令 g(x)=x2-3x+1, 则问题可转化为 g(x)min>m, 又因为 g(x)在[-1,1]上递减, 所 以 g(x)min=g(1)=-1,故 m<-1. 17.解 (1)当 x<0 时, f(x)=0,无解;

1 当 x≥0 时,f(x)=2x-2x, 1 3 由 2x-2x=2,得 2·2x-3·x-2=0, 2 2 1 看成关于 2x 的一元二次方程,解得 2x=2 或-2, ∵2x>0,∴x=1. 1? 1? ? ? (2)当 t∈[1,2]时,2t?22t-22t?+m?2t-2t?≥0, ? ? ? ? 即 m(22t-1)≥-(24t-1), ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 18. (1) f ? x ? 为奇函数.因为 x ? 1 ? 0,1 ? x ? 0, 所以 ?1 ? x ? 1 ,定义域为 ? ?1,1? , 所
f ??










??l ?


gx ?? 1 ?












? g 1

?

x ? g l ?

?

1?? x

?

?

? ? ? ??f ?l x ? ,所以 1 ? x ? 为奇函 g ? f x ? l ?? x

数. (2)因为 f ? a ? ? f ? b ? ? lg
1? a 1? b 1 ? a ? b ? ab , ? lg ? lg 1? a 1? b 1 ? a ? b ? ab a?b 1? a?b ? ? 1 ? ab ? lg 1 ? a ? b ? ab ,所以 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? a ? b ? . f? ? ? ? ? lg a?b 1 ? a ? b ? ab ? 1 ? ab ? ? 1 ? ab ? 1? 1 ? ab

6

? a?b ? (3)因为 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? ? ,所以 f ? a ? ? f ? b ? ? 1 ,又 f ?a ? ? f ??b ? ? 2 , ? 1 ? ab ?

所以
3 1 f ? a ? ? f ? b ? ? 2 ,由此可得: f ? a ? ? , f ? b ? ? ? . 2 2 x+1 19.解 (1)由 >0,解得 x<-1 或 x>1, x-1

∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). -x+1 x-1 ?x+1?- ? 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=loga =loga =loga? -x-1 x+1 ?x-1?
1

x+1 =-loga =-f(x), x-1

x+1 ∴f(x)=loga 在定义域上是奇函数. x-1 (2)由 x∈[2,4]时,f(x)=loga ①当 a>1 时, x+1 m ∴ > >0 对 x∈[2,4]恒成立. x-1 ?x-1?2?7-x? ∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在 x∈[2,4]恒成立. 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4] 则 g(x)=-x3+7x2+x-7, ? 7? 52 g′(x)=-3x2+14x+1=-3?x-3?2+ 3 , ? ? ∴当 x∈[2,4]时,g′(x)>0. ∴y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)min=g(2)=15. ∴0<m<15. ②当 0<a<1 时, 由 x∈[2,4]时, x+1 m f(x)=loga >loga 恒成立, x-1 ?x-1?2?7-x? x+1 m ∴ < 对 x∈[2,4]恒成立. x-1 ?x-1?2?7-x? ∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在 x∈[2,4]恒成立. x+1 m >loga 恒成立, x-1 ?x-1?2?7-x?

7

设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4], 由①可知 y=g(x)在区间[2,4]上是增函数, g(x)max=g(4)=45,∴m>45. ∴m 的取值范围是(0,15)∪(45,+∞). 20. 解: (1)∵ f ( x) ? log 2 (4 x ? 1) ? kx (k ? R) 是偶函数, ∴ f (? x) ? log 2 (4? x ? 1) ? kx ? f ( x) 对任意 x ? R ,恒成立
x x

2分

即: log 2 (4 ? 1) ? 2 x ? kx ? log 2 (4 ? 1) ? kx 恒成立,∴ k ? ?1 5分 4 4 (2)由于 a ? 0 ,所以 g ( x) ? log 2 (a ? 2 x ? a) 定义域为 (log 2 , ??) , 3 3 4 也就是满足 2 x ? 7 3 分 ∵函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个交点,
4 4 ∴方程 log 2 (4 x ? 1) ? x ? log 2 (a ? 2 x ? a) 在 (log 2 , ??) 上只有一解 3 3

即:方程 分

4x ? 1 4 4 ? a ? 2 x ? a 在 (log 2 , ??) 上只有一解 x 2 3 3

9

令 2x ? t , 则 t ?

4 ,因而等价于关于 t 的方程 3

4 4 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 (*)在 ( , ?? ) 上只有一解 3 3

10


3 4 ① 当 a ? 1 时,解得 t ? ? ? ( , ??) ,不合题意; 4 3 分

11

2a 4 ② 当 0 ? a ? 1时, h(t ) ? (a ? 1)t 2 ? at ? 1 , 记 其图象的对称轴 t ? ?0 3(a ? 1) 3

4 ∴函数 h(t ) ? (a ? 1)t 2 ? at ? 1 在 (0, ??) 上递减,而 h(0) ? ?1 3 4 ∴方程(*)在 ( , ??) 无解 3

13 分

2a 4 ③ 当 a ? 1 时,记 h(t ) ? (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ,其图象的对称轴 t ? ?0 3(a ? 1) 3

8

4 16 16 所以,只需 h( ) ? 0 ,即 (a ? 1) ? a ? 1 ? 0 ,此恒成立 3 9 9

∴此时 a 的范围为 a ? 1 综上所述, 所求 a 的取值范围为 a ? 1

15 分 16 分

9



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