9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的单调性与导数



1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【课标要求】

1.掌握函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【

核心扫描】 1.利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间.(重点)

2.利用导数证明一些简单不等式.(难点)
3.常与不等式、方程等结合命题.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

自学导引

1.函数的单调性与其导函数的正负间的关系
设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导 导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调递增 单调递减 常数函数

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

想一想:在区间(a,b)内,若f′(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增, 反之也成立吗?

提示

不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在0处的导

数等于零.也就是说f′(x)>0是y=f(x)在某个区间上递增的充分不 必要条件.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

2.一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说
明函数在这个范围内 变化得快 ,这时,函数的图象就比 较“ 陡峭 ”;反之,函数的图象就比较“ 平缓 3.利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导函数f′(x); (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时, ”.

f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应区间上是
减函数. (4)结合定义域写出单调区间.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

名师点睛

1.理解函数的单调性与其导数的关系需注意的问题
(1)根据导数的几何意义,可以用曲线切线的斜率来解释导数与 单调性的关系,如果切线的斜率大于零,则其倾斜角是锐角, 函数曲线呈上升的状态,即函数单调递增;如果切线的斜率小 于零,则其倾斜角是钝角,函数曲线呈下降的状态,即函数单

调递减.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

(2)在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数 的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使 f′(x)=0,不会

影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性.例如函数f(x)=x3
在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但由f′(x)=3x2知,f′(0)=0,即 并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0. 可导函数 f(x) 在 (a , b) 上是增 ( 减 ) 函数的充要条件是:对任意的 x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都

不恒等于零.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

2.利用导数求函数的单调区间需注意的问题 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义 域,解决问题的过程只能在定义域内进行,通过讨论导数的符

号,来判断函数的单调区间.
(2)如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间中间一般 不能用“∪”连接,可用“逗号”或“和”字隔开.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

题型一 利用导数判断函数的单调性 ln x 【例 1】 证明:函数 f(x)= 在区间(0,e)上是增函数. x [思路探索] 利用函数单调性与导数间的关系进行判断. 1 x· x -ln x 1-ln x ln x 证明 ∵f(x)= x ,∴f′(x)= x2 = x2 . 又 0<x<e,∴ln x<ln e=1. 1-ln x ∴f′(x)= x2 >0,故 f(x)在区间(0,e)上是单调递增函数.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

关于利用导数证明函数单调性的问题:

(1)首先考虑函数的定义域,所有函数性质的研究必须保证在定义
域内这个前提下进行. (2)f′(x)>(或<)0,则f(x)为单调递增 (或递减 )函数;但要特别注意, f(x)为单调递增(或递减)函数,则f′(x)≥(或≤)0.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

?π ? sin x 【变式 1】 试证明:函数 f(x)= x 在区间?2,π?上单调递减. ? ?

证明

?π ? xcos x-sin x ? ,π?, f′(x)= ,又 x ∈ 2 x ?2 ?

则 cos x<0,∴xcos x-sin x<0,
?π ? ∴f′(x)<0,∴f(x)在?2,π?上是减函数. ? ?

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x3-x;(2)y=ex-x+1.

[思路探索] 先确定函数的定义域,再对函数求导,然后求解
不等式f′(x)>0与f′(x)<0,并与定义域求交集从而得相应的单调 区间.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

解 (1)f′(x)=3x2-1=( 3x+1)( 3x-1), 令 f′(x)>0,则 令 f′(x)<0,则 ∴f(x)=x -x
? 区间为? ?- ?
3

? x∈? ?-∞,- ? ? x∈? ?- ?

? ? 3? ? ? 3 ? 和 ,+∞ ? 3 ?, 3? ? ? ?

3 3? ? , ?. 3 3?
? ? 3? ? ? 3 ? 和 ,+∞ ? 3 ?,单调减 3? ? ? ?

? 的单调增区间为? ?-∞,- ?

3 3? ? , ?. 3 3?

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

(2)y′=ex-1,令 y′>0,即 ex-1>0, 则 x∈(0,+∞),令 y′<0,即 ex-1<0,则 x∈(-∞,0), ∴y=ex-x+1 的单调增区间(0,+∞),单调减区间为(-∞,0). 利用导数求函数 f(x)的单调区间, 实质上是转化为解不 等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0, 不等式的解集就是函数的单调区间. 注 意: 如果函数的单调区间不止一个时, 单调区间应用“, ”、 “和” 等连接,而不能写成并集的形式.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【变式 2】 求函数 y=x2-ln x2 的单调区间. 解 ∵函数 y=f(x)=x2-ln x2 的定义域为(-∞,0)∪(0,+

2 2 2?x -1? 2?x-1??x+1? ∞),又 f′(x)=2x- x= x = , x

∴f′(x),f(x)的取值变化情况如下表:

x
f′(x)

(-∞,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+∞)
- 0 + - 0 +

f ( x)

?

1

?

?

1

?

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

由上表可知,函数 f(x)=x2-ln x2 在区间(-1,0),(1,+∞)上单调 递增;在区间(-∞,-1),(0,1)上单调递减.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

题型三

已知函数单调性求参数的取值范围
2

a 【例 3】 已知函数 f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R).若函数 f(x)在 x x ∈[2,+∞)上是单调递增的,求 a 的取值范围. [思路探索]

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

3 a 2x -a 解 f′(x)=2x-x2= x2 .

要使 f(x)在[2, +∞)上是单调递增的, 则 f′(x)≥0 在 x∈[2, +∞) 时恒成立, 2x3-a 即 x2 ≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立. ∵x2>0,∴2x3-a≥0, ∴a≤2x3 在 x∈[2,+∞)上恒成立. ∴a≤(2x3)min.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

∵x∈[2,+∞),y=2x3 是单调递增的, ∴(2x3)min=16,∴a≤16. 2x3-16 当 a=16 时,f′(x)= ≥0(x∈[2,+∞))有且只有 f′(2)=0, x2 ∴a 的取值范围是(-∞,16].

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

已知函数的单调性,求函数解析式中参数的取值范围,

可转化为不等式恒成立问题,一般地,函数f(x)在区间Ⅰ上单调递
增(或减),转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上恒成立,再用有 关方法可求出参数的取值范围.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【变式 3】(1)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的单调减区间为[-1,2], 求 b,c 的值. (2)设 f(x)=ax3+x 恰好有三个单调区间,求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知- 1<x<2 是不等式 3x2+2bx+c<0 的解集. ∴-1,2 是方程 3x2+2bx+c=0 的两个实根, 2 c ∴-1+2=-3b,(-1)×2=3,

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

3 即 b=-2,c=-6. (2)∵f′(x)=3ax2+1,且 f(x)有三个单调区间, ∴方程 f′(x)=3ax2+1=0 有两个不等的实根, ∴Δ=02-4×1×3a>0,∴a<0. ∴a 的取值范围为(-∞,0).

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

题型四 用单调性与导数关系证不等式 1 2 【例 4】 当 x>0 时,证明不等式 ln(x+1)>x- x . 2 利用导数证明不等式,首先要构造函数 f(x)= 1 2 ln(x+1)-x+2x ,证明 f(x)在(0,+∞)上单调增,由 f(x)>f(0)=0 证得.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

1 2 [规范解答] 令 f(x)=ln(x+1)-x+ x , 2 1 x2 则 f′(x)= -1+x= . 1+x 1+x 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 于是当 x>0 时,f(x)>f(0)=0, 1 2 ∴当 x>0 时,不等式 ln(x+1)>x-2x 成立.

(4 分) (6 分)

(8 分)

(12 分)

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【题后反思】 要证明不等式 f(x)>g(x)(x∈(a,b))成立,可以构造 函数 F(x)=f(x)-g(x),然后利用导数证明函数 F(x)=f(x)-g(x)在 (a,b)上是增函数,若 F(a)-g(a)≥0.由增函数的定义可知,当 x ∈(a,b)时,f(x)-g(x)>0,从而证明了不等式 f(x)>g(x).

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

π 1 3 【变式 4】 当 0<x<2时,求证:x-sin x<6x .
? π? 1 3 证明 设 g(x)=x-sin x-6x ,x∈?0,2?, ? ? ?x ? ? 1 2 ? ? 2x g′(x)=1-cos x-2x =2?sin 2-?2?2? . ? ? ? ? ? ? π? ∵x∈?0,2?,∴0<sin ? ?

x<x,

∴sin

2x

?x? ? ?2,∴g′(x)<0, < 2 ? 2?

? π? ∴g(x)在?0,2?上单调递减, ? ?

1 3 ∴g(x)<g(0)=0,∴x-sin x< x . 6
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

方法技巧 转化与化归思想在单调性中的应用 运 用导数这个工具研究函数的单调性,体现了转化与化归的 数学思想,凸显了导数在研究函数单调性方面的优越性,在平时 的学习中应予以高度重视.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【示例】 已知 a>0,且 a≠1,证明函数 y=ax-xln a 在(-∞,0) 内是减函数. [思路分析] 求出y′ → y′恒小于零 → 函数为减函数 解 y′=axln a-ln a=ln a(ax-1)

当 a>1 时,∵ln a>0,ax<1, ∴y′<0,即 y 在(-∞,0)内是减函数; 当 0<a<1 时,∵ln a<0,ax>1, ∴y′<0,即 y 在(-∞,0)内是减函数. 综上,函数在(-∞,0)内是减函数.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

方法点评 本题体现了转化与化归的思想. 证明函数的单调性当然 可以利用定义法,但过程冗长繁琐.利用导数来研究函数的性质, 过程比较简洁,学习中应认真总结体会.本题中还需注意对 a 的 讨论,否则证明过程会出现纰漏.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

单击此处进入

活页规范训练

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练



更多相关文章:
函数的单调性与导数(获奖教案
教学目标重点:利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 难点:⒈ 探究函数的单调性与导数的关系; ⒉ 如何用导数判断函数的单调性. 知识点:1.探索函数的...
第24讲利用导数研究函数的单调性
2013 届高三数学高考第一轮复习教案 第 24 课 利用导数研究函数的单调性一、考纲要求: (1)了解函数的单调性和导数的关系 (2)能利用导数研究函数的单调性 (3)...
函数单调性与导数教案
3.3.1 函数的单调性与导数【三维目标】 知识与技能:1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法:1.通过本...
选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数
选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数课题:3.3.1 函数的单调性教学目的: 1.正确...
导数与函数单调性的关系
导数与函数单调性的关系教材中导数的应用之一为判断函数的单调性。 若函数 y = f (x) 在某个区间 I 上可导 (对 于区间端点,只要求它存在左(或右)导数)...
函数的单调性与导数导学案(6)
2013-2014 学年度第一学期永城高中高二(一)部数学导学案(理) (6) §1.3.1 函数的单调性与导数学习目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握...
导数与函数的单调性教学设计
在学习本节课之前学生已经学习了导数函数函数单调性等概念,对单调性有 了一定的感性和理性的认识,同时在第二章中已经学习了导数的概念,对导数有了一 定的...
函数的单调性与导数说课稿
3.能根据导数的正负性画出函数的大致图象 过程与方法: 1.通过具体函数单调性与其导数正负关系,归纳概括出一般函数单调性的判断 方法。 2.体会函数单调性定义判断...
高二数学学案:函数的单调性与导数
高二数学学案:函数的单调性与导数_高中教育_教育专区。课 题 函数的单调性与导数(第 1 课时) 【导学过程】 函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在某个区间...
更多相关标签:
函数单调性与导数    函数的单调性    函数的极值与导数    函数的极值与导数ppt    用导数求函数的单调性    导数    泰勒公式    不定积分    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图