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2015届高考调研文科9-11



高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 11 课时

直线与圆锥曲线的位置关系

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>2015?考纲下载
理解数形结合思想,能通过直线与圆锥曲线(重点是与椭圆 抛物线)的位置关系解答相应问题.

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请注意!

此部分是高考中的重点和难点,多与数形结合,设而不求等 方面结合,应引起足够重视.

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1.直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 要 解 决 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 问 题 , 可 把 直 线 方 程 与 圆 锥 曲 线 方 程 联 立 , 消 去 y( 或 消 去 x)得 到 关 于 x(或 关 于 y) 的 一 元 二

次 方 程 . 如 联 立 后 得 到 以 下 方 程 : Ax2+Bx+C=0 ( A≠0 ) ,Δ=B2-4AC. 若 Δ<0, 则 直 线 与 圆 锥 曲 线 没 有 公 共 点 ; 若 Δ=0, 则 直 线 与 圆 锥 曲 线 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ; 若 Δ>0, 则 直 线 与 圆 锥 曲 线 有 两 个 不 同 的 公 共 点 .
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2.弦 长 公 式

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直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 时 , 常 常 借 助 根 与 系 数 的 关 系 解 决 弦 长 问 题 . 直 线 方 程 与 圆 锥 曲 线 方 程 联 立 , 消 去 元 二 次 方 程 . 当 y后 得 到 关 于 x的 一 A(x1, 线 截 得 的

Δ>0 时 , 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 , 设 交 点 为 AB 的 斜 率 为 k, 则 直 线 被 圆 锥 曲

y1),B(x2,y2), 直 线 弦 长 |AB| =

?x1-x2?2+?y1-y2?2



?1+k2?|x1-x2|



1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2. 再 利 用 根 与 系 数 的 关 系 得 出 算 即 可 .
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x1+x2,x1x2 的 值 , 代 入 上 式 计

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3.用 点 差 法 求 直 线 方 程 在 给 出 的 圆 锥 曲 线 所 在 直 线 方 程 时 , 一 般 可 设 曲 线 上 , 得 f(x,y)=0 中 , 求 中 点 为 (m,n)的 弦 AB A、B 在 x1+x2= AB

A(x1,y1)、B(x2,y2), 利 用

f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=0 .两 式 相 减 , 结 合 y 2 -y 1 kAB= 从 而 由 点 斜 式 写 出 直 线 x 2 -x 1

2m,y1+y2=2n, 可 求 出 的 方 程 . 这 种 方 法 我 们 称 为 点 差 法 .

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4.解 决 直 线 与 圆 锥 曲 线 关 系 问 题 的 一 般 方 法 1 ( ) 解 决 焦 点 弦 (过 圆 锥 曲 线 焦 点 的 弦

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)的 长 的 有 关 问 题 , 注 意

应 用 圆 锥 曲 线 的 定 义 和 焦 半 径 公 式 . 2 ( ) 已 知 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 某 些 关 系 求 圆 锥 曲 线 的 方 程 时 , 通 常 利 用 待 定 系 数 法 . 3 ( ) 圆 锥 曲 线 上 的 点 关 于 某 一 直 线 的 对 称 问 题 , 解 此 类 题 的 方 法 是 利 用 圆 锥 曲 线 上 的 两 点 所 在 的 直 线 与 对 称 直 线 垂 直 , 则 圆 锥 曲 线 上 两 点 的 中 点 一 定 在 对 称 直 线 上 , 再 利 用 根 的 判 别 式 或 中 点与 曲 线 的 位 置 关 系 求 解 .
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5.重 点 辨 析

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1 ( ) 如 果 在 设 直 线 方 程 时 涉 及 斜 率 , 要 注 意 斜 率 不 存 在 的 情 况 , 为 了 避 免 讨 论 , 过 焦 点 2 ( ) 解 方 程 组 的 方 程 F(c,0 )的 直 线 可 设 为 时 , 若 消 去 x=my+c. y, 得 到 关 于 x

? ?Ax+By+C=0, ? ? ?f?x,y?=0

a x 2+b x +c=0, 这 时 , 要 考 虑

a=0 和 a≠0 两 种 情 况 , a≠0, (Δ=0 ).
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对 双 曲 线 和 抛 物 线 而 言 , 一 个 公 共 点 的 情 况 要 考 虑 全 面 , 除 Δ=0 外 , 当 直 线 与 双 曲 线 的 渐 近 线 平 行 时 , 只 有 一 个 交 点 不 是 直 线 和 抛 物 线 只 有 一 个 公 共 点 的 充 要 条 件

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3 ( ) 涉 及 直 线 被 圆 锥 曲 线 截 得 的 弦 的 中 点 问 题 时 , 常 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 坐 标 之 和 , 也 可 用 作 差 方 法 接 与 中 点 建 立 联 系 . 4 ( ) 有 关 曲 线 关 于 直 线 对 称 的 问 题 , 只 需 注 意 两 点 关 于 一 条 直 线 对 称 的 条 件 . ①两 点 连 线 与 该 直 线 垂 直 ②中 点 在 此 直 线 上 (斜 率 互 为 负 倒 数 (中 点 坐 标 适 合 对 称 轴 方 程 ); ). (韦 达 定 理 (平 方 差 法 ), 这 样 可 直 接 得 到 两 交 点 的 )找 到 两 交 点 坐 标 之 和 , 直

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1.(课 本 习 题 改 编 置 关 系 为 ( )

x 2 y2 )直 线 y=kx-k+1 与 椭 圆 9 + 4 =1 的 位

A. 相 交 C. 相 离
答案 A

B. 相 切 D. 不 确 定

解析 1 ) ( ,

直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点1 ) ( ,

,又点

在 椭 圆 内 部 , 故 直 线 与 椭 圆 相 交 .
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x2 y2 2.若直线 y=kx 与双曲线 9 - 4 =1 相交,则 k 的取值范围 是________.

2 2 答案 (-3,3)
x2 y2 2 解析 双曲线 9 - 4 =1 的渐近线方程为 y=± 若 直 线 与 3x, 2 2 双曲线相交,数形结合,得 k∈(-3,3).

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3. 2 ( 0 1 4 ·

郑 州 模 拟

)已知倾斜角为 60° 的直线 l 通过抛物线 x2

=4y 的焦点,且与抛物线相交于 A、B 两点,则弦 AB 的 长 为 ________.
答案 16

解析 直线 l 的方程为 y= 3x+1,
? ?y= 3x+1, 由? 2 ? ?x =4y,

得 y2-14y+1=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=14. ∴|AB|=y1+y2+p=14+2=16.
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4.如 图 , 已 知 抛 物 线

y2=2px(p> 0 ) 的焦点 F 恰 好 是 双 曲 线

x2 a2- F, 则 该

y2 0 ) 的 右 焦 点 , 且 两 条 曲 线 交 点 的 连 线 过 点 b2=1(a>0,b> 双曲线的离心率是________.
答案 1+ 2

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解 析

设 双 曲 线 的 半 焦 距 为

c, 依 题 意 得 点

b2 (c, a )在 抛 物 线

p 2 y =2p x (p> 0 ) 上 , 且 2=c, 于 是 有

b2 2 ( a ) =2p· c=4c2,

c2-a2 b2 1 2 ∴ a = 2c , a = 2 ,∴ e - - 2 = 0 , e -2e-1=0, 解 得 c e e =1 ± 2.∵e>1,∴e=1+ 2.

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5. 已 知 圆 -1 6 =0 过 椭 圆 得 的 弦 长 为

C:(x-4 ) 2+(y-m)2=1 6 ( m∈N*), 直 线 x2 y2 E:a2+b2=1 ( a>b> 0 ) 的 右 焦 点 , 且 被 圆 在 椭 圆 E上 .

4x-3y C所 截

3 2 点 A1 3 ) ( , 5,

1 ( ) 求m的 值 及 椭 圆 2 ( ) 设Q为 椭 圆

E的 方 程 ; → → AC· AQ的 取 值 范 围 .

E上 的 一 个 动 点 , 求

x2 y2 答案 1 ( ) m=4,18+ 2 =1 2 [ ( )

-1 0 2 ] ,

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解 析 3 2 所 以 圆 心 5, 1 ( ) 因 为 直 线

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4x-3y-1 6 =0 被 圆 C所 截 得 的 弦 长 为 1 6 2 4 -? 5 ?
2

C(4, m)到 直 线 4x-3y-1 6 =0 的 距 离 为

|4×4-3×m-1 6 | 1 2 1 2 =5, 即 =5, 解 得 5 又 因 为 直 线 的 右 焦 点 4x-3y-1 6 =0 过 椭 圆 0 4 ) ( , , 则 其 左 焦 点

m=4 或 m= -4 (舍 去 ). E的 右 焦 点 , 所 以 椭 圆 F1 的 坐 标 为 (-0 4 ) , . E

F2 的 坐 标 为

因 为 椭 圆

E过A点 , 所 以

|AF1|+|AF2|=2a. a=3 2,a2=1 8 ,b2=2 .

所 以 2a=5 2+ 2=6 2, 所 以 故 椭 圆 E的 方 程 为 x2 y2 . 1 8 + 2 =1
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2 ( ) 由1 ( ) 知 C4 ) ( , , 又 A1 3 ) ( ,

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→ =3 , 所 以 AC 1 ) ( ,

,设 Q(x,y),

→ =(x-3,y-1 →· → =x+3y-6 则AQ ) ,则AC AQ . 令 x+3y=n,
2 2 x y ? ? + =1, 8 2 则 由 ?1 消 去 x, 得 1 8 y2-6n y +n2-18=0 . ? ?x+3y=n,

因 为 直 线

x+3y=n 与 椭 圆

E有 公 共 点 ,

所 以 Δ=(-6n)2-4×1 8 ×(n2-1 8 ) ≥0, →· → = x + 3y - 6 的 解得- 6≤n≤6 ,故 AC AQ 取 值 范 围 为 1 0 2 ] , .
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[-

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例1 已 知 椭 圆 心 率 为 3 2.

x2 y2 ( a>b> 0 ) 经 过 点 a2+b2=1

3 M(-1,- 2 ), 离

1 ( ) 求 椭 圆 的 方 程 ; 2 ( ) 设 过 定 点 且∠A O B 范 围 . M2 0 ) ( , 的 直 线 l与 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点 ), 求 直 线 l的 斜 率 A、B, k的 取 值

为 锐 角 (其 中 O为 坐 标 原 点

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【 解 析 】 1 ( ) 由 题 知 ,

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1 3 a2+4b2=1,①

a2-b2 3 a = 2 .②

由① ②, 得 a2=4,b2=1 . 故 椭 圆 的 方 程 为 2 ( ) 由 题 意 知 , 直 线 设直 线 l的 方 程 为 联 立 方 程 , 得 x2 2 . 4 +y =1 l的 斜 率 存 在 且 不 为 零 . y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

x2 2 ? ? +y =1, ?4 消 去 y, 得 ? ?y=kx+2,

(1+4k2)x2+1 6 kx+1 2 =0 .
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由 题 知 Δ=1 ( 6 k) -4 1 ( +4k 1 2 · )0 >
2 2

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3 ,∴k >4.
2

1 2 1 6k 易 知 x1 x2 = ,x +x =- . 1+4k2 1 2 1+4k2 又∠A O B 为 锐 角 , →· →> ∴OA OB 0 .

∴x1x2+y1y2>0,∴x1x2+(kx1+2 ( ) kx2+2 > ) 0 . 1 2 1 6 ∴(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k ) +2k(- ) 1+4k2 1+4k2
2 2

4?4-k2? 2 +4= 4 . 2 >0,∴k < 1+4k

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3 3 2 3 3 又∵k >4,∴4<k <4,∴k∈(-2,- 2 )∪( 2 ,2).
2

x2 2 【答案】 1 ( ) 4 +y =1 2 ( )

3 3 -2,- 2 )∪( 2 ,2)

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探究 1 联 立 方 程 后 , 注 意 判 别 式 的 应 用 , 别 忽 略 这 一 隐 含 条件.
思考题 1 已知直线 y=(a+1)x-1 与曲线 y2=ax 恰有一
? ?y=?a+1?x-1, 联立方程? 2 ? ?y =ax. ? ?x=1, 时,此方程组恰有一组解为? ? ?y=0.

个公共点,求实数 a 的值.

【解析】

①当 a=0

a+1 2 ②当 a≠0 时,消 x,得 a y -y-1=0.
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a+1 ( ⅰ) 若 a =0 , 即 a= - 1, 方 程 变 为 一 元 一 次 方 程 - =0, 方 程 组 恰 有 一 组 解
? - ?x= ? ? - ?y=

y-1

1, 1 .

a+1 4?a+1? ( ⅱ ) 若 a ≠ 0, 即 a≠-1, 令 Δ=0, 得 1+ a =0, 可 解 得 4 a= - 5, 这 时 直 线 与 曲 线 相 切 , 只 有 一 个 公 共 点 4 a=0, - 1, - 5时 , 直 线 与 曲 线 . y2=ax 只

综 上 所 述 知 , 当 有 一 个 公 共 点 .

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【讲评】 切莫先入为主,武断界定 y2=ax 为抛物线,因 为参数 a 在变化,直线与曲线 y2=ax 都在变化,而且 a=0 时, 曲线 y2=ax 蜕化为直线 y=0,因此不易直观地得到结论,于是 先用代数方法解决,再从几何上验证结论为上策.

4 【答案】 a=0,-1,-5

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例2

已 知 双 曲 线 方 程

2x2-y2=2 .

1 ( ) 求 以 A1 2 ) ( , 2 ( ) 求 过 点 Q2 两 点 , 且 点 B1 ) ( ,

为 中 点 的 双 曲 线 的 弦 所 在 的 直 线 方 程 ; 能 否 作 直 线 l, 使 l与 所 给 双 曲 线 交 于 Q1、

B是 弦 Q1Q2 的 中 点 ? 这 样 的 直 线

l 如果存在,求

出 它 的 方 程 ; 如 果 不 存 在 , 说 明 理 由 .

【思路】 对于“中点弦”问 题 , 往 往 采 用 策略.

“设而不求”的

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【 解 析 】 P2(x2,y2), 则 有 又 据 对 称 性 知 1 ( ) 设 以 A1 2 ) ( ,

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为 中 点 的 弦 两 端 点 为

P1(x1,y1),

x1+x2=4,y1+y2=2 . x1≠x2, P1P2 所在 直 线 的 斜 率 , 因 此 不 必 求 出 点 y 1 -y 2 , 问 题 就 可 解 决 . 由 x 1 -x 2 P1、P2

y1-y2 所 以 是 中 点 弦 x1-x2 P1、P2 的 坐 标 , 只 要 确 定 比 值 在 双 曲 线 上 , 则 有 两 式 相 减 , 得

2 2 2 2x2 - y = 2 , x - y . 1 1 2 2=2

2 ( x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0 .
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y 1 -y 2 ∴x1+x2=4,y1+y2=2.∴ =4 . x 1 -x 2 所 求 中 点 弦 所 在 直 线 方 程 为 y-1=4 ( x-2 ), 即 4x-y-7=0 . 严 格 地 讲 , 求 出 的 这 个 直 线 方 程 只 是 满 足 了 必 要 性 , 因 为 是 我 们 假 定 过 A点 的 直 线 与 双 曲 线 交 于 P1 ( x 1 , y1)与 P2(x2, y2 ) 两 点 ,

因 此 还 必 须 验 证 充 分 性 , 即 所 求 直 线 确 定 与 双 曲 线 有 两 个 交 点 . 为 此 只 要 将 直 线 方 程 与 双 曲 线 方 程 联 立 消 就 可 断 言 充 分 性 成 立 . 事 实 上 , 从 在 双 曲 线 内 部 (即 含 焦 点 的 区 域
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y(或 x), 得 Δ>0 2 · 2-12=7 > 2 , 也 可 判 定 ).
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A1 2 ) ( ,

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2 ( ) 可 假 定 直 线 l存 在 , 采 用

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1 ( ) 的 方 法 求 出

l的 方 程 为

y-1

=2 ( x-1 ) ,即 2x-y-1=0 . 联 立 方 程 组
2 2 ? ?2x -y =2, ? ? ?2x-y-1=0,

消 y, 得 2x2-4x+3=0 . l与 双 曲 线

∵Δ=(-4 ) 2-3 2 4 ·

= -8 < 0 , 无 实 根 , 因 此 直 线 l不 存 在 .

无 交 点 , 这 一 矛 盾 说 明 了 满 足 条 件 的 直 线
【答案】 1 4 ( ) x-y-7=0 2 ( ) 不 存 在

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思 考 题 一 弦 , 与 椭 圆 相 交 于 右 图 所 示 , 求 弦

2

P1 ) ( ,

x2 y2 为 椭 圆 4 + 2 =1 内 的 一 定 点 , 过 A、B 两 点 , 且 P 恰好 为 弦

P点 引

AB 的 中 点 , 如

AB 所 在 的 直 线 方 程 及 弦

AB 的 长 度 .

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【 解 析 】 B两 点 坐 标 分 别 为 设 弦 AB 所 在 的 直 线 方 程 为 (x1,y1),(x2,y2), 则

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y-1=k(x-1 ) ,A、

2 x2 1+2y1=4,① 2 x2 + 2 y .② 2 2 =4

①-②, 得 (x1+x2)(x1-x2)+2 ( y1+y2)(y1-y2)=0 . ∵P1 ) ( , 为弦 AB 的 中 点 ,

∴x1+x2=2,y1+y2=2. y1-y2 1 ∴k= = - 2. x1-x2
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∴所 求 直 线 的 方 程 为 即 x+2y-3=0 . 将 其 代 入 椭 圆 方 程 整 理 , 得 根 据 弦 长 公 式 , 有

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1 y-1= - 2(x-1 ).

6y2-12y+5=0 .

2 1 2 -4×6×5 3 0 2 |AB|= 1+?-2? · = 3 . 6

30 【答案】 x+2y-3=0,弦长为 3

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例 3 试确定 m 的 取 值 范 围 , 使 得 椭 圆 两点关于直线 y=4x+m 对称.

x2 y2 4 + 3 =1 上有不同

【解析】 方法一:设椭圆上两点 A(x0-u,y0-v), B(x0+u,y0+v),AB 的中点为 C(x0,y0). v 1 ∵A、B 关于 y=4x+m 对称,∴kAB=u=-4.

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2 2 ? x - u ? ? y - v ? ? 0 ? 0 + =1, 4 3 ? 又? 2 2 ? x + u ? ? y + v ? 0 ? 0 + =1, ? 4 3 ?

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两 式 相 减 得

v 3x0 - 4y ,∴y0=3x0. u= 0 y=4x+m 上 ,

而 点 C在 直 线
? - ?x0= ∴? ? - ?y0=

m, x2 y 2 ∵点 C 在 椭 圆 4 + 3 =1 内 , 3m.

? 2 1 ?-m?2 ?-3m?2 3 2 1 3 ? ? ? ∴ 4 + 3 < 1 . ∴m∈?- , ?. 1 3 1 3 ? ?

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方 法 二 : 设 椭 圆 上 两 点 +m 对 称 . 设 AB 的 中 点 为 P(x0,y0),

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A(x1,y1),B(x2,y2)关 于 直 线

y=4x

?y1-y2 1 ? = - 4, x - x 则? 1 2 ? ?y0=4x0+m,

2 2 ?x1 y1 ? 4 + 3 =1, 又 由? 2 2 ?x2+y2=1, ?4 3

?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 得 + =0 . 4 3 x1+x2 y1+y2 1 ∴ 4 + 3 · (-4)=0 .
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∴y1+y2=3(x1+x2),得 y0=3x0. 代入 y0=4x0+m,得 x0=-m,∴y0=-3m. 以下同方法一.
【答案】
? 2 13 2 13? ? ? - , ? 13 13 ? ? ?

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思 考 题 3 设 椭 圆

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x2 y2 C:a2+b2=1 ( a>b> 0 ) 的 离 心 率 A到 椭 圆 C两 焦 点 的 距 离 之 和 为

2 e= 2 , 4 .

点A是 椭 圆 上 一 点 , 且 点 1 ( ) 求 椭 圆 C的 方 程 ;

2 ( ) 椭圆 C 上一动点 P(x0,y0)关 于 直 线 P1(x1,y1), 求 3x1-4y1 的 取 值 范 围 .

y=2x 的对称点为

【解析】 1 ( ) 依 题 意 知

2a=4,∴a=2.

2 c ∵e=a= 2 ,∴c= 2,b= a2-c2= 2. x2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.
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2 ( ) ∵点 P(x0,y0)关 于 直 线 ? ?y0-y1×2= - 1, ?x0-x1 ∴? x0+x1 ?y0+y1 =2× 2 . ? 2 ?

y=2x 的 对 称 点 为

P1(x1,y1),

4y0-3x0 3y0+4x0 解 得 x1 = ,y 1 = . 5 5 ∴3x1-4y1= - 5x0.

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∵点 P(x0,y0)在 椭 圆

x2 y2 C: 4 + 2 =1 上 ,

∴-2≤x0≤2, 则 - 1 0 ≤-5x0≤1 0 . ∴3x1-4y1 的 取 值 范 围 为 [-1 0 ,] .

x2 y2 【答案】 1 ( ) 4 + 2 =1 2 [ ( )

-1 0 ,]

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例 4

已 知 椭 圆

x2 y2 C:a2+b2=1 ( a>b> 0 ) 的 离 心 率 为 A和 右 顶 点 B, 并 且 和 圆
2 2

3 线 2 ,直

l1 经 过 椭 圆 的 上 顶 点 1 ( ) 求 椭 圆 2 ( ) 设 直 线 两 点 , 以 线 段 P在 椭 圆

4 x +y =5相 切 .

C的 方 程 ; 1 l2:y=kx+m(|m|∈[2,1 ) ] 与 椭 圆 OM、ON 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 C相 交 于 O M P N M 、N

, 其 中 顶 点

C上 , O为 坐 标 原 点 , 求

|OP|的 取 值 范 围 .

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【 解 析 】 a=2b. 又 椭 圆 的 上 顶 点 所 以 直 线 因 为 直 线 A(0,b), 右 顶 点 1 ( ) 由 已 知 可 得

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2 2 a - b 3 2 e = a2 =4, 所 以

a2=4b2,即

B(a ,0 ),

x y l1 的 方 程 为a+b=1, 即 x+2y-a=0 . 4 l1 与 圆 x +y =5相 切 , 所 以 圆 心
2 2

0 ) ( , a=2 .

到 直 线

l1 的

距 离 等 于 圆 的 半 径 , 即 所 以 b=1, 故 椭 圆

|a| 2 2= 1 +2 C的 方 程 为
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4 解 得 5, x2 2 . 4 +y =1
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2 ( ) 将 直 线

l2 的 方 程 和 椭 圆

C的 方 程 联 立 得

kx+m, ? ?y= ?x2 2 +y =1, ? ?4

消 去 y, 化 简 整 理 得

(1+4k2)x2+8k m x +4 ( m2-1 ) =0 .

故 Δ=(8km)2-4 1 ( +4k2)×4 ( m2-1)= -1 6 ( m2-1-4k2> ) 0 , 即 4k2+1 > m2. 设 M(x1,y1)、N(x2,y2)、P(x0,y0), 则 由 根 与 系 数 之 间 的 关 系 可 得 -8km x1+x2= 2 . 4k +1

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因 为 四 边 形

O M P N

为 平 行 四 边 形 , 所 以

-8km x0=x1+x2= 2 . 4k +1

-8km 2m 故 点 P( 2 , 2 ). 4k +1 4k +1 -8km 2 ? 2 ? 4k +1 2m 2 +( 2 ) =1, 4 4k +1

由 点 P在 椭 圆 上 可 得 整 理 得

4m2(4k2+1 ) =(4k2+1 ) 2.
2

因 为 4k +1 > 0 , 所 以

1 4m =4k +1, 即 m =k +4.
2 2 2 2

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则|OP|
2

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-8km 2 2 2 =x0+y0=( 2 ) +( 4k +1

2m 2 ) 2 4k +1

6 4 k2m2+4m2 4m2?1 6 k2+1? = = ?4k2+1?2 ?4k2+1?2 4m2[4?4m2-1?+1 ] 1 6 m2-3 3 = = 4m2 =4-4m2. ?4m2?2 1 因 为 |m|∈[2,1 ], 所 以 1 m ∈[4,1 ], 所 以
2

3 1 3 4-4m2∈[1, 4 ],

1 3 故|OP|∈[1, 2 ]. x2 2 【答案】 1 ( ) 4 +y =1 1 2 [ ( )
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13 , 2 ]
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思 考 题 4 的 左 、 右 焦 点 分 别 为

在 直 角 坐 标 系

x O y 中 , 椭 圆

x2 y2 C1: ( a>b> 0 ) a2+b2=1 C2:y2=4x 的 焦 点 ,

F1、F2.F2 也 是 抛 物 线

点 M 为 C1 与 C2 在 第 一 象 限 的 交 点 , 且 1 ( ) 求 C1 的 方 程 ; 2 ( ) 平 面 上 的 点

5 |MF2|=3.

→ =MF → +MF →, N 满足MN 线 1 2 直 →· → =0, OA OB 求 直 线

l∥MN, 且 与

C1 交 于 A、B 两 点 , 若

l的 方 程 .

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【 解 析 】 1 ( ) 由 C2:y2=4x 知 F20 1 ) ( ,

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设 M(x1,y1),M 在 C2 上 , 5 因 为 |MF2|=3, 所 以 2 2 6 得 x1=3,y1= 3 . M 在 C1 上 , 且 椭 圆 4 8 ? ? 2+ 2=1, 于 是 ?9a 3b 2 2 ? . ?b =a -1 消 去 b2 并 整 理 , 得 9a4-3 7 a2+4=0 .
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5 x1+1=3,

C1 的 半 焦 距

c=1,

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1 解 得 a=2 ( a= 3不 合 题 意 , 舍 去 故 椭 圆 C1 的 方 程 为 x2 y2 . 4 + 3 =1 ).

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→ +MF → =MN →知 2 ( ) 由MF 四 边 形 1 2 心 为 坐 标 原 点 O, 因 为 l∥MN, 所 以

MF1NF2 是 平 行 四 边 形 , 其 中 l 与 OM 的 斜 率 相 同 . 故 l

的 斜 率

2 6 3 k= 2 = 6. 3 y= 6(x-m).
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设l的 方 程 为

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2 2 ? 3 x + 4 y =12, ? 由? ? ?y= 6?x-m?,

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消 去 y并 化 简 , 得

9x2-1 6 mx+8m2-4=0 .
2 8 m -4 1 6m 设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2= 9 ,x1x2= 9 .

→ ⊥OB →, 因 为 OA 所 以

x1x2+y1y2=0.

x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m) =7x1x2-6m(x1+x2)+6m2 8m2-4 1 6m =7 · 9 -6m· 9 +6m2
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1 =91 ( 4 m2-2 8 ) =0 .所 以 m=± 2. 此 时 Δ=1 ( 6 m)2-4×9 8 ( m2-4 > ) 0 故 所 求 直 线 l的 方 程 为 ,

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y= 6x-2 3或 y= 6x+2 3.

x2 y2 【答案】 1 ( ) 4 + 3 =1 2 ( ) y= 6x-2 3或 y= 6x+2 3

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1.充 分 借 助 图 形 的 直 观 性 , 达 到 优 化 解 题 思 维 , 简 化 解 题 过 程 . 2. 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 时 , 借 助 弦 长 利 用 判 别 式 可 求 参 数 范 围 . 公 式来 求 参 数 的 值 ,

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